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新人教A版高考数学二轮复习专题十一概率与统计1随机事件古典概型与几何概型综合集训含解析
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这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题十一概率与统计1随机事件古典概型与几何概型综合集训含解析，共21页。
专题十一 概率与统计
备考篇
【考情探究】
课标解读
考情分析
备考指导
主题
内容
一、随机事件的概率、古典概型与几何概型
1.了解两个互斥事件的概率加法公式.
2.理解古典概型及其概率计算公式.
3.理解几何概型及其概率计算公式.
1.本专题内容为高考热点,题型以一大一小形式出现,小题为选择题或填空题,难度较小,解答题的难度有所增加.重在考查学生的逻辑思维能力,对事件进行分析、分解和转化的能力.
2.考查内容主要体现在以下方面:(1)样本的抽样方法,数字特征,古典概型,离散型随机变量的分布列,二项分布,正态分布等.(2)在实际问题中的分布列、正态分布、统计案例的运用.
3.重点考查数据分析、数学运算和逻辑推理的核心素养.
1.古典概型常以小题的形式出现,求基本事件的个数时常涉及排列数、组合数的计算,计算时首先判断事件是否与顺序有关,以确定是排列问题,还是组合问题.
2.相互独立事件、互斥事件常作为解答题的第(1)问,是进一步求分布列、期望与方差的基础,求解该类问题要正确理解题意,准确判断概率模型,恰当选择概率公式.
3.求解离散型随机变量的分布列与期望,关键要过好“三关”:一是“判断关”,即依题意判断随机变量的所有可能的取值,二是“求概率关”,即利用两个计数原理,排列与组合内容,以及古典概型的概率公式求随机变量取各个值时的概率,三是“应用定义关”,即列出随机变量的分布列,并利用随机变量的数学期望的定义进行计算,若能判定随机变量X服从二项分布,则可利用E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,从而避免复杂的运算,提高解题的准确度.
4.关注概率与其他知识综合考查的题目,强化概率在决策问题中的运用,在不同背景下抽象出数学本质的方法值得关注,应强化在知识的形成过程、知识迁移中渗透学科素养.
二、离散型随机变量及其分布列
1.理解离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解超几何分布.
3.理解取值有限的离散型随机变量的均值、方差的概念,并会计算均值、方差.
三、二项分布与正态分布
1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,能解决一些简单的实际问题.
2.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义,并进行简单应用.
四、抽样方法、用样本估计总体
1.会用简单随机抽样抽取样本.
2.能从样本数据中提取数字特征(如平均数、标准差).
3.会用样本的频率分布(数字特征)估计总体分布(数字特征).
五、变量间的相关关系、统计案例
1.会作散点图,并会用其认识变量间的相关关系.
2.了解最小二乘法的思想,能根据所给公式求线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆).
3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的方法,并能解决一些简单问题.
4.了解回归分析的基本方法,并能解决一些简单的实际问题.
【真题探秘】
方法总结
1.独立性检验的思想来自于统计上的假设检验思想,它与反证法类似,它们都是先假设结论不成立,然后根据是否能推出“矛盾”来判断结论是否成立的.但二者“矛盾”的含义不同,反证法中的“矛盾”是指不符合逻辑的事件发生,独立性检验中的矛盾是在结论不成立的假设下推出有利于结论成立的小概率事件的发生.
2.独立性检验的一般步骤:
(1)独立性检验原理只能解决两个对象,每个对象有两类属性的问题,所以对于一个实际问题,我们要首先确定能否用独立性检验的思想加以解决;
(2)如果确定属于这类问题,要科学地抽取样本,样本容量要适当,不可太小;
(3)根据数据列出2×2列联表;
(4)提出假设H0:所研究的两类对象(X,Y)无关;
(5)根据公式计算K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d的值;
(6)比较观测值k与临界值表中相应的检验水平,根据小概率原理肯定或者否定假设,即判断X、Y是否相关.
核心素养
数据分析、数学运算,逻辑推理
[教师专用题组]
1.真题多维细目表
考题
涉分
题型
难度
考点
考向
解题方法
核心素养
2020新高考Ⅱ,9
5
多项
选择题
中
统计图表
折线图
分析法
数据分析
2020天津,4
5
选择题
易
统计图表
频率分布直方图
定义法
数学运算
2020课标Ⅰ文,17
12
解答题
中
统计案例
用频率估计概率、利用
统计知识进行决策
公式法
数学运算
2020北京,18
14
解答题
中
抽样方法与
总体分布的估计
抽样方法与事件的概率估计
定义法
数据分析
数学运算
2020课标Ⅰ文,4
5
选择题
易
古典概型
古典概型求事件的概率
定义法
数据分析
数学运算
逻辑推理
2020新高考Ⅰ,12
5
多项
选择题
难
离散型随机变
量及其分布列
新定义、离散型随机变量及其
分布列、对数运算、比较大小
定义法
公式法
数据分析
数学运算
逻辑推理
2020天津,13
5
填空题
易
相互独立事件
求相互独立事件的概率
公式法
数学运算
逻辑推理
2020课标Ⅰ,文5,理5
5
选择题
易
变量间的相关关系
散点图、确定回归方程类型
定义法
数据分析
2020新高考Ⅰ,19
12
解答题
中
统计案例
概率的估计值、独立性检验
定义法
数据分析
数学运算
逻辑推理
2.命题规律与探究
1.从2020年高考情况来看,本专题内容依然为高考热点,题型以一大一小形式出现,小题主要为选择题或填空题,难度较小,解答题的难度有所增加,如2020年课标Ⅰ卷理数第19题以三人的羽毛球比赛为背景,将概率问题融入常见的羽毛球比赛中,以参赛人的获胜概率设问,重在考查学生的逻辑思维能力,对事件进行分析、分解和转化的能力,分值约为15分.
