【解析版】2022学年孝感市安陆市九年级上期末数学试卷

这是一份【解析版】2022学年孝感市安陆市九年级上期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2022学年湖北省孝感市安陆市九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列正方形中由阴影部分组成的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
　 A． B． C． D．
　
2．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（　　）
　 A． B．
C． D．
　
3．已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（　　）
　 A． x2﹣6x+8=0 B． x2+2x﹣3=0 C． x2﹣x﹣6=0 D． x2+x﹣6=0
　
4．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　）
　 A． m≤ B． m≤且m≠0 C． m＜1 D． m＜1且m≠0
　
5．如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（　　）

　 A． （，1） B． （，﹣1） C． （1，﹣） D． （2，﹣1）
　
6．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（　　）

A． （2，2） B． （2，3） C． （3，2） D． （4，）
　
7．将点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（　　）
　 A． （﹣5，﹣3） B． （1，﹣3） C． （﹣1，﹣3） D． （5，﹣3）
　
8．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（　　）
　 A． y=﹣（x﹣13）2+59.9 B． y=﹣0.1x2+2.6x+31
　 C． y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D． y=﹣0.1x2+2.6x+43
　
9．如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是（　　）

　 A． π B． 2π C． 3π D． 4π
　
10．二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（　　）
　 A． B． C． D．
　
　
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳在升起离开地平线后，太阳和地平线的位置关系是　　　　　　．
　
12．已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则该方程的另一个根是　　　　　　．
　
13．甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率是　　　　　　．
　
14．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为　　　　　　cm．

　
15．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点B（2，1），则当x＞0时，不等式kx+b＞的解集是　　　　　　．

　
16．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=　　　　　　．

　
　
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．解方程：x2﹣8x+1=0．
　
18．图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图②的程序移动
（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；
（2）在图①中，所画图形是　　　　　　图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是　　　　　　（结果保留π）．

　
19．反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y=的图象于点M，△AOM的面积为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=的图象上，求t的值．

　
20．已知关于x的二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若此抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．
　
21．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x=5时，y=45，求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．

　
22．有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．
（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．
　
23．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）作CD的平行线AE交⊙O于点E，已知DC=10，求圆心O到AE的距离．

　
24．已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）直接写出二次函数的解析式　　　　　　．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，求其函数值y的取值范围；
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．

　
　

2022学年湖北省孝感市安陆市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列正方形中由阴影部分组成的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A错误；
B、是中心对称图形，是轴对称图形，故B正确；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故C错误；
D、是中心对称图形不是轴对称图形，故D错误．
故选：B．
点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
　
2．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 圆周角定理．
分析： 根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．
解答： 解：∵直径所对的圆周角等于直角，
∴从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．
故选：B．
点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
　
3．已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（　　）
　 A． x2﹣6x+8=0 B． x2+2x﹣3=0 C． x2﹣x﹣6=0 D． x2+x﹣6=0

考点： 根与系数的关系．
分析： 首先设此一元二次方程为x2+px+q=0，由二次项系数为1，两根分别为2，﹣3，根据根与系数的关系可得p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）×2=﹣6，继而求得答案．
解答： 解：设此一元二次方程为x2+px+q=0，
∵二次项系数为1，两根分别为2，﹣3，
∴p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）×2=﹣6，
∴这个方程为：x2+x﹣6=0．
故选：D．
点评： 此题考查了根与系数的关系．此题难度不大，注意若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2．
　
4．关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（　　）
　 A． m≤ B． m≤且m≠0 C． m＜1 D． m＜1且m≠0

考点： 根的判别式；根与系数的关系．
专题： 判别式法．
分析： 先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0，根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2（m﹣1），x1x2=m2，再由x1+x2＞0，x1x2＞0，解出不等式组即可．
解答： 解：∵△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，
∴m≤，
∵x1+x2=﹣2（m﹣1）＞0，x1x2=m2＞0
∴m＜1，m≠0
∴m≤且m≠0．
故选：B．
点评： 此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根，根与系数的关系是x1+x2=﹣，x1x2=．
　
5．如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到三角形OA1B1，则点A1的坐标为（　　）

　 A． （，1） B． （，﹣1） C． （1，﹣） D． （2，﹣1）

考点： 坐标与图形变化-旋转；等边三角形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 设A1B1与x轴相交于C，根据等边三角形的性质求出OC、A1C，然后写出点A1的坐标即可．
解答： 解：如图，设A1B1与x轴相交于C，
∵△ABO是等边三角形，旋转角为30°，
∴∠A1OC=60°﹣30°=30°，
∴A1B1⊥x轴，
∵等边△ABO的边长为2，
∴OC=×2=，
A1C=×2=1，
又∵A1在第四象限，
∴点A1的坐标为（，﹣1）．
故选：B．

