【解析版】2022年龙源学校九年级上第一次月考数学试卷

这是一份【解析版】2022年龙源学校九年级上第一次月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年山东省潍坊市诸城市龙源学校九年级（上）第一次月考数学试卷
　
一、选择题
1．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
　
2．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
　
3．一段公路的坡度为1：3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（　　）
A．30米 B．10米 C．3米 D．米
　
4．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（　　）米2．
A．150 B．75 C．9 D．7
　
5．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（　　）

A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D．a•cotα
　
6．如图，△ABC中，AE⊥BC于E，D为AB边上一点，如果BD=2AD，CD=10，sin∠BCD=，那么AE的值为（　　）

A．3 B．6 C．7.2 D．9
　
7．如图，E在矩形ABCD的边CD上，AB=2BC，则tan∠CBE+tan∠DAE的值是（　　）

A．2 B．2+ C．2﹣ D．2+2
　
8．如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
　
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B的度数为（　　）

A．80° B．60° C．50° D．40°
　
10．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（　　）

A．35° B．55° C．70° D．110°
　
11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　）
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
　
12．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）

A．3 B．4 C．3 D．4
　
二、填空题（每题3分，共18分）
13．计算：cos245°+tan30°•sin60°=　　　　　　．
　
14．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要　　　　　　元．

　
15．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了4个单位到达B点后，观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为　　　　　　（结果保留根号）．

　
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE=　　　　　　．

　
17．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为　　　　　　．

　
18．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为　　　　　　．

　
　
三、解答题（共66分）
19．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10㎜，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8㎜，如图所示，求这个小孔的直径AB的长．

　
20．已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港（精确到1小时）（该船在C岛停留半个小时）？．

　
21．如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．

　
22．水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米．
（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．

　
23．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE．
（1）求证：AP=AO；
（2）若弦AB=12，求tan∠OPB的值；
（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为　　　　　　，能构成等腰梯形的四个点为　　　　　　或　　　　　　或　　　　　　．

　
24．如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6cm，微风吹来，假设铅垂P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面齐平，（即PA=PC）水平l与OC的夹角α为8°（点A在OC上），求铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈，cos8°≈，tan8°≈）

　
　

2022学年山东省潍坊市诸城市龙源学校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
考点： 同角三角函数的关系．
分析： 根据锐角三角函数的概念，可以证明：同一个角的正弦和余弦的平方和等于1．
解答： 解：因为在△ABC中，∠C=90°，
所以根据同角三角函数的关系，得cosA==．
故选：A．
点评： 解答此题要用到同角三角函数关系式，同角三角函数关系常用的是：sin2x+cos2x=1；tanx•cotx=1．
　
2．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
考点： 解直角三角形．
分析： 由题意在等腰三角形中，底边上的高与底边上的中线重合，还与顶角的平分线重合，根据已知可以推出底边上的高与底边的一半之比为，且等于顶角一半的余切，所以顶角的一半为30°，由此即可得到顶角为60°．
解答： 解：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥CB于D，
依题意得CD：AD=1：=：3，
而tan∠DAC=CD：AD，
∴tan∠DAC=：3，
∴∠DAC=30°，
∴顶角∠BAC=60°．
故选A．

点评： 本题利用了等腰三角形的性质和锐角三角函数的概念解决问题．
　
3．一段公路的坡度为1：3，某人沿这段公路路面前进100米，那么他上升的最大高度是（　　）
A．30米 B．10米 C．3米 D．米
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 已知了坡面长为100米，可根据坡度比设出两条直角边的长度，根据勾股定理可列方程求出坡面的铅直高度，即此人上升的最大高度．
解答： 解：如图．Rt△ABC中，tanA=，AB=100米．
设BC=x米，则AC=3x米，根据勾股定理，得：
x2+（3x）2=1002，
解得x=10（负值舍去）．
故选D．

点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理、三角函数的运用能力．
　
4．若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（　　）米2．
A．150 B．75 C．9 D．7
考点： 解直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 过A作AE⊥CD于E，利用三角函数求高的长，再利用面积公式求解．
解答： 解：如图所示，作AE⊥CD于E．
在▱ABDC，AB=15，AC=10，∠C=60°，
sin∠C===，
∴AE=5．
∴S▱ABDC=AE×CD=5×15=75．
故选B．

点评： 考查三角函数定义及平行四边形面积公式的运用．
　
5．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（　　）

A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D．a•cotα
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
分析： 根据已知角的正切值表示即可．
解答： 解：∵AC=a，∠ACB=α，在直角△ABC中tanα=，
∴AB=a•tanα．
故选C．
点评： 正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
　
6．如图，△ABC中，AE⊥BC于E，D为AB边上一点，如果BD=2AD，CD=10，sin∠BCD=，那么AE的值为（　　）

