必修 第一册第一章 预备知识1 集合1.3 集合的基本运算第2课时巩固练习

第2课时　全集与补集

某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}．

[问题]　没有获得金奖的学生有哪些？

知识点一　全集

在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号表示．全集包含所要研究的这些集合．

在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？

提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．

知识点二　补集

1．定义：设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作∁UA.

2．符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

3．Venn图

4．补集的性质

(1)A∪(∁UA)＝；

(2)A∩(∁UA)＝；

(3)∁UU＝，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝；

(4)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；

(5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．

1．补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．

2．补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．　　　　

1．已知全集U＝{0，1，2}，且∁UA＝{2}，则A＝(　　)

A．{0}　　　　　　　　 B．{1}

C．∅  D．{0，1}

答案：D　

2．设全集为U，M＝{0，2，4}，∁UM＝{6}，则U＝(　　)

A．{0，2，4，6}  B．{0，2，4}

C．{6}  D．∅

答案：A　

[例1]　(链接教科书第10页例7)(1)设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，则∁UA＝(　　)

A．∅　　　　　　　　 B．{1，3，5}

C．{2，4}  D．{0，1，3，5}

(2)(2021·金华市检测)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA为(　　)

A．{x∈R|0＜x＜2}  B．{x∈R|0≤x＜2}

C．{x∈R|0＜x≤2}  D．{x∈R|0≤x≤2}

[解析]　(1)因为集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，所以∁UA＝{0，1，3，5}．

(2)借助数轴(如图)易得∁UA＝{x∈R|0＜x≤2}．

[答案]　(1)D　(2)C

求集合补集的2种方法

(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；

(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．　　　　

[跟踪训练]

1．设集合U＝R，M＝{x|x＞2或x＜－2}，则∁UM＝(　　)

A．{x|－2≤x≤2}  B．{x|－2＜x＜2}

C．{x|x＜－2或x＞2}  D．{x|x≤－2或x≥2}

解析：选A　如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}．

2．设集合M＝{x|－1≤x<2}，N＝{x|x－k≤0}，若∁RM⊇∁RN，则k的取值范围是________．

解析：由∁RM⊇∁RN，可知M⊆N，则k的取值范围为k≥2.

答案：{k|k≥2}

[例2]　(链接教科书第10页例8)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}．

(1)求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)；

(2)求∁U(A∪B)和∁U(A∩B)．

[解]　(1)A∩B＝{x|－2＜x≤2}，

(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，

A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}．

(2)∁U(A∪B)＝{x|x＜－3或3≤x≤4}．

∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2＜x≤4}．

解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解；

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．　　　　

[跟踪训练]

1．(2021·台州五校高一联考)若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则∁U(M∪N)＝(　　)

A．{1，2，3}  B．{2}

C．{1，3，4}  D．{4}

解析：选D　∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴∁U(M∪N)＝{4}．故选D.

2．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则(∁RA)∩B＝(　　)

A．{x|1＜x＜2}  B．{x|x＞1}

C．{x|1≤x＜2}  D．{x|x≥1}

解析：选A　因为集合A＝{x|x≤1}，所以∁RA＝{x|x＞1}，则(∁RA)∩B＝{x|1＜x＜2}.

[例3]　设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．

[解]　由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}，

因为B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，

所以－m≤－2，即m≥2，

所以m的取值范围是{m|m≥2}．

[母题探究]

1．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x<－m}，

又(∁UA)∩B≠∅，所以－m>－2，解得m<2.

故m的取值范围为{m|m<2}．

2．(变条件)本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？

解：由已知A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．

又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.

故m的取值范围为{m|m≥2}．

由集合的补集求解参数的方法

(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解；

(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析求解．　　　　

[跟踪训练]

1．(多选)设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则满足条件的k的值可以是(　　)

A．0　　　 B．1　　　　

C．2　　　　 D．4

解析：选BC　∁UA＝{x|1＜x＜3}，若B∩(∁UA)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，

∴k≤0或k≥3，因此，若B∩(∁UA)≠∅，则所求k的范围为0＜k＜3.故选B、C.

2．已知集合A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－3≤x≤m＋3}，若A⊆∁RB，则实数m的取值范围是________．

解析：∁RB＝{x|x＜m－3或x＞m＋3}，又∵A⊆∁RB，∴m－3＞3或m＋3＜－1，∴m＞6或m＜－4.