点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
　
6．如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（　　）

　 A． （2，2） B． （2，3） C． （3，2） D． （4，）

考点： 切线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 数形结合．
分析： 把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式，根据⊙B与y轴相切，即可求得⊙B的半径，则⊙A的半径即可求得，即得到B的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标．
解答： 解：把B的坐标为（1，6）代入反比例函数解析式得：k=6，
则函数的解析式是：y=，
∵B的坐标为（1，6），⊙B与y轴相切，
∴⊙B的半径是1，
则⊙A是2，
把y=2代入y=得：x=3，
则A的坐标是（3，2）．
故选：C．
点评： 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及斜线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径．
　
7．将点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（　　）
　 A． （﹣5，﹣3） B． （1，﹣3） C． （﹣1，﹣3） D． （5，﹣3）

考点： 关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．
分析： 首先利用平移变化规律得出P1（1，3），进而利用关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标．
解答： 解：∵点P（﹣2，3）向右平移3个单位得到点P1，
∴P1（1，3），
∵点P2与点P1关于原点对称，
∴P2的坐标是：（﹣1，﹣3）．
故选：C．
点评： 此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的平移规律，正确把握坐标变化性质是解题关键．
　
8．心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（　　）
　 A． y=﹣（x﹣13）2+59.9 B． y=﹣0.1x2+2.6x+31
　 C． y=0.1x2﹣2.6x+76.8 D． y=﹣0.1x2+2.6x+43

考点： 根据实际问题列二次函数关系式．
分析： 利用顶点式求出二次函数解析式进而得出答案．
解答： 解：设抛物线解析式为：y=a（x﹣13）2+59.9，
将（30，31）代入得：
31=a（30﹣13）2+59.9，
解得：a=﹣0.1，
故：y=﹣0.1（x﹣13）2+59.9═﹣0.1x2+2.6x+43．
故选：D．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出是解题关键．
　
9．如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分的面积是（　　）

　 A． π B． 2π C． 3π D． 4π

考点： 扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．
分析： 作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC求解．
解答： 解；如图，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，
∵OD=AO，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形AOC==3π．
故选C．

点评： 本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
　
10．二次函数y=ax2+b（b＞0）与反比例函数y=在同一坐标系中的图象可能是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象．
专题： 数形结合．
分析： 先根据各选项中反比例函数图象的位置确定a的范围，再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断，从而确定该选项是否正确．
解答： 解：A、对于反比例函数y=经过第二、四象限，则a＜0，所以抛物线开口向下，故A选项错误；
B、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故B选项正确；
C、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，故C选项错误；
D、对于反比例函数y=经过第一、三象限，则a＞0，所以抛物线开口向上，而b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，故D选项错误．
故选：B．
点评： 本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了反比例函数的图象．
　
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳在升起离开地平线后，太阳和地平线的位置关系是　相离　．

考点： 直线与圆的位置关系．
专题： 应用题．
分析： 直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离．
解答： 解：太阳升起离开地平线后太阳和地平线没有公共点，根据直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，
故答案为：相离．
点评： 本题考查了直线和圆的位置关系，解题的能够根据公共点的个数判断直线和圆的位置关系．
　
12．已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则该方程的另一个根是　﹣6　．

考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解．
分析： 根据根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1•x2=，此题选择两根和即可求得．
解答： 解：∵2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，
∴2+x1=﹣4，
∴x1=﹣6，
∴该方程的另一个根是﹣6．
点评： 此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．
　
13．甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率是　　．

考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球都是红的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，取出的两个球都是红的有1种情况，
∴取出的两个球都是红的概率为：．
故答案为：．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
14．一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长为　3　cm．


考点： 切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理．
专题： 几何图形问题．
分析： 连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的倍．已知边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．
解答： 解：连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
且△ABC为等边三角形，边长为4，
故高为2，即OC=，
又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
在Rt△OFC中，可得FC=OC•cos30°=，
OF过圆心，且OF⊥CE，根据垂径定理易知CE=2FC=3．
故答案为：3．

点评： 本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识．题目不是太难，属于基础性题目．
　
15．如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（1，0），与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点B（2，1），则当x＞0时，不等式kx+b＞的解集是　x＞2　．


考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 由B的横坐标为2，将x轴正半轴分为两部分，找出一次函数在反比例函数图象上方时x的范围，即为所求不等式的解集．
解答： 解；∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点B（2，1），
∴由图象可知：当x＞0时，不等式kx+b＞的解集为x＞2．
故答案为x＞2．
点评： 此题考查了一次函数与反比例函数的交点，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合思想是解本题的关键．
　
16．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；
将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=　2　．