2.本专题内容在高考试题的选择题、填空题中主要考查抽样方法,古典概型,用样本估计总体等,解答题常利用排列组合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差、二项分布和正态分布等问题,注意概率与其他知识的综合考查.
3.在处理小题时常用公式法,或排列组合知识,注意逻辑推理的灵活运用.
4.本章重点考查的学科核心素养为数据分析、数学运算和逻辑推理.
3.命题变化与趋势
1.从2020年高考情况来看,考查难度有所降低,更强调知识的应用性,试题背景与日常生活及其他学科贴近,体现统计思想与概率思想.
2.考查内容主要体现在以下方面:①样本的抽样方法,数字特征,古典概型,离散型随机变量的分布列,二项分布,正态分布等常规题型.②在实际问题中的分布列,正态分布,统计案例的运用.③概率问题与其他知识的综合考查近年难度加大,备考时需给予关注和强化.
3加强关注概率与其他知识综合考查的题目,强化概率在决策问题的运用,在不同背景下抽象出数学本质的方法值得关注.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.
§11.1 随机事件、古典概型与几何概型
基础篇
【基础集训】
考点一 事件与概率
1.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”,决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好,但是你俩都没得到第一名”;对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析,丙是第一名的概率是( )
A.15 B.13 C.14 D.16
答案 B
2.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是310,那么概率是710的事件是( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
答案 A
3.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面标有奇数,事件B表示向上的一面上的数不超过3,事件C表示向上的一面上的数不小于4,则 ( )
A.A与B是互斥而非对立事件
B.A与B是对立事件
C.B与C是互斥而非对立事件
D.B与C是对立事件
答案 D
4.男队有号码分别为1,2,3的三名乒乓球运动员,女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员,现两队各出一名运动员比赛一场,则出场的两名运动员号码不同的概率为 .
答案 34
考点二 古典概型
5.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元共5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的红包金额之和不低于3元的概率是 ( )
A.310 B.25 C.12 D.35
答案 D
6.每年三月为学雷锋活动月,某班有青年志愿者男生3人,女生2人,现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动,则选出的2名志愿者性别相同的概率为 ( )
A.35 B.25 C.15 D.310
答案 B
7.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率是 ( )
A.512 B.13 C.14 D.16
答案 A
8.某车间共有6名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人,从该车间的6名工人中任取2名,则恰有1名优秀工人的概率为 ( )
A.19 B.13 C.815 D.715
答案 C
9.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是 .
答案 23
考点三 几何概型(旧课标)
10.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为 ( )
A.15 B.14 C.13 D.12
答案 B
11.赵爽弦图(图1)取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.图2是由弦图变化得到的,它是由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成的.现随机向图2中大正方形的内部投掷一枚飞镖,若直角三角形的直角边长分别为2和3,则飞镖投中小正方形(阴影)区域的概率为( )
A.125 B.425 C.925 D.536
答案 A
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 事件与概率
1.(2019陕西咸阳模拟检测(一),4)某校高三(1)班50名学生参加1500m体能测试,其中23人成绩为A,其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人,若抽得B的概率是0.4,则抽得C的概率是 ( )
A.0.14 B.0.20 C.0.40 D.0.60
答案 A 由题意得抽到C的概率为1-2350-0.4=0.14.
2.(2020四川绵阳二诊,8)甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为 ( )
A.18 B.14 C.38 D.12
答案 B 甲、乙、丙三人每人有2种选择,共有23=8种情况,甲、乙、丙三人去同一景点有2种情况,
故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14.
3.甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是 ( )
A.1 B.16
C.12 D.13
答案 D 甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6种,其中甲排在左边的站法有2种,
∴甲排在左边的概率是26=13.故选D.
4.(2017福建泉州高考考前适应性模拟(一),3)从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球,若取到红球的概率是25,则取得白球的概率等于 ( )
A.15 B.25 C.35 D.45
答案 C 取得红球与取得白球为对立事件,∴取得白球的概率P=1-25=35.
5.(2019山东烟台一模,3)已知甲袋中有1个红球1个黄球,乙袋中有2个红球1个黄球,现从两袋中各随机取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为 ( )
A.13 B.12 C.23 D.56
答案 D 本题考查概率的求法,考查对立事件概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
甲袋中有1个红球1个黄球,乙袋中有2个红球1个黄球,
现从两袋中各随机取一个球,基本事件总数n=C21C31=6,
取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球,
∴利用对立事件概率计算公式得,取出的两球中至少有1个红球的概率为P=1-C11C116=56.故选D.
考点二 古典概型
1.(2018湖南(长郡中学、衡阳八中)、江西(南昌二中)等十四校第二次联考,9)已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为 ( )
A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.35
答案 C 指定1,2,3,4表示下雨,未来三天恰有一天下雨就是三个数字中只有一个数字在集合{1,2,3,4}中,20组随机数中,有8组符合题意,为925,458,683,257,027,488,730,537,∴所求概率P=820=0.4,故选C.
