新人教A版高考数学二轮复习专题六数列3等比数列专题检测含解析

等比数列

专题检测

1.(2019北京朝阳二模,5)已知等差数列{an}的首项为a1,公差d≠0,则“a1,a3,a9成等比数列”是“a1=d”的              (　　)

A.充分而不必要条件　　B.必要而不充分条件

C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件

答案　C　由a1,a3,a9成等比数列,得=a1a9,从而(a1+2d)2=a1(a1+8d),又d≠0,所以a1=d;若a1=d,则a3=3a1,a9=9a1,从而有=a1a9,所以a1,a3,a9成等比数列.故“a1,a3,a9成等比数列”是“a1=d”的充要条件,故选C.

2.(2018河南新乡二模,6)在公比为q的正项等比数列{an}中,a4=4,则当2a2+a6取得最小值时,log2q=              (　　)

A.　　B.-　　C.　　D.-

答案　A　由题意知a2>0,a6>0,所以2a2+a6≥2=2=8,当且仅当q4=2时取等号,所以log2q=log2=,选A.

3.(20195·3原创冲刺卷三,5)已知数列{an}为正项等比数列,a2=,a3=2a1,则a1a2+a2a3+…+anan+1=              (　　)

A.(2+)[1-]　　B.(2+)[-1]

C.(2n-1)　　D.(1-2n)

答案　C　由{an}为正项等比数列,且a2=,a3=2a1,可得a1=1,公比q=,所以数列{anan+1}是以为首项,2为公比的等比数列,则a1a2+a2a3+…+anan+1==(2n-1).故选C.

4.(2018福建厦门模拟,8)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n+1+λ,则λ= (　　)

A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2

答案　A　解法一:依题意,a1=S1=4+λ,a2=S2-S1=4,a3=S3-S2=8,因为{an}是等比数列,所以=a1·a3,所以8(4+λ)=42,解得λ=-2.故选A.

解法二:Sn=2n+1+λ=2×2n+λ,易知q≠1,因为{an}是等比数列,所以Sn=-qn,据此可得λ=-2.故选A.

5.(20195·3原创冲刺卷八,5)已知等比数列{an}满足a1+a2=12,a1-a3=6,则当a1·a2·…·an取到最大值时,n的值为              (　　)

A.3　　B.4　　C.3或4　　D.5

答案　C　设等比数列{an}的公比为q,由a1+a2=12,a1-a3=6,可得解得

∴an=8×=(n∈N*),

∴a1·a2·…·an==,

令f(n)=n(n-7)=(n2-7n)=-,

当n=3或n=4时,f(n)有最小值,且f(n)min=-6,

故当n=3或4时,a1·a2·…·an取得最大值,故选C.

6.已知各项均为正数的等比数列{an},a1>1,0<q<1,其前n项和为Sn,则下列说法正确的是              (　　)

A.数列{lnan}为等差数列

B.若Sn=Aqn+B,则A+B=0

C.Sn·S3n=

D.记Tn=a1·a2·…·an,则数列{Tn}有最大值

答案　ABD　由题意可知,an=a1qn-1,Sn=.A选项,lnan=ln(a1qn-1)=lna1+(n-1)lnq,lnan+1=ln(a1qn)=lna1+nlnq,∴lnan+1-lnan=lnq,故{lnan}为等差数列,故A正确;

B选项,Sn==-qn+,

又Sn=Aqn+B,则A+B=-+=0,故B正确;

C选项,Sn=,S3n=,

Sn·S3n=,S2n=,=.

明显Sn·S3n≠,故C错误;

D选项,Tn=a1·a2·…·an,由于a1>1,0<q<1,故数列为单调递减数列,总存在从某一项开始使得ak=a1qk-1∈(0,1),故Tk-1=a1·a2·…·ak-1为最大值,故D正确.故选ABD.

7.(2020浙江金丽衢十二校联考,19)在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.

(1)证明:数列{an-n}是等比数列;

(2)记bn=(an-n)n,求数列{bn}的前n项和Sn.

解析　本题考查等比数列的概念以及数列求和;考查学生运算求解的能力;考查数学运算的核心素养.

(1)证明:an+1-n-1=4an-4n=4(an-n),

则=4,

a1-1=2-1=1≠0,

所以数列{an-n}是以1为首项,4为公比的等比数列.

(2)由(1)知bn=(an-n)n=n·4n-1.

解法一:Sn=1×40+2×4+3×42+…+n·4n-1,①

4Sn=1×4+2×42+3×43+…+(n-1)·4n-1+n·4n,②

①-②得-3Sn=1+4+42+43+…+4n-1-n·4n=-n·4n=-,

故Sn=.

解法二:令f(x)=x+x2+…+xn,

则f'(x)=1+2x+3x2+…+nxn-1,

又(x+x2+…+xn)'='=,

所以1+2x+3x2+…+nxn-1=,

由题意求bn=n·4n-1的和,只需令x=4即可,

即1+2×4+3×42+…+n·4n-1==.

8.(20205·3原创题)数列{an}满足a1=7,且当n≥2时,总有an=λan-1+μ成立(其中λ,μ为常数).

(1)试写出λ,μ满足的关系式,使得数列{an-3}是等比数列;

(2)记bn=,Sn为数列{bn}的前n项和,若λ=2,μ=-3,不等式Sn<K恒成立,求K的取值范围.

解析　(1)由题意知,对任意n≥2,an=λan-1+μ①,

若{an-3}是等比数列,则必存在q≠0,对任意n≥2,有an-3=q(an-1-3),

整理得an=qan-1+3-3q②,

由①②得

消去q,得3λ+μ=3(λ≠1且λ≠0).

(2)显然λ=2,μ=-3满足(1)中求得的关系式,

此时{an-3}是以7-3=4为首项,2为公比的等比数列,

故an-3=4×2n-1,an=2n+1+3,

则bn===·=,

因此Sn=b1+b2+…+bn=++…+=+--=--,

显然{Sn}是递增数列,因此,当n∈N*时,Sn∈,

因为Sn<K恒成立,故K≥.