高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(多选)下列函数是奇函数的是( )
A．y＝2x2－3 B．y＝x3
C．y＝x2，x∈[0，1] D．y＝x
2．函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图像( )
A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝－x对称
3．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，则f(－2)＋f(－1)的值为( )
A.－2B．2
C．1D．0
4．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2019)＝k，则f(－2019)＝( )
A．kB．－k
C．1－kD．2－k
二、填空题
5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
6．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
7．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________________________________________________________________________．
三、解答题
8．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)；
(2)f(x)＝x2－x3；
(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；
(4)f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(x≠0，a∈R).
9．已知函数f(x)＝1－eq \f(2,x).
(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．
[尖子生题库]
10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图像．
课时作业(十九) 函数的奇偶性
1．解析：对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选BD.
答案：BD
2．解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－eq \f(1,x)－(－x)＝x－eq \f(1,x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图像关于原点对称．
答案：C
3．解析：由图知f(1)＝eq \f(1,2)，f(2)＝eq \f(3,2)，
又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝－2.故选A.
答案：A
4．解析：∵f(2019)＝a·20193＋b·2019＋1＝k，∴a·20193＋b·2019＝k－1，则f(－2019)＝a(－2019)3＋b·(－2019)＋1＝－[a·20193＋b·2019]＋1＝2－k.
答案：D
5．解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，
∴a－1＋2a＝0，∴a＝eq \f(1,3).又f(－x)＝f(x)，
∴b＝0，∴a＋b＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
6．解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.
答案：5
7．解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0，∴x>eq \f(1,2)或－eq \f(1,2)答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－\f(1,2)\f(1,2)))
8．解析：(1)∵函数f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．
∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，
∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x).
故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．
(3)方法一(定义法) 函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．
方法二(根据图像进行判断)
f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－4，x≥2，,－2x，－2画出图像如图所示，图像关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．
(4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．
9．解析：(1)由已知g(x)＝f(x)－a得，
g(x)＝1－a－eq \f(2,x)，
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
即1－a－eq \f(2,（－x）)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－a－\f(2,x)))，
解得a＝1.
(2)函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
证明如下：
设0＝1－eq \f(2,x1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x2)))＝eq \f(2（x1－x2）,x1x2)
∵00，
从而eq \f(2（x1－x2）,x1x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
10．解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；
②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
综上，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x， （x>0）,0，（x＝0）,－x2－2x，（x<0）))
(2)图像如图：