新人教A版高考数学二轮复习专题二不等式3基本不等式与不等式的综合应用专题检测含解析

基本不等式与不等式的综合应用

专题检测

1.(2020山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是(　　)

A.lg>lgx(x>0)　　B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)

C.x2+1≥2|x|(x∈R)　　D.>1(x∈R)

答案　C　本题主要考查应用基本不等式求最值,考查的核心素养是逻辑推理.对于A,由于x2+≥2=x,当且仅当x=时,取“=”,故A不正确;

对于B,当x∈(π,2π)时,sinx<0,sinx+≤-2,故B不正确;对于C,x2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0恒成立,故C正确;

对于D,当x=0时,=1,故D不正确.

2.(2020西南四省八校9月联考,12)若x>0,y>0,x+2y=1,则的最大值为 (　　)

A.　　B.　　C.　　D.

答案　C　=,∵x>0,y>0,x+2y=1,∴+=·1=(x+2y)=5++≥5+2=5+4=9,当且仅当即x=y=时,取“=”,

∴≤,故的最大值为,选C.

3.(2020山东青岛期初调研,8)函数f(x)=x2+x+(x>0)的最小值为 (　　)

A.4+2　　B.4　　C.8　　D.+2

答案　A　∵x>0,∴f(x)=x2+x+=x2++x+≥2+2=4+2,当且仅当即x=时取“=”,∴f(x)min=4+2,故选A.

4.(2018福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是 (　　)

A.3　　B.2　　C.3　　D.2

答案　B　∵a>0,b>0,∴a+1>1,b+1>1,又∵+=1,∴a+2b=[(a+1)+2(b+1)]-3=[(a+1)+2(b+1)]·-3=1+++2-3≥2=2,当且仅当=时取“=”,故选B.

5.(2018河北大名一中月考)已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+的最大值是              (　　)

A.　　B.　　C.　　D.-

答案　D　由题意知x1,x2是方程x2-4ax+3a2=0的两根.

由根与系数的关系得x1x2=3a2,x1+x2=4a,∴x1+x2+=4a+,∵a<0,∴-≥2=,即4a+≤-,当且仅当4a=,即a=-时,取“=”,

故x1+x2+的最大值为-.故选D.

6.(2019晋冀鲁豫名校期末联考,10)已知函数f(x)=x2ex,若a>0,b>0,p=f,q=f,r=f(ab),则(　　)

A.q≤r≤p　　B.q≤p≤r　　C.r≤p≤q　　D.r≤q≤p

答案　D　因为-=-=≥0,

所以≥,又≥(a>0,b>0),所以≥ab.易得函数f(x)=x2ex在(0,+∞)上单调递增,所以f(ab)≤f≤f,即r≤q≤p.

7.(2020河南濮阳第二次检测,9)已知a>2,b>2,则+的最小值为 (　　)

A.2　　B.4　　C.6　　D.16

答案　D　因为a>2,b>2,所以a-2>0,b-2>0.

令x=b-2,y=a-2,则x>0,y>0.

原式=+≥2=2≥2=2=2≥2=16.

当且仅当x=y=2时取等号.故选D.

思路分析　利用换元思想,设x=b-2,y=a-2,则x>0,y>0,将原式化为+,两次使用基本不等式求解.

8.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n-2)个数,使这n个数成等差数列,若这(n-2)个数中第一个为a,第(n-2)个为b,当+取最小值时,n的值为              (　　)

A.6　　B.7　　C.8　　D.9

答案　D　由已知得a+b=18,则+=×=≥×(26+10)=2,当且仅当b=5a时取等号,此时a=3,b=15,可得n=9.故选D.

9.(2019辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f(x)=+x+sinx,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则+的最小值是              (　　)

A.1　　B.　　C.9　　D.18

答案　A　因为f(x)=+x+sinx,所以f(-x)=-x-sinx=-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,易知f(x)单调递增,又正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,所以4a+b-9=0,所以+=(4a+b)=4+++1=≥×(5+2)=1,当且仅当=,即b=2a=3时,取等号.故选A.

10.(2020黑龙江道里检测,10)设a,b,c,d均为大于零的实数,且abcd=1,令m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,则a2+b2+m的最小值为              (　　)

A.8　　B.4+2　　C.5+2　　D.4

答案　B　∵a,b,c,d均大于零且abcd=1,m=a(b+c+d)+b(c+d)+cd,∴a2+b2+m=a2+b2+(a+b)(c+d)+ab+cd≥2ab+2·2+ab+cd=4+3ab+cd≥4+2=4+2,当且仅当a=b,c=d,3ab=cd,即a=b=,c=d=时取等号,∴a2+b2+m的最小值为4+2.故选B.

11.(多选题)(2020山东烟台期中,11)下列结论正确的是 (　　)

A.若a>b>0,c<d<0,则一定有>

B.若x>y>0,且xy=1,则x+>>log2(x+y)

C.设{an}是等差数列,若a2>a1>0,则a2>

D.若x∈[0,+∞),则ln(1+x)≥x-x2

答案　AC　对于A,∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴->->0,

又∵a>b>0,∴->->0,∴>,故A正确;

对于B,∵x>y>0,且xy=1,∴可取x=2,y=,此时x+=4,==,log2(x+y)=log2>log22=1,故不满足x+>>log2(x+y),故B不正确;

对于C,∵{an}是等差数列,∴a2=.又∵a3-a2=a2-a1>0,∴a3>a2>a1>0,∴>,即a2>,故C正确;

对于D,令f(x)=ln(1+x)-x+x2,x≥0,则f'(x)=-1+x===,x>0,令f'(x)>0,可得x>3,令f'(x)<0,可得0<x<3,因此函数f(x)=ln(1+x)-x+x2在[0,3)上为减函数,在[3,+∞)上为增函数,

∵f(0)=ln1-0+0=0,∴当x∈(0,3]时,f(x)<0恒成立,故当x∈[0,+∞)时,ln(1+x)≥x-x2不恒成立,故D不正确,故选AC.

12.(2019湖北黄冈元月调研,15)若关于x的不等式x+≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为　　　　. 

答案　1

解析　关于x的不等式x+≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,即x-a+≥5-a在x∈(a,+∞)上恒成立,由x>a可得x-a>0,则x-a+≥2=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,上式取得最小值4,则5-a≤4,可得a≥1,故a的最小值为1.

13.(2020上海复旦大学附中9月综合练,8)已知≤+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围是　　　　. 

答案　[-3,1]

解析　由已知≤+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立可知,a2+2a+2≤+x对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,令g(x)=+x,x>1,则g(x)=+x-1+1≥2+1=5,当且仅当x=3时取“=”,∴a2+2a+2≤g(x)min=5,∴a2+2a-3≤0,∴-3≤a≤1,故答案为[-3,1].

14.(2019安徽黄山八校联考,16)不等式(acos2x-3)sinx≥-3对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

答案　

解析　令g(x)=(acos2x-3)sinx,sinx=t,-1≤t≤1,则原函数化为g(t)=(-at2+a-3)t,即g(t)=-at3+(a-3)t,由-at3+(a-3)t≥-3整理得(t-1)[-at(t+1)-3]≥0,由t-1≤0知,-at(t+1)-3≤0,即a(t2+t)≥-3,当t=0,-1时该不等式恒成立,当0<t≤1时,0<t2+t≤2,a≥=-;当-1<t<0时,-≤t2+t<0,a≤=12,从而可知-≤a≤12.