2.(2016宁夏银川第一次大联考,3)某中学共8个艺术社团,现从中选10名同学组成新春社区慰问小组,其中书法社团需选取3名同学,其他社团各取1名同学.现从这10名同学中随机选取3名同学,到社区养老院参加“新春送欢乐”活动(每位同学被选到的可能性相同).则选取的3名同学来自不同社团的概率为( )
A.710 B.724 C.4960 D.710
答案 C 从10名同学中选3名,共有C103种选法,选取的3名同学来自不同社团包括两类:
①3名均来自书法社团以外的7个社团,有C73种选法;②有1名来自书法社团,有C31C72种选法.
∴选出的3名同学来自不同社团的概率为C73+C31C72C103=4960.
3.(2017辽宁沈阳一模,6)将A,B,C,D这4名同学从左至右随机地排成一排,则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是 ( )
A.12 B.14 C.16 D.18
答案 B ∵将A,B,C,D这4名同学从左至右随机地排成一排,基本事件总数n=A44=4×3×2×1=24,
“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”包含的基本事件有:ABCD,CBAD,CDAB,DABC,DCBA,BADC,共6个,
∴“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率P=624=14.故选B.
4.(2018吉林实验中学期中)箱子里有3双颜色不同的手套(红蓝黄各1双),有放回地拿出2只,记事件A表示“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”,则事件A的概率为 ( )
A.16 B.13 C.15 D.25
答案 B 分别设3双手套为a1a2;b1b2;c1c2.a1,b1,c1分别代表左手手套,a2,b2,c2分别代表右手手套.从箱子里的3双颜色不同的手套中,随机有放回地拿出2只,基本事件总数n=6×6=36,
事件A包含:(a1,b2),(b2,a1),(a1,c2),(c2,a1),(a2,b1),(b1,a2),(a2,c1),(c1,a2),(b1,c2),(c2,b1),(b2,c1),(c1,b2),12个基本事件.
故事件A的概率P(A)=1236=13.故选B.
5.(2020上海浦东一模,8)已知集合A=-2,-1,-12,13,12,1,2,3,任取k∈A,则幂函数f(x)=xk为偶函数的概率为 (结果用数值表示).
答案 14
解析 集合A=-2,-1,-12,13,12,1,2,3,任取k∈A的基本事件总数为8,
当k=±2时,幂函数f(x)=xk为偶函数,从而幂函数f(x)=xk为偶函数包含的基本事件个数为2,
∴幂函数f(x)=xk为偶函数的概率P=14.
考点三 几何概型(旧课标)
1.(2018宁夏银川一中5月模拟,6)将一根长为6m的绳子剪为二段,则其中一段长度大于另一段长度的2倍的概率为 ( )
A.13 B.23 C.25 D.35
答案 B 绳子的长度为6m,折成两段后,设其中一段长度为xm,则另一段长度为(6-x)m,记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A,
则A={x|02(6-x)或6-x>2x}={x|0
2.(2020天一联考“顶尖计划”高中毕业班第二次考试,4)一个陶瓷圆盘的半径为10cm,中间有一个边长为4cm的正方形花纹,向盘中投入1000粒米后,发现落在正方形花纹上的米共有51粒,据此估计圆周率π的值为(精确到0.001) ( )
A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.147
答案 B 本题考查几何概型.
由题意得42π·102=511000⇒π≈3.137.
3.(2018四川成都龙泉驿一模,5)如图,扇形AED是以正方形ABCD的边AD为直径的半圆,向正方形ABCD内随机投入一点,则该点落在阴影区域内的概率为 ( )
A.π16 B.316 C.π4 D.14
答案 D 连接AE,由圆的对称性得阴影部分的面积等于△ABE的面积,易知S△ABES正方形ABCD=14,
所以该点落在阴影区域内的概率P=14.故选D.
4.(2020湖南常德期末,9)已知A是圆M的圆周上一定点,若在圆M的圆周上的其他位置任取一点B,连接AB,则“线段AB的长度不大于圆M的半径”的概率为 ( )
A.12 B.13 C.16 D.23
答案 B 如图所示的圆M中,△AMD和△AMC为等边三角形,当点B位于劣弧CD上(不与A重合)时满足题意.
故由几何概型概率计算公式可得,所求概率P=120°360°=13.
5.(2019四川绵阳高三二诊,14)某景区观光车上午从景区入口发车的时间为7:30,8:00,8:30,某人上午7:40至8:30随机到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不多于10分钟的概率是 .
答案 25
解析 设该人到达的时刻为x,
当x在7:50至8:00,或8:20至8:30时,等待时间不超过10分钟,
所以所求概率P=10+1020+30=25.
6.(2018辽宁沈阳育才学校五模,14)一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 .
答案 π6
解析 如图,
设正方体的棱长为2a,则其内切球的半径为a,
则V正方体=8a3,V球=4π3a3,
∴蜜蜂“安全飞行”的概率P=V球V正方体=4π3a38a3=π6.
故答案为π6.