A．3 B．6 C．7.2 D．9
考点： 解直角三角形．
专题： 计算题．
分析： 作DH⊥BC于H，如图，在Rt△CDH中，利用正弦的定义可计算出DH=6，再证明△BDH∽△BAE，然后利用相似比可计算出AE的长．
解答： 解：作DH⊥BC于H，如图，
在Rt△CDH中，∵sin∠HCD==，
∴DH=×10=6，
∵AE⊥BC于E，
∴DH∥AE，
∴△BDH∽△BAE，
∴=，
而BD=2AD，
∴=，
∴AE=9．
故选D．

点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了相似三角形的判定与性质．
　
7．如图，E在矩形ABCD的边CD上，AB=2BC，则tan∠CBE+tan∠DAE的值是（　　）

A．2 B．2+ C．2﹣ D．2+2
考点： 锐角三角函数的定义；矩形的性质．
专题： 探究型．
分析： 先根据锐角三角函数的定义得出tan∠CBE=，tan∠DAE=，再根据AD=BC，CE+DE=CD=AB=2AD即可得出结论．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴tan∠CBE=，tan∠DAE=，
∵AD=BC，CE+DE=CD=AB=2AD，
∴tan∠CBE+tan∠DAE=+===2．
故选A．
点评： 本题考查的是锐角三角函数的定义及矩形的性质，熟知“锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切”是解答此题的关键．
　
8．如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．40°
考点： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
分析： 由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数．
解答： 解：∵=，∠AOB=60°，
∴∠BDC=∠AOB=30°．
故选C．
点评： 此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
　
9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B的度数为（　　）

A．80° B．60° C．50° D．40°
考点： 圆周角定理．
分析： 由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C=90°，又由直角三角形中两锐角互余，即可求得答案．
解答： 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=40°，
∴∠B=90°﹣∠A=50°．
故选C．
点评： 此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意直径所对的圆周角是直角定理的应用．
　
10．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=35°，则∠ADC=（　　）

A．35° B．55° C．70° D．110°
考点： 圆周角定理．
分析： 先根据圆周角定理求出∠ACB=90°，再由三角形内角和定理得出∠ABC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
解答： 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=35°，
∴∠ABC=180°﹣90°﹣35°=55°，
∴∠ADC=∠ABC=55°．
故选B．
点评： 本题考查的是圆周角定理，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐含条件．
　
11．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　）
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
考点： 圆周角定理．
分析： 首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．
解答： 解：如图，∵∠AOC=160°，
∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，
∵∠ABC+∠AB′C=180°，
∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．
∴∠ABC的度数是：80°或100°．
故选D．

点评： 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．
　
12．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）

A．3 B．4 C．3 D．4
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．
解答： 解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM=ON==3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=3
故选：C．

点评： 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．
　
二、填空题（每题3分，共18分）
13．计算：cos245°+tan30°•sin60°=　1　．

考点： 特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 将cos45°=，tan30°=，sin60°=代入即可得出答案．
解答： 解：cos245°+tan30°•sin60°=+×==1．
故答案为：1．
点评： 此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
　
14．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要　150a　元．


考点： 解直角三角形的应用．
分析： 作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，则∠DAC=30°，由AC=30m，即可求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为150m2，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
解答： 解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴S△ABC=AB×CD=×20×15=150m2，
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格为150a元．
故答案为：150a．

点评： 本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于做出AB边上的高，根据相关的性质推出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
　
15．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了4个单位到达B点后，观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为　　（结果保留根号）．


考点： 坐标与图形性质；解直角三角形．
分析： 过点B作y轴的垂线，垂足为点C．由题可知∠BAC=45°，则AC=BC=4；因为∠OBC=30°，所以OC=，所以AO=AC+CO=4+．
解答： 解：过点B作y轴的垂线，垂足为点C．
在Rt△ABC中，
∵AB=4，∠BAC=45°，
∴AC=BC=4．
在Rt△OBC中，
∵∠OBC=30°，
∴OC=BC•tan30°=，
∴AO=AC+CO=4+．
∴A（0，4+）．

点评： 本题考查了在平面直角坐标系中点的坐标的确定方法，注意点的坐标与对应线段的长度之间的关系．
　
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE=　　．


考点： 垂径定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．
专题： 压轴题；探究型．
分析： 根据果AB=26，判断出半径OC=13，再根据垂径定理求出CE=CD=12，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE的长，再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数．
解答： 解：如图：
∵AB为⊙0直径，AB=26，
∴OC=×26=13，
又∵CD⊥AB，
∴CE=CD=12，
在Rt△OCE中，OE===5，
∴sin∠OCE==．
故答案为：．

点评： 本题考查了垂径定理、勾股定理、锐角三角形的定义，旨在考查同学们的应用能力．
　
17．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为　　．


