新人教A版高考数学二轮复习专题九平面解析几何1直线方程与圆的方程综合集训含解析

这是一份新人教A版高考数学二轮复习专题九平面解析几何1直线方程与圆的方程综合集训含解析，共16页。
专题九　平面解析几何
备考篇
【考情探究】

课标解读
考情分析
备考指导
主题
内容
一、直线的方程
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念、掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.
从近几年高考情况来看,直线和圆主要考查方程的求法,常以选择题、填空题的形式出现;对于圆锥曲线,基础题目主要考查定义与方程、几何性质,特别是双曲线的几何性质(离心率、渐近线)及抛物线的几何性质.解答题通常以椭圆及抛物线为背景,考查直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系、弦中点问题、定点问题、定值问题、轨迹问题、取值范围问题、证明问题及直线过定点问题.
1.直线与圆的问题求解一定要注意数形结合的方法,充分利用圆的几何性质解题.
2.恰当选择直线和曲线方程形式,简化计算.
3.合理运用消元技巧,涉及直线与圆锥曲线的交点坐标问题,常常“设而不求”,利用根与系数的关系解题.
4.圆锥曲线的弦中点问题的解题技巧:代点相减法(点差法).
5.直线与椭圆或直线与抛物线的位置关系为基本题型,考查曲线的弦长,动点的轨迹方程和有关几何量的求解等.掌握基本解题方法:先联立方程(二次方程和一次方程),再把几何条件代数化,最后结合函数、不等式等知识,解决求值、范围、最值等问题.
二、两直线的位置关系
1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.
三、直线、圆的位置关系
1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程.
2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.
3.能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.
四、椭圆、双曲线、抛物线
1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质.

【真题探秘】


命题规律
解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,把已知几何条件代数化转化为代数问题来解决.
易错警示
(1)设直线方程时,应注意讨论斜率不存在的情况.
(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.
总结提升
近几年平面解析几何题的呈现形式:第一问往往是求曲线的方程问题;第二问往往是直线与圆锥曲线相结合的问题.常常需要应用根与系数的关系和判别式.
[教师专用题组]
1.真题多维细目表
考题
涉分
题型
难度
考点
考向
解题方法
核心素养
2020北京,5
4
选择题
易
圆的方程
圆心与原点距离的最小值
转化法
数形结合法
数学运算
2020课标Ⅰ理,11
5
选择题
中
直线与圆、圆与
圆的位置关系
直线与圆相切,直线方程
数形结合法
数学运算
逻辑推理
2020课标Ⅰ文,6
5
选择题
易
直线与圆的
位置关系
半径、弦长的一半、
弦心距的关系
数形结合法
数学运算
逻辑推理
2.命题规律与探究
1.从2020年高考情况来看,本专题内容的考题与往年相差不大,考题难度以中档为主,题型主要以选择题、填空题的形式出现(如2020年新高考Ⅰ卷第9题B选项、课标Ⅰ卷理数第11题),分值一般为5分.
2.本专题内容在高考试题中以考查直线、圆的方程及位置关系为主,常用的解题方法为数形结合法、转化法.注意待定系数法在求解方程问题中的应用.
3.在处理直线与圆的位置关系及弦长问题时,常利用几何法.
4.本章重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理、直观想象.
3.命题变化与趋势
1.2020年高考对本专题内容的考查方式及题目难度变化不大,延续此前的考试风格,突出直线的基础地位.
2.考查内容主要体现在以下方面:①求直线方程与圆的方程;②以直线、圆的位置关系为背景考查与圆有关的弦长、弦中点、切线以及最值等问题;③以直线、圆及圆锥曲线的融合为背景考查根与系数的关系,整体代换思想的应用.这些内容依然是高考考查的重点,因此在备考复习之中应加以重视.同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解题中的应用.