综合篇
【综合集训】
考法一 古典概型概率的求法
1.(2021届辽宁上学期测试,6)《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产之一,是一部传习久远的兵法奇书,与《孙子兵法》合称我国古代兵法谋略学的双壁.《三十六计》共分胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计六套,每一套都包含六计,合三十六个计策,如果从这36个计策中任取2个计策,则这2个计策都来自同一套的概率为 ( )
A.121 B.114 C.17 D.142
答案 C
2.(2020广西南宁摸底)某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了3份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示.若分别从(1)班,(2)班的样本中各随机抽取一份,则(2)班成绩更好的概率为( )
A.29 B.13 C.12 D.49
答案 B
3.(2021届安徽皖江名校联盟第一次联考)新冠肺炎疫情期间部分中小学居家上网学习,某市教育局为了解学生线上学习的情况,准备从10所学校(其中6所中学,4所小学)随机选出3所进行调研,其中M中学与N小学同时被选中的概率为 ( )
A.15 B.18 C.115 D.320
答案 C
4.(2021届浙江名校新高考研究联盟(Z20名校联盟)第一次联考,16)甲从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个不同的元素,并按降序排列得到十进制三位数a,乙从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三个不同的元素,并按降序排列得到十进制三位数b,则a>b的概率为 .
答案 3756
5.(2021届江苏扬州邗江蒋王中学第一次质量检测,13)从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个,则所取3个数之和为偶数的概率为 .
答案 25
考法二 几何概型概率的求法
6.(2020河南安阳第一次调研月考,10)从[-2,3]中任取一个实数a,则a的值能使函数f(x)=x+asinx在R上单调递增的概率为 ( )
A.45 B.35 C.25 D.15
答案 C
7.(2020福建漳州第二次适应性测试,4)中华文化博大精深,我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)进行统计,现将其抽象成如图2所示的图形,其中圆的半径为2cm,正方形的边长为1cm,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是p,则圆周率π的近似值为 ( )
A.14(1-p) B.11-p C.11-4p D.41-p
答案 A
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 古典概型概率的求法
1.(2019江西九江一模,4)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数,其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从四个阴数中随机抽取两个数,则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是 ( )
A.12 B.23 C.14 D.13
答案 D 从四个阴数中随机抽取两个数,共有6种取法,其中满足题意的取法有两种:4,6和2,8,∴能使这两数与居中阳数之和等于15的概率P=26=13.故选D.
2.(2020重庆模拟,5)2020年2月,在新型冠状病毒肺炎疫情防控工作期间,某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作,假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作,则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为 ( )
A.81256 B.2764 C.964 D.916
答案 D 本题考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.
由题意得基本事件总数为44,而恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数为C41C42A33,则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率P=C41C42A3344=916.故选D.
3.(2017山西吕梁孝义高考热身试题,5)大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼,则其中2人恰好乘坐同一部电梯的概率为 ( )
A.916 B.716 C.932 D.732
答案 A 大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼,基本事件总数n=43=64,其中2人恰好乘坐同一部电梯包含的基本事件个数m=C32·A42=36,∴其中2人恰好乘坐同一部电梯的概率P=mn=3664=916.故选A.
4.(2018上海复旦大学附属中学月考,10)从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数,要使取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是25,则k= .
答案 7
解析 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数的基本事件有C102=45种,比k小的数有(k-1)个,比k大的数有(10-k)个,故取到的一个数大于k,另一个数小于k的事件种数为Ck-11·C10-k1=(k-1)(10-k),所以取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率P=(k-1)(10-k)45,由P=25,解得k=7(k=4舍去).
考法二 几何概型概率的求法
1.(2018陕西西北工业大学附属中学模拟)在区间[0,4]上随机地选择一个数p,则方程x2-px+3p-8=0有两个正根的概率为 ( )
A.13 B.23 C.12 D.14
答案 A 设方程x2-px+3p-8=0的两个正根为x1、x2,
则Δ≥0,x1+x2>0,x1x2>0,即p2-4(3p-8)≥0,p>0,3p-8>0,
解得p≥8或83
2.(2018河南安阳二模,7)在区间[-1,1]上任选两个数x和y,则x2+y2≥1的概率为 ( )
A.1-π4 B.12-π8 C.1-π8 D.12-π4
答案 A 在区间[-1,1]上任选两个数x和y,则-1≤x≤1,-1≤y≤1,如图,该不等式组表示的平面区域是边长为2的正方形区域,x2+y2≥1(-1≤x≤1,-1≤y≤1)表示的平面区域是图中的阴影区域,∴由几何概型概率计算公式得x2+y2≥1的概率P=正方形的面积-圆的面积正方形的面积=22-π×1222=1-π4.故选A.
3.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“弦图”,给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明.如图所示的“弦图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角α=π6,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是 ( )
A.1-32 B.32 C.4-34 D.34
答案 A 大正方形的边长为2,故面积为4,易知阴影区域的边长为3-1,面积为4-23,所以飞镖落在阴影区域的概率P=4-234=1-32.故选A.
4.(2019江西抚州临川一中期末,9)已知三棱锥S-ABC,在该三棱锥内任取一点P,则使VP-ABC≤13VS-ABC的概率为 ( )
A.13 B.49 C.827 D.1927
答案 D 作出S在底面△ABC的射影为O,
若VP-ABC=13VS-ABC,则三棱锥P-ABC的高等于13SO,P点落在平面EFD上,且SESA=SDSB=SFSC=23,所以S△EFDS△ABC=49,
故VS-EFD=827VS-ABC,
∴VP-ABC≤13VS-ABC的概率P=1-827=1927.
专题十一 概率与统计
备考篇
【考情探究】
课标解读
考情分析
备考指导
主题
内容
一、随机事件的概率、古典概型与几何概型
1.了解两个互斥事件的概率加法公式.