考点： 圆周角定理；勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
分析： 首先构造直径所对圆周角，利用勾股定理得出BD的长，再利用cosC=cosD=求出即可．
解答： 解：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，
可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°，
∵⊙O的半径为5，
∴AD=10，
在Rt△ABD中，BD===8，
∵∠ADB与∠ACB所对同弧，
∴∠D=∠C，
∴cosC=cosD===，
故答案为：．

点评： 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理，根据已知构造直角三角形ABD是解题关键．
　
18．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为　4　．


考点： 垂径定理；三角形中位线定理．
专题： 计算题．
分析： 根据垂径定理得出AC=PC，PD=BD，根据三角形的中位线推出CD=AB，代入求出即可．
解答： 解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴由垂径定理得：AC=PC，PD=BD，
∴CD是△APB的中位线，
∴CD=AB=×8=4，
故答案为：4．
点评： 本题考查了三角形的中位线和垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．
　
三、解答题（共66分）
19．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10㎜，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8㎜，如图所示，求这个小孔的直径AB的长．


考点： 垂径定理的应用；勾股定理．
专题： 应用题．
分析： 过O作OC⊥AB，交AB于点C，连接OA，如图所示，由垂径定理得到C为AB的中点，接下来求AC，由钢珠的直径为10mm，得到半径为5mm，由8﹣5求出OC的长为3mm，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由AB=2AC即可求出AB的长．
解答： 解：过O作OC⊥AB，交AB于点C，连接OA，如图所示，
可得C为AB的中点，即AC=BC，
∵钢珠的直径为10mm，
∴OA=5mm，OC=8﹣5=3mm，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC==4mm，
则AB=2AC=8mm．

点评： 此题考查了垂径定理的应用，以及勾股定理的应用，熟练掌握定理是解本题的关键．
　
20．已知：如图，一艘渔船正在港口A的正东方向40海里的B处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C岛运送一批物资到A港，已知C岛在A港的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向．问该船从B处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A港（精确到1小时）（该船在C岛停留半个小时）？．


考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
分析： 作CD⊥AB于D点．设CD=x海里，在直角△ACD中，利用x表示出AC，AD，同理表示出BD，BC，根据AB=40即可列出方程求得CD的长，则AC+CB即可求得，然后除以速度即可得到时间．
解答： 解：作CD⊥AB于D点．设CD=x海里，
在直角△ACD中，∠CAD=90°﹣60°=30°，
则AC=2x，AD=x，
在直角△BCD中，∠CBD=45°，
则BD=CD=x，BC=CD=x，
∵AB=40，即AD+BD=40，
∴x+x=40，
解得：x=20（﹣1），
∴BC=20（﹣1）=20﹣20，AC=2x=40（﹣1），
则总路程是：20﹣20+40（﹣1）海里，
则时间是：=﹣+2﹣2≈2.45﹣1.41+2×1.73﹣2≈2.5（小时）．
∵该船在C岛停留半个小时，
∴需要3小时能把这批物资送到A港．

点评： 本题主要考查了方向角含义，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
　
21．如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．


考点： 圆周角定理；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： （1）连结OB、OC，如图，证明△OBC为等边三角形得到∠BOC=60°，然后根据圆周角定理求解；
（2）作OH⊥BC于H，交⊙O于D，连结DB、DC，则点D为优弧BC的中点，根据等边三角形的性质得OH=BC=，则可计算出S△BDC=2+，由于点A为弦BC所对优弧的中点时，点A到BC的距离最大，此时△ABC面积的最大，所以△ABC面积的最大值为2+．
解答： 解：（1）连结OB、OC，如图，
∵OB=OC=2，BC=2，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BAC=∠BOC=30°；
（2）作OH⊥BC于H，交⊙O于D，连结DB、DC，则点D为优弧BC的中点，
∵△OBC为等边三角形，
∴OH=BC=，
∴S△BDC=×2×（2+）=2+，
∵点A为弦BC所对优弧的中点时，点A到BC的距离最大，此时△ABC面积的最大，
∴△ABC面积的最大值为2+．

点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．
　
22．水利部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B=60°，背水坡面CD的长为米，加固后大坝的横截面积为梯形ABED，CE的长为8米．
（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
（2）求加固后的大坝背水坡面DE的坡度．


考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： （1）分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G．在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；以CE为底，DG为高即可求出△CED的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积；
（2）在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，即可得到GE的长；Rt△DEG中，根据DG、GE的长即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比．
解答： 解：（1）分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．
∵在Rt△ABF中，AB=16米，∠B=60°，
sinB=，
∴在矩形AFGD中，AF=16×=8（米），DG=8米
∴S△DCE=×CE×DG=×8×8=32（平方米）
需要填方：150×32=4800（立方米）；