答案：(－∞，－4)∪(6，＋∞)

集合运算中的元素个数问题

(链接教科书第12页阅读材料)在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，我们常用Venn图表示两集合的交、并、补．如果用card表示有限集中元素的个数，即card(A)表示有限集合A中元素的个数，则有如下结论：

(1)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；

(2)card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．

[问题探究]

1．对于上述结论(1)能用Venn图解释吗？

提示：如图所示，设①表示A中不含A∩B的区域里的元素个数；②表示B中不含A∩B的区域里的元素个数；③表示A∩B区域里的元素个数．

则card(A∪B)表示A和B区域里一共有的不同元素的个数，即card(A∪B)＝①＋②＋③；

card(A)表示集合A的区域里的元素个数，即card(A)＝①＋③；

card(B)表示集合B的区域里的元素个数，即card(B)＝②＋③.

注意到card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝(①＋③)＋(②＋③)－③＝①＋②＋③＝card(A∪B)，则结论(1)得证．

2．试用问题探究1的方法给出结论(2)的证明．

提示：对于结论(2)，如图所示，card(A∪B∪C)表示A，B，C中所含不同元素的总个数，而card(A)＋card(B)＋card(C)中A∩B，A∩C，B∩C区域里的元素个数分别出现两次，故应分别减去一次．又card(A∩B∩C)在card(A∩B)，card(A∩C)，card(B∩C)中各出现一次，即出现三次，但又已被减去三次，故需再加上．故有结论：card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．

[迁移应用]

1．(2021·太湖中学段考)向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体人数的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的多1人．则对A，B都不赞成的学生的人数为________．

解析：设50名学生为全集I，则赞成A的人数为50×＝30，赞成B的人数为30＋3＝33.设对A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为＋1，赞成A不赞成B的人数为30－x，赞成B不赞成A的人数为33－x，如图所示，所以由题意得(30－x)＋(33－x)＋x＋＋1＝50，解得x＝21，则＋1＝8.所以对A，B都不赞成的学生的人数为8.

答案：8

2．某市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500位市民，调查结果显示：订阅日报的有334人，订阅晚报的有297人，其中两种都订的有150人(假定只有这两种报纸)．试问：

(1)只订日报不订晚报的有多少人？

(2)只订晚报不订日报的有多少人？

(3)至少订一种报纸的有多少人？

(4)有多少人不订报纸？

解：设I＝{x|x是抽样调查的500位市民}，A＝{x|x是订阅日报的人}，B＝{x|x是订阅晚报的人}，则card(A∩B)＝150，card(I)＝500，card(A)＝334，card(B)＝297.用Venn图表示如图所示．

(1)A∩(∁IB)＝{x|x是只订日报不订晚报的人}，

则card(A∩(∁IB))＝334－150＝184.

(2)B∩(∁IA)＝{x|x是只订晚报不订日报的人}，

则card(B∩(∁IA))＝297－150＝147.

(3)A∪B＝{x|x是至少订一种报纸的人}，

则card(A∪B)＝334＋297－150＝481.

(4)∁I(A∪B)＝{x|x是不订报纸的人}，

则card(∁I(A∪B))＝500－481＝19.

1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)等于(　　)

A．{2，3}　　　　　　　 B．{1，4，5}

C．{4，5}  D．{1，5}

解析：选B　∵A∩B＝{2，3}，∴∁U(A∩B)＝{1，4，5}．

2．设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜9}，B＝{x∈Z|－4＜x＜4}，则集合(∁UA)∩B中的元素的个数为(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：选B　∵U＝R，A＝{x|0＜x＜9}，

∴∁UA＝{x|x≤0或x≥9}．

又∵B＝{x∈Z|－4＜x＜4}，

∴(∁UA)∩B＝{x∈Z|－4＜x≤0}＝{－3，－2，－1，0}共4个元素．

3．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∩(∁UB)等于(　　)

A．{x|－2≤x＜4}  B．{x|x≤3或x≥4}

C．{x|－2≤x＜－1}  D．{x|－1≤x≤3}

解析：选D　由题意可得，∁UB＝{x|－1≤x≤4}，又因为A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}．

4．(2021·重庆南岸区高一月考)如图，设全集U＝R，M＝(－∞，1]，N＝(－∞，0]∪(2，＋∞)，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．[1，2]  B．[1，2)

C．(1，2]  D．(1，2)

解析：选C　阴影部分表示的集合为∁U(M∪N)，∵M＝(－∞，1]，N＝(－∞，0]∪(2，＋∞)，∴M∪N＝(－∞，1]∪(2，＋∞)，又全集U＝R，∴∁U(M∪N)＝(1，2]．故选C.

5．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．

解析：因为∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，又A＝{x|x＜a}，观察∁RB，A在数轴上所表示的区间，如图所示，可知当a≥2时，A∪(∁RB)＝R.

答案：{a|a≥2}