2.理解古典概型及其概率计算公式.
3.理解几何概型及其概率计算公式.
1.本专题内容为高考热点,题型以一大一小形式出现,小题为选择题或填空题,难度较小,解答题的难度有所增加.重在考查学生的逻辑思维能力,对事件进行分析、分解和转化的能力.
2.考查内容主要体现在以下方面:(1)样本的抽样方法,数字特征,古典概型,离散型随机变量的分布列,二项分布,正态分布等.(2)在实际问题中的分布列、正态分布、统计案例的运用.
3.重点考查数据分析、数学运算和逻辑推理的核心素养.
1.古典概型常以小题的形式出现,求基本事件的个数时常涉及排列数、组合数的计算,计算时首先判断事件是否与顺序有关,以确定是排列问题,还是组合问题.
2.相互独立事件、互斥事件常作为解答题的第(1)问,是进一步求分布列、期望与方差的基础,求解该类问题要正确理解题意,准确判断概率模型,恰当选择概率公式.
3.求解离散型随机变量的分布列与期望,关键要过好“三关”:一是“判断关”,即依题意判断随机变量的所有可能的取值,二是“求概率关”,即利用两个计数原理,排列与组合内容,以及古典概型的概率公式求随机变量取各个值时的概率,三是“应用定义关”,即列出随机变量的分布列,并利用随机变量的数学期望的定义进行计算,若能判定随机变量X服从二项分布,则可利用E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,从而避免复杂的运算,提高解题的准确度.
4.关注概率与其他知识综合考查的题目,强化概率在决策问题中的运用,在不同背景下抽象出数学本质的方法值得关注,应强化在知识的形成过程、知识迁移中渗透学科素养.
二、离散型随机变量及其分布列
1.理解离散型随机变量及其分布列的概念.
2.理解超几何分布.
3.理解取值有限的离散型随机变量的均值、方差的概念,并会计算均值、方差.
三、二项分布与正态分布
1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,能解决一些简单的实际问题.
2.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义,并进行简单应用.
四、抽样方法、用样本估计总体
1.会用简单随机抽样抽取样本.
2.能从样本数据中提取数字特征(如平均数、标准差).
3.会用样本的频率分布(数字特征)估计总体分布(数字特征).
五、变量间的相关关系、统计案例
1.会作散点图,并会用其认识变量间的相关关系.
2.了解最小二乘法的思想,能根据所给公式求线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆).
3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的方法,并能解决一些简单问题.
4.了解回归分析的基本方法,并能解决一些简单的实际问题.
【真题探秘】
方法总结
1.独立性检验的思想来自于统计上的假设检验思想,它与反证法类似,它们都是先假设结论不成立,然后根据是否能推出“矛盾”来判断结论是否成立的.但二者“矛盾”的含义不同,反证法中的“矛盾”是指不符合逻辑的事件发生,独立性检验中的矛盾是在结论不成立的假设下推出有利于结论成立的小概率事件的发生.
2.独立性检验的一般步骤:
(1)独立性检验原理只能解决两个对象,每个对象有两类属性的问题,所以对于一个实际问题,我们要首先确定能否用独立性检验的思想加以解决;
(2)如果确定属于这类问题,要科学地抽取样本,样本容量要适当,不可太小;
(3)根据数据列出2×2列联表;
(4)提出假设H0:所研究的两类对象(X,Y)无关;
(5)根据公式计算K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d的值;
(6)比较观测值k与临界值表中相应的检验水平,根据小概率原理肯定或者否定假设,即判断X、Y是否相关.
核心素养
数据分析、数学运算,逻辑推理
[教师专用题组]
1.真题多维细目表
考题
涉分
题型
难度
考点
考向
解题方法
核心素养
2020新高考Ⅱ,9
5
多项
选择题
中
统计图表
折线图
分析法
数据分析
2020天津,4
5
选择题
易
统计图表
频率分布直方图
定义法
数学运算
2020课标Ⅰ文,17
12
解答题
中
统计案例
用频率估计概率、利用
统计知识进行决策
公式法
数学运算
2020北京,18
14
解答题
中
抽样方法与
总体分布的估计
抽样方法与事件的概率估计
定义法
数据分析
数学运算
2020课标Ⅰ文,4
5
选择题
易
古典概型
古典概型求事件的概率
定义法
数据分析
数学运算
逻辑推理
2020新高考Ⅰ,12
5
多项
选择题
难
离散型随机变
量及其分布列
新定义、离散型随机变量及其
分布列、对数运算、比较大小
定义法
公式法
数据分析
数学运算
逻辑推理
2020天津,13
5
填空题
易
相互独立事件
求相互独立事件的概率
公式法
数学运算
逻辑推理
2020课标Ⅰ,文5,理5
5
选择题
易
变量间的相关关系
散点图、确定回归方程类型
定义法
数据分析
2020新高考Ⅰ,19
12
解答题
中
统计案例
概率的估计值、独立性检验
定义法
数据分析
数学运算
逻辑推理
2.命题规律与探究
1.从2020年高考情况来看,本专题内容依然为高考热点,题型以一大一小形式出现,小题主要为选择题或填空题,难度较小,解答题的难度有所增加,如2020年课标Ⅰ卷理数第19题以三人的羽毛球比赛为背景,将概率问题融入常见的羽毛球比赛中,以参赛人的获胜概率设问,重在考查学生的逻辑思维能力,对事件进行分析、分解和转化的能力,分值约为15分.