（2）在直角三角形DGC中，DC=16米，
∴GC==24米，
∴GE=GC+CE=32米，
坡度i=DG：GE=8：32=：4．

点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．解题的关键是牢记坡度是竖直高度与水平宽度的比值．
　
23．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE．
（1）求证：AP=AO；
（2）若弦AB=12，求tan∠OPB的值；
（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为　P、A、O、C　，能构成等腰梯形的四个点为　P、A、O、D　或　P、B、O、C　或　A、B、D、C　．


考点： 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；等腰梯形的判定；垂径定理；圆内接四边形的性质．
专题： 综合题．
分析： （1）由PG平分∠EPF可得∠CPO=∠APO，由AO∥PD可得∠CPO=∠AOP，从而有∠APO=∠AOP，则有AP=AO．
（2）过点O作OH⊥AB于H，如图2．根据垂径定理可得AH=BH=6，从而可求出PH，在Rt△AHO中，运用勾股定理可求出OH，然后运用锐角三角函数的定义就可解决问题．
（3））①过点O作OH⊥AB于H，过点O作OQ⊥CD于Q，连接OC，如图3．易证△PQO≌△PHO，则有PQ=PH，OQ=OH，从而可证到Rt△OQC≌Rt△OHA（HL），则有QC=HA，从而可证到PC=PA=OA=OC，因而四边形PAOC是菱形．②连接OC、OB，如图4．由四边形PAOC是菱形可得OC∥PA，易证PC=OB，故四边形PCOB是等腰梯形．③连接OC、OD，如图5．同理可得梯形PAOD是等腰梯形．④连接OC、AC、BD，如图6．由四边形PAOC是菱形可得PA=PC，则有∠PAC=∠PCA．根据圆内接四边形的性质可得∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，从而有∠PAC=∠PDB=∠PCA=∠PBD，则有PD=PB，AC∥BD，易证CD=AB，故四边形ABDC是等腰梯形．
解答： （1）证明：如图1，

∵PG平分∠EPF，
∴∠CPO=∠APO．
∵AO∥PD，
∴∠CPO=∠AOP，
∴∠APO=∠AOP，
∴AP=AO．

（2）解：过点O作OH⊥AB于H，如图2．

根据垂径定理可得AH=BH=AB=6，
∴PH=PA+AH=AO+AH=10+6=16．
在Rt△AHO中，
OH===8，
∴tan∠OPB===．
∴tan∠OPB的值为．

（3）解：①过点O作OH⊥AB于H，过点O作OQ⊥CD于Q，连接OC，如图3．

在△PQO和△PHO中，
，
∴△PQO≌△PHO（AAS），
∴PQ=PH，OQ=OH．
在Rt△OQC和Rt△OHA中，
，
∴Rt△OQC≌Rt△OHA（HL），
∴QC=HA，
∴PC=PA，
∴PC=PA=OA=OC，
∴四边形PAOC是菱形．
②连接OC、OB，如图4．

∵四边形PAOC是菱形，∴OC∥PA．
∵PC∥OA，∴PC与OB不平行，
∴四边形PCOB是梯形．
∵PC=OA=OB，
∴梯形PCOB是等腰梯形．
③连接OC、OD，如图5．

∵四边形PAOC是菱形，
∴PA∥OC，
∴PA与OD不平行．
∵OA∥PD，
∴四边形PAOD是梯形．
∵PA=OA=OD，
∴梯形PAOD是等腰梯形．
④连接OC、AC、BD，如图6．

∵四边形PAOC是菱形，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA．
根据圆内接四边形的性质可得：∠PAC=∠PDB，∠PCA=∠PBD，
∴∠PAC=∠PDB=∠PCA=∠PBD，
∴PD=PB，AC∥BD，
∵CD与AB不平行，
∴四边形ABDC是梯形，
∵CD=PD﹣PC=PB﹣PA=AB，
∴梯形ABDC是等腰梯形．
故答案为：P、A、O、C；P、A、O、D；P、B、O、C；A、B、D、C．
点评： 本题考查了垂径定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰梯形的判定、勾股定理、锐角三角函数的定义、平行线的性质、角平分线的定义等知识，综合性比较强．
　
24．如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6cm，微风吹来，假设铅垂P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面齐平，（即PA=PC）水平l与OC的夹角α为8°（点A在OC上），求铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈，cos8°≈，tan8°≈）

考点： 解直角三角形的应用．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 在Rt△ABC中，已知∠ACB=α=8°，AB=6，根据三角函数就可以求出BC的长；在直角△ABC中，根据已知条件，利用勾股定理就可以求出水深h．
解答： 解：∵l∥BC，∴∠ACB=α=8°，
在Rt△ABC中，∵tanα=，
∴BC===42（cm），
根据题意，得h2+422=（h+6）2，
∴h=144（cm）．
答：铅锤P处的水深约为144cm．
点评： 本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用．