新人教A版高考数学二轮复习专题九平面解析几何5抛物线专题检测含解析

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抛物线
专题检测
【3年模拟】
1.(2020四川天府名校10月联考,7)若抛物线y2=2px(p≠0)的准线为圆x2+y2+4x=0的一条切线,则抛物线的方程为 (　　)
A.y2=-16x　　B.y2=-8x
C.y2=16x　　D.y2=8x
答案　C　抛物线y2=2px(p≠0)的准线为x=-p2,且准线垂直于x轴,圆x2+y2+4x=0的垂直于x轴的切线方程为x=-4和x=0,又p≠0,∴p2=4,即p=8.故抛物线的方程为y2=16x.故选C.
2.若动点P与定点F(1,1)和直线l:3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是 (　　)
A.椭圆　　B.双曲线　　C.抛物线　　D.直线
答案　D　因为定点F(1,1)在直线l:3x+y-4=0上,所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线,就是经过定点F与直线l:3x+y-4=0垂直的直线.故选D.
易错警示　定点F不在直线上时满足条件的点的轨迹是抛物线.
3.(2018重庆一模,6)已知抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),则该抛物线的焦点到准线的距离等于 (　　)
A.18　　B.14　　C.12　　D.1
答案　B　因为抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),
所以2=2p×12,解得p=1,
则抛物线的方程为y=2x2,即x2=12y,
其焦点坐标为0,18,准线方程为y=-18,
∴该抛物线的焦点到准线的距离等于14,故选B.
4.(2020湖南张家界民族中学第二次月考,16)已知直线y=2x+b与抛物线x2=4y相切于点A,F是抛物线的焦点,直线AF交抛物线于另一点B,则|BF|=　　　　. 
答案　54
解析　联立y=2x+b,x2=4y,消去y得x2-8x-4b=0,
∵直线y=2x+b与抛物线x2=4y相切,
∴Δ=64+16b=0,∴b=-4.
由x2-8x+16=0,得x1=x2=4,∴A(4,4),
又∵F(0,1),∴直线AF的方程为y=34x+1,与x2=4y联立,
消去y得x2-3x-4=0,∴x1=4,x2=-1,
∴B-1,14,
∴|BF|=yB+p2=14+1=54.
5.(2020山东夏季高考模拟,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于A,B两点,则p=　　　,1|AF|+1|BF|=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) 
答案　2;1
解析　∵抛物线y2=2px的焦点为F(1,0),∴p2=1,∴p=2.
当AB与x轴垂直时,|AF|=|BF|=2,从而1|AF|+1|BF|=1;
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的斜率为k(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AB的方程为y=k(x-1),
联立y=k(x-1),y2=4x,消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
则x1x2=1,从而1|AF|+1|BF|=1x1+1+1x2+1=x2+1+x1+1(x1+1)(x2+1)=x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=1.
综上,1|AF|+1|BF|=1.
6.(2017江苏六市联考,6)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3,则点P的横坐标是　　　　. 
答案　2
解析　设P(m,n),由y2=4x得准线方程为x=-1,由抛物线的定义得1+m=3,所以m=2.
7.(2018江苏溧水高级中学高三期初模拟)已知点F为抛物线y2=4x的焦点,该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5,则直线AF的斜率为　　　　. 
答案　43
解析　由抛物线定义得xA+1=5,故xA=4,又点A位于第一象限,因此yA=4,又F(1,0),从而kAF=4-04-1=43.
8.(2019江苏南通中学质检)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为　　　　. 
答案　-34
解析　由已知,得准线方程为x=-2,所以F的坐标为(2,0).又A(-2,3),所以直线AF的斜率为3-0-2-2=-34.
9.(2018天津南开中学第三次月考,13)已知M为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,若以M为圆心经过原点的圆与x轴交于另一点(2,0),且与该抛物线的准线相切,则p的值为　　　　. 
答案　4
解析　∵M为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,以M为圆心经过原点的圆与x轴交于另一点(2,0),且与该抛物线的准线相切,∴抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),∴准线方程为x=-2,可得p2=2,解得p=4.
10.(2019江苏栟茶中学期中)顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=35,求此抛物线方程.
解析　设所求的抛物线方程为y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直线y=2x-4代入y2=ax,
得4x2-(a+16)x+16=0,
由Δ=(a+16)2-256>0,得a>0或a0,y0=2k=2m,∴m212.
13.(2020贵州六盘水期末)已知抛物线y2=4x的焦点是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,且椭圆的离心率e=22.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)直线l与椭圆C交于不同的两点P,Q,且线段PQ的中点为Mm,12,直线l'是线段PQ的垂直平分线,若l'与x轴交于点N(n,0),求n的取值范围.
解析　(1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以椭圆C中c=1,
椭圆的离心率e=ca=1a=22,解得a=2,所以b2=a2-c2=2-1=1,
所以椭圆C的标准方程为x22+y2=1.
(2)由题意,将y=12代入椭圆方程得x22+14=1,
解得x=±62,所以-620,
联立y-14=k(x-1),x2=4y,得x2-4kx+4k-1=0,Δ=16k2-16k+4>0,
根据根与系数的关系得xB+xP=4k,∴xB=4k-1,
由于AP⊥BP,同理可得xA=-4k-1,
又∵xN=k4+1,xM=0,
∴|AP||BP|=1+1k2|xP-xA|·k2+1|xB-xP|=1+k2k·2+4k(4k-2)=4(1+k2)(2k-1)(k+2)k2,
|MP||NP|=k2+1|xP-xM|·1+1k2|xN-xP|=1+k24,
∴|AP||BP||MP||NP|=4(1+k2)(2k-1)(k+2)k2×41+k2=16(2k-1)(k+2)k2=16-2k2+3k+2=-321k-342+50≤50,
∴|AP||BP||MP||NP|的最大值为50.