2.本专题内容在高考试题的选择题、填空题中主要考查抽样方法,古典概型,用样本估计总体等,解答题常利用排列组合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差、二项分布和正态分布等问题,注意概率与其他知识的综合考查.
3.在处理小题时常用公式法,或排列组合知识,注意逻辑推理的灵活运用.
4.本章重点考查的学科核心素养为数据分析、数学运算和逻辑推理.
3.命题变化与趋势
1.从2020年高考情况来看,考查难度有所降低,更强调知识的应用性,试题背景与日常生活及其他学科贴近,体现统计思想与概率思想.
2.考查内容主要体现在以下方面:①样本的抽样方法,数字特征,古典概型,离散型随机变量的分布列,二项分布,正态分布等常规题型.②在实际问题中的分布列,正态分布,统计案例的运用.③概率问题与其他知识的综合考查近年难度加大,备考时需给予关注和强化.
3加强关注概率与其他知识综合考查的题目,强化概率在决策问题的运用,在不同背景下抽象出数学本质的方法值得关注.应强化在知识的形成过程、知识的迁移中渗透学科素养.
§11.1 随机事件、古典概型与几何概型
基础篇
【基础集训】
考点一 事件与概率
1.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”,决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好,但是你俩都没得到第一名”;对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析,丙是第一名的概率是( )
A.15 B.13 C.14 D.16
答案 B
2.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是310,那么概率是710的事件是( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
答案 A
3.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面标有奇数,事件B表示向上的一面上的数不超过3,事件C表示向上的一面上的数不小于4,则 ( )
A.A与B是互斥而非对立事件
B.A与B是对立事件
C.B与C是互斥而非对立事件
D.B与C是对立事件
答案 D
4.男队有号码分别为1,2,3的三名乒乓球运动员,女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员,现两队各出一名运动员比赛一场,则出场的两名运动员号码不同的概率为 .
答案 34
考点二 古典概型
5.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元共5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的红包金额之和不低于3元的概率是 ( )
A.310 B.25 C.12 D.35
答案 D
6.每年三月为学雷锋活动月,某班有青年志愿者男生3人,女生2人,现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动,则选出的2名志愿者性别相同的概率为 ( )
A.35 B.25 C.15 D.310
答案 B
7.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率是 ( )
A.512 B.13 C.14 D.16
答案 A
8.某车间共有6名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人,从该车间的6名工人中任取2名,则恰有1名优秀工人的概率为 ( )
A.19 B.13 C.815 D.715
答案 C
9.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是 .
答案 23
考点三 几何概型(旧课标)
10.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为 ( )
A.15 B.14 C.13 D.12
答案 B
11.赵爽弦图(图1)取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.图2是由弦图变化得到的,它是由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成的.现随机向图2中大正方形的内部投掷一枚飞镖,若直角三角形的直角边长分别为2和3,则飞镖投中小正方形(阴影)区域的概率为( )
A.125 B.425 C.925 D.536
答案 A
[教师专用题组]
【基础集训】
考点一 事件与概率
1.(2019陕西咸阳模拟检测(一),4)某校高三(1)班50名学生参加1500m体能测试,其中23人成绩为A,其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人,若抽得B的概率是0.4,则抽得C的概率是 ( )
A.0.14 B.0.20 C.0.40 D.0.60
答案 A 由题意得抽到C的概率为1-2350-0.4=0.14.
2.(2020四川绵阳二诊,8)甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为 ( )
A.18 B.14 C.38 D.12
答案 B 甲、乙、丙三人每人有2种选择,共有23=8种情况,甲、乙、丙三人去同一景点有2种情况,
故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14.
3.甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是 ( )
A.1 B.16
C.12 D.13
答案 D 甲、乙、丙三人站成一排照相的站法有甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6种,其中甲排在左边的站法有2种,
∴甲排在左边的概率是26=13.故选D.
4.(2017福建泉州高考考前适应性模拟(一),3)从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球,若取到红球的概率是25,则取得白球的概率等于 ( )
A.15 B.25 C.35 D.45
答案 C 取得红球与取得白球为对立事件,∴取得白球的概率P=1-25=35.
5.(2019山东烟台一模,3)已知甲袋中有1个红球1个黄球,乙袋中有2个红球1个黄球,现从两袋中各随机取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为 ( )
A.13 B.12 C.23 D.56
答案 D 本题考查概率的求法,考查对立事件概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
甲袋中有1个红球1个黄球,乙袋中有2个红球1个黄球,
现从两袋中各随机取一个球,基本事件总数n=C21C31=6,
取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球,
∴利用对立事件概率计算公式得,取出的两球中至少有1个红球的概率为P=1-C11C116=56.故选D.
考点二 古典概型
1.(2018湖南(长郡中学、衡阳八中)、江西(南昌二中)等十四校第二次联考,9)已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为 ( )
A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.35
答案 C 指定1,2,3,4表示下雨,未来三天恰有一天下雨就是三个数字中只有一个数字在集合{1,2,3,4}中,20组随机数中,有8组符合题意,为925,458,683,257,027,488,730,537,∴所求概率P=820=0.4,故选C.