4.真题典例

核心考点　(1)直线、圆的方程;
(2)直线与圆、圆与圆的位置关系.
命题要求　(1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程;
(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;
(3)能根据给定两个圆的方程,判断两圆的位置关系.
知识储备　(1)以线段AB为直径的圆的方程
已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
(2)两圆相交时,公共弦所在直线的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若两圆相交,则有一条公共弦,两圆方程相减得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,即为圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.
思路分析　由题意可判断直线2x+y+2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0相离,根据圆的知识可知,四点A,P,B,M共圆,且AB⊥MP,根据|PM|·|AB|=4S△PAM=4|PA|与|PA|=|MP|2-4可知,当直线MP⊥l时,|MP|最小,也就是|PM|·|AB|最小,求出以MP为直径的圆的方程,根据圆系的知识可知,直线AB是以MP为直径的圆与圆☉M的公共弦,将两圆方程相减即可求出直线AB的方程.
命题规律　本章常考题型及方法
(1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定.
(2)利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围.
(3)利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长.
(4)由直线与圆的位置关系判定有关几何量的最值问题.
(5)考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.[教师专用题组]
1.真题多维细目表
考题
涉分
题型
难度
考点
考向
解题方法
核心素养
2020新高考Ⅰ,9
5
多项
选择题
中
椭圆、双曲线的定
义和标准方程
椭圆、双曲线的标准方程、
双曲线的渐近线
定义法
数学运算
2020新高考Ⅰ,22
12
解答题
难
圆锥曲线的
综合问题
直线与椭圆的位置
关系、定值(点)问题
定义法
分类讨论法
数学运算
逻辑推理
2020天津,7
5
选择题
中
双曲线的几何性质
求双曲线的方程
定义法
数学运算
逻辑推理
2020课标Ⅰ理,15
5
填空题
中
双曲线的几何性质
双曲线的离心率的求法
公式法
数学运算
2020新高考Ⅰ,13
5
填空题
易
抛物线的几何性质
求抛物线过焦点的弦长
公式法
逻辑推理
数学运算
2020课标Ⅰ,文21,理20
12
解答题
难
圆锥曲线的
综合问题
椭圆的定值、定点问题
直接法
逻辑推理
数学运算
2020课标Ⅰ文,11
5
选择题
中
双曲线的定义
与标准方程
求焦点三角形的面积
定义法
公式法
数学运算
2020北京,20
15
解答题
难
圆锥曲线的
综合问题
直线与圆锥曲线的位置关系
数形结合法
数学运算
2020北京,12
5
填空题
中
双曲线的几何性质
由标准方程求焦点和渐近线
公式法
数学运算
2020北京,7
4
选择题
易
抛物线的几何性质
抛物线的定义
定义法
数学运算
2.命题规律与探究
1.从2020年高考情况来看,本专题内容依然为高考热点,考题以中、高难度为主,题型涵盖选择题、填空题和解答题,分值约为20分.
2.本专题内容在高考试题中命题形式多样,客观题主要考查圆锥曲线的定义(如2020年新高考Ⅰ卷第9题)、方程和几何性质(如2020年课标Ⅰ卷理数第15题考查求双曲线的离心率),解答题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系及其相关的弦长、弦中点、定点、最值范围等问题.
3.在求解圆锥曲线方程时注意待定系数法与定义法的应用,在解决与圆锥曲线弦中点有关问题时注意点差法和根与系数的关系的应用.
4.本章重点考查的学科核心素养为数学运算、直观想象和逻辑推理.
3.命题变化与趋势
1.2020年高考对本章的考查方式及题目难度变化不大,延续此前的考试风格.
2.考查内容主要体现在以下方面:①以圆锥曲线方程为背景考查标准方程的应用(如2020年新高考Ⅰ卷第9题).②以直线与圆锥曲线的位置关系为背景考查弦长(如2020年新高考Ⅰ卷第13题,可以直接用过抛物线焦点的弦长公式,也可以用通用的弦长公式求解).③以直线与圆锥曲线的位置关系为载体考查定点、定值,取值范围以及存在性问题.④以平面几何知识或圆锥曲线相关内容为载体考查动点轨迹方程的求解.这些内容均为高考考查的重点和热点,因此在备考复习中应加强训练,同时在备考时还需要加强对数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想在解决圆锥曲线综合问题中的应用.
§9.1　直线方程与圆的方程
基础篇
【基础集训】
考点一　直线方程
1.直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是 (　　)
A.[0,π]　　B.0,π4∪34π,π
C.0,π4　　D.0,π4∪π2,π
答案　B
2.已知直线l过点(1,2),且在纵轴上的截距为横轴上的截距的两倍,则直线l的方程为 (　　)
A.2x-y=0　　B.2x+y-4=0
