高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.4 数乘向量课后测评

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.4 数乘向量课后测评，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．点C在直线AB上，且eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．－2eq \(AB,\s\up6(→)) B．eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
C．－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))D．2eq \(AB,\s\up6(→))
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3B．eq \r(3)
C．－1或4D．3或4
3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a
4．如图，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(BD,\s\up6(→))＝3eq \(DC,\s\up6(→))，用a，b表示eq \(AD,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))＝( )
A.a＋eq \f(3,4)b
B．eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b
C．eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b
D．eq \f(1,4)a＋eq \f(3,4)b
二、填空题
5．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.
6．点C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝________eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝________eq \(AB,\s\up6(→)).
7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．
三、解答题
8．已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求证A，B，D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
9．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(DA,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq \(EF,\s\up6(→)).
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10．已知O，A，B是不共线的三点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R).
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
课时作业(二十四) 数乘向量
1.
解析：如图，eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→)).
答案：D
2．解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝eq \f(－3,2－m)，解得m＝－1或m＝3.
答案：A
3．解析：当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同，故选C.
答案：C
4．解析：eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(3,4)b.
答案：D
5．解析：由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.
答案：2
6．解析：因为C在线段AB上，且eq \f(AC,CB)＝eq \f(3,2)，所以eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相同，eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))方向相反，且eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,5)，eq \f(BC,AB)＝eq \f(2,5)，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,5)eq \(AB,\s\up6(→)).
答案：eq \f(3,5) －eq \f(2,5)
7．解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，
∴|λ|＝eq \f(3,5)，即λ＝±eq \f(3,5).
答案：±eq \f(3,5)
8．解析：(1)证明：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq \(AB,\s\up6(→)).
所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，
所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，
只能有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k＝±1.
9．解析：
如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.
在△ABC中，EP是中位线，
所以eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a.
在△ABD中，FP是中位线，所以eq \(PF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)b.
在△EFP中，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EP,\s\up6(→))＋eq \(PF,\s\up6(→))＝－eq \(PE,\s\up6(→))＋eq \(PF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＝－eq \f(1,2)(a＋b).
10．证明：(1)若m＋n＝1，则eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋(1－m)·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋m(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝m(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
即eq \(BP,\s\up6(→))＝meq \(BA,\s\up6(→))，∴eq \(BP,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))共线．
又∵eq \(BP,\s\up6(→))与eq \(BA,\s\up6(→))有公共点B，
∴A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))，
∴eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝λ(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))).
又eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，
故有meq \(OA,\s\up6(→))＋(n－1)eq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))－λeq \(OB,\s\up6(→))，
即(m－λ)eq \(OA,\s\up6(→))＋(n＋λ－1)eq \(OB,\s\up6(→))＝0.
∵O，A，B不共线，∴eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共线，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－λ＝0，,n＋λ－1＝0，))∴m＋n＝1.