新人教A版高考数学二轮复习专题六数列2等差数列专题检测含解析

等差数列

专题检测

1.(20195·3原创冲刺卷一,4)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,S3=6,则S2n+1= (　　)

A.(2n+1)(n+1)　　B.(2n+1)(n-1)

C.(2n-1)(n+1)　　D.(2n+1)(n+2)

答案　A　设等差数列{an}的公差为d,

则2a1+d=3,3a1+3d=6,

所以a1=d=1,则an=1+(n-1)×1=n.

因此S2n+1==(2n+1)(n+1).

2.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,5)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是(　　)

A.174斤　　B.184斤　　C.191斤　　D.201斤

答案　B　用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数,由题意得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,

∴8a1+×17=996,解得a1=65.

∴a8=65+7×17=184,即第8个儿子分到的绵是184斤.选B.

3.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,5)已知等差数列{an}的各项都为整数,且a1=-5,a3a4=-1,则|a1|+|a2|+…+|a10|=              (　　)

A.70　　B.58　　C.51　　D.40

答案　B　设等差数列{an}的公差为d,由各项都为整数得d∈Z,因为a1=-5,所以a3a4=(-5+2d)(-5+3d)=-1,化简得6d2-25d+26=0,解得d=2或d=(舍去),所以an=2n-7,

所以|a1|+|a2|+…+|a10|=5+3+1+1+3+…+13=9+=58.故选B.

4.(2018安徽淮北一模,9)Sn是等差数列{an}的前n项和,S2018<S2016,S2017<S2018,则Sn<0时n的最大值是              (　　)

A.2017　　B.2018　　C.4033　　D.4034

答案　D　∵S2018<S2016,S2017<S2018,∴a2018+a2017<0,a2018>0.∴S4034==2017(a2018+a2017)<0,

S4035==4035a2018>0,可知Sn<0时n的最大值是4034.故选D.

解题关键　由S2018<S2016,S2017<S2018得出a2018+a2017<0,a2018>0是解题的关键.

易错警示　本题中所求的是前n项和Sn<0时n的最大值,注意不要与Sn最大时的n值混淆.求Sn<0时n的最大值,运用前n项和公式求解;求Sn最大时的n值一般借助通项公式联立an≥0与an+1≤0求解.

5.设等差数列{an}满足a3+a7=36,a4a6=275,则(　　)

A.an=7n-17　　B.an=-7n+53

C.anan+1的最小值为-12　　D.anan+1无最小值

答案　ABC　设等差数列{an}的公差为d,

∵a3+a7=36,∴a4+a6=36,

由解得或

当时,得∴an=7n-17,

∴a2=-3,a3=4,故当n≤2时,an<0;当n≥3时an>0,

∴a2a3=-12为anan+1的最小值.

当时,得∴an=-7n+53,∴a7=4,a8=-3.

易知当n≤7时,an>0;当n≥8时,an<0,

∴a7a8=-12为anan+1的最小值.故选ABC.

6.(2018浙江金华十校高考模拟,15)已知等差数列{an}满足:a4>0,a5<0,数列的前n项和为Sn,则的取值范围是　　　　. 

答案　

解析　设等差数列{an}的公差为d,由题意知则-3d<a1<-4d.又a5<a4,所以d<0,所以-4<<-3.又==,令x=,则x∈(-4,-3),所以==+∈.

7.(2018河南六市第一次联考,16)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,若{an}和{}都是等差数列,且公差相等,则a2=　　　　. 

答案　

解析　设数列{an}的首项为a1,公差为d.

因为数列{an}的前n项和是Sn,

所以=,=,=,

又{}也是公差为d的等差数列,

所以==+d,两边平方得

2a1+d=a1+2d+d2①,

==+2d,两边平方得

3a1+3d=a1+4d+4d2②,

②-①得a1=-2d+2d+3d2③,

把③代入①整理得d(2d-1)=0,所以d=0或d=.

当d=0时,a1=0,不符合题意;

当d=时,代入③解得a1=.所以a2=a1+d=.

8.(2020四川宜宾四中开学考,18)已知数列{an}的首项a1=1,2anan+1=an-an+1(n∈N*).

(1)证明:数列是等差数列;

(2)设bn=anan+1,数列{bn}的前n项和为Sn,求证:Sn<.

证明　(1)由于a1=1,2anan+1=an-an+1,显然anan+1≠0,

所以两边同除以anan+1可得,-=2,

所以数列是1为首项,2为公差的等差数列.

(2)由(1)知,=1+(n-1)×2=2n-1,所以an=.

所以bn=anan+1==,

所以Sn=

=<.

9.(2019湖北武汉外国语学校3月模拟,17)若数列{an}的前n项和为Sn,首项a1>0且2Sn=+an(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若an>0(n∈N*),令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

解析　(1)当n=1时,2S1=+a1=2a1,又a1>0,则a1=1,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-,

即(an+an-1)(an-an-1-1)=0⇒an=-an-1或an=an-1+1,

∴an=(-1)n-1或an=n.

(2)∵an>0,∴an=n,∴bn==,

∴Tn==（1+--）=-.