C.2x-y=0或x+2y-2=0　　D.2x-y=0或2x+y-4=0
答案　D
3.(多选题)下列说法正确的是 (　　)
A.截距相等的直线都可以用方程xa+ya=1表示
B.方程x+my-2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线
C.经过点P(1,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tanθ(x-1)
D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
答案　BD
4.经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为　　　　　　　. 
答案　4x-3y+9=0
考点二　圆的方程
5.已知点A(-2,-1),B(1,3),则以线段AB为直径的圆的方程为 (　　)
A.x-122+(y+1)2=25　　B.x+122+(y-1)2=25
C.x-122+(y+1)2=254　　D.x+122+(y-1)2=254
答案　D
6.若a∈-2,0,1,34,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为 (　　)
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
答案　B
7.已知A(0,3),B(1,0),O为坐标原点,则△ABO的外接圆方程是 (　　)
A.x2+y2-x-3y=0　　B.x2+y2+x+3y=0
C.x2+y2-x+3y=0　　D.x2+y2+x-3y=0
答案　A
8.已知△ABC三个顶点是A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),则△ABC外接圆的方程为　　　　　　　　　. 
答案　(x+3)2+(y-1)2=25
[教师专用题组]
【基础集训】
考点二　圆的方程
1.(2017广东东莞二模,6)平面内动点P到两点A、B的距离之比为常数λ(λ>0,且λ≠1),则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆,若已知A(-2,0),B(2,0),λ=12,则此阿波罗尼斯圆的方程为 (　　)
A.x2+y2-12x+4=0　　B.x2+y2+12x+4=0
C.x2+y2-203x+4=0　　D.x2+y2+203x+4=0
答案　D　由题意,设P(x,y),
则(x+2)2+y2(x-2)2+y2=12,
化简可得x2+y2+203x+4=0,故选D.
2.(2020浙江温州一模,12)已知x4+y2=1与x轴,y轴分别交于点A,B,则|AB|=　　　　;以线段AB为直径的圆的方程为　　　　　　　. 
答案　25;x2+y2-4x-2y=0
解析　本题考查了两点之间的距离公式和利用圆心坐标和半径求圆的方程,属于基础题.
由题意,可得点A(4,0),B(0,2),由两点间的距离公式得|AB|=42+(-2)2=25.
以线段AB为直径的圆,其圆心为(2,1),半径为5,
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,即x2+y2-4x-2y=0.
一题多解　用向量法求圆的方程:设M(x,y)为所求圆上任意一点,则AM·BM=0,即(x-4)x+y(y-2)=0,即x2+y2-4x-2y=0.
综合篇
【综合集训】
考法一　求直线的倾斜角和斜率
1.(2019湖南长沙长郡中学月考,5)已知点(-1,2)和33,0在直线l:ax-y+1=0(a≠0)的同侧,则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　)
A.π4,π3　　B.0,π3∪34π,π
C.34π,56π　　D.23π,34π
答案　D
2.(2020广西玉林期末,7)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率k的取值范围是 (　　)
A.-10),
因为该圆与直线y=x+1相切,
所以r=|1+1|2=2.故所求圆的方程为(x-1)2+y2=2.
2.(2018北京东城二模,13)直线x-y-1=0被圆C所截得的弦长为2,则圆C的方程可以为　　　　　　　　.(写出一个即可) 
答案　x2+y2=1(符合题意即可)
解析　假设圆心C在原点,则圆心(0,0)到直线x-y-1=0的距离d=|0-0-1|2=22,则2r2-d2=2,∴r=1,∴x2+y2=1.
3.(2019北京西城期末文,10)以抛物线y2=8x的焦点为圆心,且与直线y=x相切的圆的方程为　　　　　　. 
答案　(x-2)2+y2=2
解析　依题意可知,抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),圆心到直线y=x的距离即为圆的半径,半径为22=2,故圆的标准方程为(x-2)2+y2=2.
4.(2020北京人大附中开学测试,12)已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上,若圆C与两个坐标轴都相切,则圆C的标准方程是　　　　　　　　. 
答案　x+132+y-132=19
解析　本题考查圆的方程的求法、直线与圆相切,考查学生推理论证能力及运算求解能力,体现数学运算的核心素养.
设圆心C(a,b),半径为r,由圆心C在直线y=2x+1上,得b=2a+1,由圆心C(a,b)在第二象限得a0,由圆C与两坐标轴相切得r=-a,r=b,所以解得a=-13,b=13,r=13,所以圆C的标准方程是x+132+y-132=19.