2.(2016宁夏银川第一次大联考,3)某中学共8个艺术社团,现从中选10名同学组成新春社区慰问小组,其中书法社团需选取3名同学,其他社团各取1名同学.现从这10名同学中随机选取3名同学,到社区养老院参加“新春送欢乐”活动(每位同学被选到的可能性相同).则选取的3名同学来自不同社团的概率为( )
A.710 B.724 C.4960 D.710
答案 C 从10名同学中选3名,共有C103种选法,选取的3名同学来自不同社团包括两类:
①3名均来自书法社团以外的7个社团,有C73种选法;②有1名来自书法社团,有C31C72种选法.
∴选出的3名同学来自不同社团的概率为C73+C31C72C103=4960.
3.(2017辽宁沈阳一模,6)将A,B,C,D这4名同学从左至右随机地排成一排,则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是 ( )
A.12 B.14 C.16 D.18
答案 B ∵将A,B,C,D这4名同学从左至右随机地排成一排,基本事件总数n=A44=4×3×2×1=24,
“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”包含的基本事件有:ABCD,CBAD,CDAB,DABC,DCBA,BADC,共6个,
∴“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率P=624=14.故选B.
4.(2018吉林实验中学期中)箱子里有3双颜色不同的手套(红蓝黄各1双),有放回地拿出2只,记事件A表示“拿出的手套一只是左手的,一只是右手的,但配不成对”,则事件A的概率为 ( )
A.16 B.13 C.15 D.25
答案 B 分别设3双手套为a1a2;b1b2;c1c2.a1,b1,c1分别代表左手手套,a2,b2,c2分别代表右手手套.从箱子里的3双颜色不同的手套中,随机有放回地拿出2只,基本事件总数n=6×6=36,
事件A包含:(a1,b2),(b2,a1),(a1,c2),(c2,a1),(a2,b1),(b1,a2),(a2,c1),(c1,a2),(b1,c2),(c2,b1),(b2,c1),(c1,b2),12个基本事件.
故事件A的概率P(A)=1236=13.故选B.
5.(2020上海浦东一模,8)已知集合A=-2,-1,-12,13,12,1,2,3,任取k∈A,则幂函数f(x)=xk为偶函数的概率为 (结果用数值表示).
答案 14
解析 集合A=-2,-1,-12,13,12,1,2,3,任取k∈A的基本事件总数为8,
当k=±2时,幂函数f(x)=xk为偶函数,从而幂函数f(x)=xk为偶函数包含的基本事件个数为2,
∴幂函数f(x)=xk为偶函数的概率P=14.
考点三 几何概型(旧课标)
1.(2018宁夏银川一中5月模拟,6)将一根长为6m的绳子剪为二段,则其中一段长度大于另一段长度的2倍的概率为 ( )
A.13 B.23 C.25 D.35
答案 B 绳子的长度为6m,折成两段后,设其中一段长度为xm,则另一段长度为(6-x)m,记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A,
则A={x|0
2.(2020天一联考“顶尖计划”高中毕业班第二次考试,4)一个陶瓷圆盘的半径为10cm,中间有一个边长为4cm的正方形花纹,向盘中投入1000粒米后,发现落在正方形花纹上的米共有51粒,据此估计圆周率π的值为(精确到0.001) ( )
A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.147
答案 B 本题考查几何概型.
由题意得42π·102=511000⇒π≈3.137.
3.(2018四川成都龙泉驿一模,5)如图,扇形AED是以正方形ABCD的边AD为直径的半圆,向正方形ABCD内随机投入一点,则该点落在阴影区域内的概率为 ( )
A.π16 B.316 C.π4 D.14
答案 D 连接AE,由圆的对称性得阴影部分的面积等于△ABE的面积,易知S△ABES正方形ABCD=14,
所以该点落在阴影区域内的概率P=14.故选D.
4.(2020湖南常德期末,9)已知A是圆M的圆周上一定点,若在圆M的圆周上的其他位置任取一点B,连接AB,则“线段AB的长度不大于圆M的半径”的概率为 ( )
A.12 B.13 C.16 D.23
答案 B 如图所示的圆M中,△AMD和△AMC为等边三角形,当点B位于劣弧CD上(不与A重合)时满足题意.
故由几何概型概率计算公式可得,所求概率P=120°360°=13.
5.(2019四川绵阳高三二诊,14)某景区观光车上午从景区入口发车的时间为7:30,8:00,8:30,某人上午7:40至8:30随机到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不多于10分钟的概率是 .
答案 25
解析 设该人到达的时刻为x,
当x在7:50至8:00,或8:20至8:30时,等待时间不超过10分钟,
所以所求概率P=10+1020+30=25.
6.(2018辽宁沈阳育才学校五模,14)一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 .
答案 π6
解析 如图,
设正方体的棱长为2a,则其内切球的半径为a,
则V正方体=8a3,V球=4π3a3,
∴蜜蜂“安全飞行”的概率P=V球V正方体=4π3a38a3=π6.
故答案为π6.