考点： 二次函数图象与几何变换．
专题： 压轴题．
分析： 根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m的值．
解答： 解：∵一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），
∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），
∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；
将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；
…
如此进行下去，直至得C13．
∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，
∴C13的解析式为：y13=﹣（x﹣36）（x﹣39），
当x=37时，y=﹣（37﹣36）×（37﹣39）=2．
故答案为：2．
点评： 此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．
　
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．解方程：x2﹣8x+1=0．

考点： 解一元二次方程-配方法．
专题： 计算题．
分析： 先变形得到x2﹣8x=1，再利用配方法得到（x﹣4）2=15，然后利用直接开平方法解方程．
解答： 解：x2﹣8x=1，
x2﹣8x+42=﹣1+16
（x﹣4）2=15，
x﹣4=±，
所以x1=4+，x2=4﹣．
点评： 本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
　
18．图①是电子屏幕的局部示意图，4×4网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图②的程序移动
（1）请在图①中用圆规画出光点P经过的路径；
（2）在图①中，所画图形是　轴对称　图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是　4π　（结果保留π）．


考点： 作图-旋转变换．
专题： 作图题．
分析： （1）根据旋转度数和方向分别作出弧即可；
（2）根据图形的轴对称性解答；求出四次旋转的度数之和，然后根据弧长公式列式计算即可得解．
解答： 解：（1）如图所示；

（2）所画图形是轴对称图形；
旋转的度数之和为270°+90°×2+270°=720°，
所画图形的周长==4π．
故答案为：4π．
点评： 本题考查利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键．
　
19．反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y=的图象于点M，△AOM的面积为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=的图象上，求t的值．


考点： 待定系数法求反比例函数解析式；解一元二次方程-因式分解法；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
专题： 数形结合．
分析： （1）根据反比例函数k的几何意义得到|k|=3，可得到满足条件的k=6，于是得到反比例函数解析式为y=；
（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则AB=AM=6，所以t=1+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=的图象上，根据正方形的性质得AB=BC=t﹣1，
则C点坐标为（t，t﹣1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t﹣1）=6，再解方程得到满足条件的t的值．
解答： 解：（1）∵△AOM的面积为3，
∴|k|=3，
而k＞0，
∴k=6，
∴反比例函数解析式为y=；

（2）当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数y=的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，
把x=1代入y=得y=6，
∴M点坐标为（1，6），
∴AB=AM=6，
∴t=1+6=7；
当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数y=的图象上，
则AB=BC=t﹣1，
∴C点坐标为（t，t﹣1），
∴t（t﹣1）=6，
整理为t2﹣t﹣6=0，解得t1=3，t2=﹣2（舍去），
∴t=3，
∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y=的图象上时，t的值为7或3．
点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．也考查了反比例函数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质．
　
20．已知关于x的二次函数y=mx2﹣（m+2）x+2（m≠0）．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若此抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，求正整数m的值．

考点： 抛物线与x轴的交点．
分析： （1）只需证明△=（m+2）2﹣4m×2≥0即可；
（2）利用因式分解法求得抛物线与x轴交点的横坐标，然后根据x的值来求正整数m的值．
解答： （1）证明：∵m≠0，
∴△=（m+2）2﹣4m×2
=m2+4m+4﹣8m
=（m﹣2）2．
∵（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；

（2）解：令y=0，则（x﹣1）（mx﹣2）=0，
所以 x﹣1=0或mx﹣2=0，
解得 x1=1，x2=，
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点的横坐标都是整数，
所以 正整数m的值为1或2．
点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．解答本题的关键是根据根的判别式△≥0证明抛物线与x轴有两个交点．
　
21．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x=5时，y=45，求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．


考点： 二次函数的应用；反比例函数的应用．
专题： 应用题；数形结合．
分析： （1）①利用y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200确定最大值；
②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）求出x=11时，y的值，进而得出能否驾车去上班．
解答： 解：（1）①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，
∴x=1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；
②∵当x=5时，y=45，y=（k＞0），
∴k=xy=45×5=225；

（2）不能驾车上班；
理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，
∴将x=11代入y=，则y=＞20，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
点评： 此题主要考查了反比例函数与二次函数综合应用，根据图象得出正确信息是解题关键．
　
22．有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．
（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；
（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．

考点： 列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．
专题： 常规题型．
分析： （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）首先可得所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：（1）画树状图得：

则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；

（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），
∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为：=．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
23．如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）作CD的平行线AE交⊙O于点E，已知DC=10，求圆心O到AE的距离．