综合篇
【综合集训】
考法一 古典概型概率的求法
1.(2021届辽宁上学期测试,6)《三十六计》是中华民族珍贵的文化遗产之一,是一部传习久远的兵法奇书,与《孙子兵法》合称我国古代兵法谋略学的双壁.《三十六计》共分胜战计、敌战计、攻战计、混战计、并战计、败战计六套,每一套都包含六计,合三十六个计策,如果从这36个计策中任取2个计策,则这2个计策都来自同一套的概率为 ( )
A.121 B.114 C.17 D.142
答案 C
2.(2020广西南宁摸底)某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了3份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示.若分别从(1)班,(2)班的样本中各随机抽取一份,则(2)班成绩更好的概率为( )
A.29 B.13 C.12 D.49
答案 B
3.(2021届安徽皖江名校联盟第一次联考)新冠肺炎疫情期间部分中小学居家上网学习,某市教育局为了解学生线上学习的情况,准备从10所学校(其中6所中学,4所小学)随机选出3所进行调研,其中M中学与N小学同时被选中的概率为 ( )
A.15 B.18 C.115 D.320
答案 C
4.(2021届浙江名校新高考研究联盟(Z20名校联盟)第一次联考,16)甲从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个不同的元素,并按降序排列得到十进制三位数a,乙从集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中任取三个不同的元素,并按降序排列得到十进制三位数b,则a>b的概率为 .
答案 3756
5.(2021届江苏扬州邗江蒋王中学第一次质量检测,13)从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个,则所取3个数之和为偶数的概率为 .
答案 25
考法二 几何概型概率的求法
6.(2020河南安阳第一次调研月考,10)从[-2,3]中任取一个实数a,则a的值能使函数f(x)=x+asinx在R上单调递增的概率为 ( )
A.45 B.35 C.25 D.15
答案 C
7.(2020福建漳州第二次适应性测试,4)中华文化博大精深,我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)进行统计,现将其抽象成如图2所示的图形,其中圆的半径为2cm,正方形的边长为1cm,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是p,则圆周率π的近似值为 ( )
A.14(1-p) B.11-p C.11-4p D.41-p
答案 A
[教师专用题组]
【综合集训】
考法一 古典概型概率的求法
1.(2019江西九江一模,4)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数,其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从四个阴数中随机抽取两个数,则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是 ( )
A.12 B.23 C.14 D.13
答案 D 从四个阴数中随机抽取两个数,共有6种取法,其中满足题意的取法有两种:4,6和2,8,∴能使这两数与居中阳数之和等于15的概率P=26=13.故选D.
2.(2020重庆模拟,5)2020年2月,在新型冠状病毒肺炎疫情防控工作期间,某单位有4名党员报名参加该地四个社区的疫情防控服务工作,假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情防控服务工作,则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率为 ( )
A.81256 B.2764 C.964 D.916
答案 D 本题考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.
由题意得基本事件总数为44,而恰有一个社区未被这4名党员选取包含的基本事件个数为C41C42A33,则恰有一个社区未被这4名党员选取的概率P=C41C42A3344=916.故选D.
3.(2017山西吕梁孝义高考热身试题,5)大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼,则其中2人恰好乘坐同一部电梯的概率为 ( )
A.916 B.716 C.932 D.732
答案 A 大厦一层有A,B,C,D四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼,基本事件总数n=43=64,其中2人恰好乘坐同一部电梯包含的基本事件个数m=C32·A42=36,∴其中2人恰好乘坐同一部电梯的概率P=mn=3664=916.故选A.
4.(2018上海复旦大学附属中学月考,10)从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数,要使取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是25,则k= .
答案 7
解析 从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数的基本事件有C102=45种,比k小的数有(k-1)个,比k大的数有(10-k)个,故取到的一个数大于k,另一个数小于k的事件种数为Ck-11·C10-k1=(k-1)(10-k),所以取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率P=(k-1)(10-k)45,由P=25,解得k=7(k=4舍去).
考法二 几何概型概率的求法
1.(2018陕西西北工业大学附属中学模拟)在区间[0,4]上随机地选择一个数p,则方程x2-px+3p-8=0有两个正根的概率为 ( )
A.13 B.23 C.12 D.14
答案 A 设方程x2-px+3p-8=0的两个正根为x1、x2,
则Δ≥0,x1+x2>0,x1x2>0,即p2-4(3p-8)≥0,p>0,3p-8>0,
解得p≥8或83
2.(2018河南安阳二模,7)在区间[-1,1]上任选两个数x和y,则x2+y2≥1的概率为 ( )
A.1-π4 B.12-π8 C.1-π8 D.12-π4
答案 A 在区间[-1,1]上任选两个数x和y,则-1≤x≤1,-1≤y≤1,如图,该不等式组表示的平面区域是边长为2的正方形区域,x2+y2≥1(-1≤x≤1,-1≤y≤1)表示的平面区域是图中的阴影区域,∴由几何概型概率计算公式得x2+y2≥1的概率P=正方形的面积-圆的面积正方形的面积=22-π×1222=1-π4.故选A.
3.三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“弦图”,给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明.如图所示的“弦图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角α=π6,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是 ( )
A.1-32 B.32 C.4-34 D.34
答案 A 大正方形的边长为2,故面积为4,易知阴影区域的边长为3-1,面积为4-23,所以飞镖落在阴影区域的概率P=4-234=1-32.故选A.
4.(2019江西抚州临川一中期末,9)已知三棱锥S-ABC,在该三棱锥内任取一点P,则使VP-ABC≤13VS-ABC的概率为 ( )
A.13 B.49 C.827 D.1927
答案 D 作出S在底面△ABC的射影为O,
若VP-ABC=13VS-ABC,则三棱锥P-ABC的高等于13SO,P点落在平面EFD上,且SESA=SDSB=SFSC=23,所以S△EFDS△ABC=49,
故VS-EFD=827VS-ABC,
∴VP-ABC≤13VS-ABC的概率P=1-827=1927.
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