考点： 切线的判定．
专题： 几何综合题．
分析： （1）连接OC，根据等腰三角形的性质求出∠CAD=∠D=∠BCD，求出∠ABC=∠D+∠BCD=2∠CAD，设∠CAD=x°，则∠D=∠BCD=x°，∠ABC=2x°，求出∠ACB=90°，推出x+2x=90，求出x，求出∠OCD=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出OC，得出OA长，求出∠OAE，根据含30度角的直角三角形性质求出OF即可．
解答： （1）证明：连接OC，
∵AC=DC，BC=BD，
∴∠CAD=∠D，∠D=∠BCD，
∴∠CAD=∠D=∠BCD，
∴∠ABC=∠D+∠BCD=2∠CAD，
设∠CAD=x°，则∠D=∠BCD=x°，∠ABC=2x°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴x+2x=90，
x=30，
即∠CAD=∠D=30°，∠CBO=60°，
∵OC=OB，
∴△BCO是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠OCD=180°﹣30°﹣60°=90°，
即OC⊥CD，
∵OC为半径，
∴DC是⊙O的切线；

（2）解：过O作OF⊥AE于F，
∵在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，CD=10，
∴OC=CD×tan30°=10，
OD=2OC=20，
∴OA=OC=10，
∵AE∥CD，
∴∠FAO=∠D=30°，
∴OF=AO×sin30°=10×=5，
即圆心O到AE的距离是5．


点评： 本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形外角性质，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好．
　
24．已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）直接写出二次函数的解析式　y=x2+1　．
（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，求其函数值y的取值范围；
（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．


考点： 二次函数综合题．
分析： （1）设二次函数解析式为y=ax2+1，由于点（﹣1，）在二次函数图象上，把该点的坐标代入y=ax2+1，即可求出a，从而求出二次函数的解析式．
（2）先分别求出x=﹣1，x=0，x=3时y的值，然后结合图象就可得到y的取值范围．
（3）过点A作y轴的对称点A′，连接BA′并延长，交y轴于点G，连接AG，如图2，则点A′必在抛物线上，且∠AGP=∠BGP，由此可得△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由于点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，从而可以得到点A的坐标为（x1，kx1+2）、A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、B的坐标为（x2，kx2+2）．设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．由于点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，可用含有k、x1、x2的代数式表示n．由于A、B是直线y=kx+2与抛物线y=x2+1的交点，由根与系数的关系可得：x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．从而求出n=0，即可证出：在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．由S△ABG=S△APG+S△BPG，可以得到S△ABG即可用k表示，从而求得最小值．
解答： （1）解：由于二次函数图象的顶点坐标为（0，1），
因此二次函数的解析式可设为y=ax2+1．
∵抛物线y=ax2+1过点（﹣1，）．
解得：a=．
∴二次函数的解析式为：y=x2+1；
（2）解：当x=﹣1时，y=，当x=0时，y=1，
当x=3时，y=结合图1可得：当﹣1＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜；
（3）①证明：∵△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，
∴GP平分∠AGB．
∴直线GP是∠AGB的对称轴．
过点A作GP的对称点A′，如图2，
则点A′一定在BG上．
∵点A的坐标为（x1，y1），
∴点A′的坐标为（﹣x1，y1）．
∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）在直线y=kx+2上，
∴y1=kx1+2，y2=kx2+2．
∴点A′的坐标为（﹣x1，kx1+2）、点B的坐标为（x2，kx2+2）．
设直线BG的解析式为y=mx+n，则点G的坐标为（0，n）．
∵点A′（﹣x1，kx1+2）、B（x2，kx2+2）在直线BG上，
∴．
解得：．
∵A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y=kx+2与抛物线y=x2+1的交点，
∴x1、x2是方程kx+2=x2+1即x2﹣4kx﹣4=0的两个实数根．
∴由根与系数的关系可得；x1+x2=4k，x1•x2=﹣4．
∴n==﹣2+2=0．
∴点G的坐标为（0，0）．
∴在此二次函数图象下方的y轴上，存在定点G（0，0），使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上．
②解：过点A作AC⊥OP，垂足为C，过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图2，
∵直线y=kx+2与y轴相交于点P，
∴点P的坐标为（0，2）．
∴PG=2．
∴S△ABG=S△APG+S△BPG
=PG•AC+PG•BD
=PG•（AC+BD）
=×2×（﹣x1+x2）
=x2﹣x1
=
=
=
=4．
∴当k=0时，S△ABG最小，最小值为4．
∴△GAB面积的最小值为4．


点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的图象、三角形的内切圆、根与系数的关系、完全平方公式等知识，综合性比较强，有一定的难度．