高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示同步达标检测题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示同步达标检测题，共12页。
平面向量基本定理课程标准理解平面向量基本定理及其意义．【概念认知】1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量结论有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2有关 概念若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底2.正交分解对于分解a＝λ1e1＋λ2e2，当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．【自我小测】1．若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　)A．{e1－e2，e2－e1}       B．C．{2e2－3e1，6e1－4e2}      D．{e1＋e2，e1－e2}【解析】选D.对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B，2e1＋e2＝2，所以(2e1＋e2)∥，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C，2e2－3e1＝－(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．2．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足＝＋，则||∶||＝(　　)A．1∶3　    B．3∶1    C．1∶2　    D．2∶1【解析】选D.因为＝＋，所以－＝－，即＝，也就是＝2，所以||∶||＝2∶1.3．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以a，b为基底时，可表示为________，以a，c为基底时，可表示为________．【解析】以a，b为基底时，由平行四边形法则得＝a＋b.以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则得＝2a＋c.答案：a＋b　2a＋c4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________．【解析】由平面向量基本定理，得　所以所以x－y＝3.答案：35．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.【解析】(1)＝＋＝＋＝－＝－a＋b.＝＋＝－＝a－b.(2)＝－＝b－a，因为O是BD的中点，G是DO的中点，所以＝＝(b－a)，所以＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.【基础全面练】　一、单选题1．{e1，e2}为基底向量，已知向量＝e1－ke2，＝2e1－e2，＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　　)A．2    B．－3    C．－2    D．3【解析】选A.根据题意得＝e1－ke2，＝－＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，因为A，B，D三点共线，所以＝λ，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以所以k＝2.2．在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　)A．x＝，y＝      B．x＝，y＝C．x＝，y＝      D．x＝，y＝【解析】选A.因为＝2，所以＋＝2＋2，即3＝2＋，所以＝＋，即x＝，y＝.3．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记，分别为a，b，则＝(　　)A．a－b       B．a＋bC．－a＋b       D．－a－b【解析】选B.设＝λ，＝μ.因为F为CD的中点，所以＝(＋).所以＝(＋)＝(＋2)＝＋λ.＝＋＝＋μ＝＋μ(－)＝(1－μ)＋μ(＋)＝μ＋(1－).根据平面向量基本定理有＝μ，λ＝1－.解得μ＝，λ＝.因此有＝a＋b.4．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝(　　)A．＋       B．＋C．＋       D．＋【解析】选D.根据题意得：＝(＋)，又＝＋，＝，所以＝＝＋.5．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC 于点E，则＝(　　)A．－      B．＋C．－      D．＋【解析】选A.因为CD＝DA，DE⊥AC，所以E是AC 的中点，所以＝＋＝＋＝－，又因为DC∥AB，DC＝AB，所以＝，所以＝－.6．如图所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若＝，且点P落在第Ⅰ部分，则实数a，b满足(　　)A．a>0，b>0       B．a>0，b<0C．a<0，b>0       D．a<0，b<0【解析】选C.当点P落在第Ⅰ部分时，按向量与分解时，一个与反向，一个与同向，故a<0，b>0.二、填空题7．如图所示，在6×4的方格中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B，C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点)，则·＝________．【解析】设水平向右和竖直向上的单位向量为e1和e2，则|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，由题图可知，＝3e1＋2e2，＝6e1－3e2，·＝(3e1＋2e2)·(6e1－3e2)＝18e12＋3e1·e2－6e22＝12.答案：128．已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有＝＋λ，则λ＝______．【解析】因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使＝t，则－＝t(－)，即＝＋t(－)＝(1－t)＋t，所以即λ＝－.答案：－9．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________；＝________．【解析】＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b＋b－a＝a＋b.＝＋＝b－a.答案：a＋b　b－a10．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(x－2)e1＋(y－1)e2＝5e1＋2e2，则x＝________，y＝________．【解析】因为向量e1，e2不共线，所以根据平面向量基本定理可得x－2＝5，y－1＝2，解得x＝7，y＝3.答案：7　3三、解答题11．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.(1)用a，b表示，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．【解析】(1)如图所示，延长AD到点G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a).(2)由(1)知，＝，所以，共线，又，有公共点B，所以B，E，F三点共线．12．在△ABC中，＝，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示.【思路导引】设＝λ，＝μ，根据，，不共线，列方程组求λ，μ.【解析】因为M为BC的中点，所以＝＝(－)＝(b－a)，＝＋＝a＋(b－a)＝(a＋b).因为DN∥BM，AN与AM共线，所以存在实数λ，μ，使得＝λ＝λ(b－a).＝μ＝μ(a＋b)＝a＋b.因为＝＋＝a＋λ(b－a)＝a＋b，所以根据平面向量基本定理，得所以λ＝μ＝，所以＝(b－a)＝－a＋b.【综合突破练】一、选择题1．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝(　　)A.     B.     C.     D. 【解析】选C.3e2－2e1＝ －＝ － ＝ ＝.2．如图，在平行四边形ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，则＝(　　)A．－      B．－C．－      D．－【解析】选A.在平行四边形ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝＋＝－.3．已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　　)A．x＋y－2＝0       B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0      D．2x＋y－2＝0【解析】选A.由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2.【加固训练】 设a，b为平面内所有向量的一组基底，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于(　　)A．2　　　B．－2　　　C．10　　　D．－10【解析】选A.＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b.因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ使得＝λ，即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b.因为a，b为基底向量，所以解得λ＝，k＝2. 4．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是(　　)A． 与      B．与C．与       D．与【解析】选AC.对于A，与不共线；对于B，＝－，则与共线；对于C，与不共线；对于D，＝－，则与共线．由平面向量基底的概念知A、C中的向量组可以作为平面的基底．【加固训练】 若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　)A．＝a－b　　　　 B．＝－a＋bC．＝－a－b       D．＝a＋b【解析】选BC.因为点D为边BC的中点，所以＝＋＝＋＝a＋b，所以＝－a－b；因为点E为边CA的中点，所以＝＝－a＋b；因为点F为边AB的中点，所以＝＋＝－－＝－a－b；因为＝＋＝a＋b，所以＝－＝－a－b. 二、填空题5．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且＝x，＝y，则3x＋y的最小值为________．【解析】因为G是△ABC的重心，所以＝＋，又＝x，＝y，所以＝＋，因为M，G，N三点共线，所以＋＝1，所以3x＋y＝(3x＋y)＝1＋＋＋≥＋2＝.当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，故3x＋y的最小值为.答案：6．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．【解析】设＝a, ＝b，则＝a＋b, ＝a＋b.又因为＝a＋b，所以 ＝(＋)，即λ＝μ＝.所以λ＋μ＝.答案：7．如图，在平行四边形OPQR中，S是对角线的交点，若＝2e1，＝3e2，以e1，e2为基底，表示与，则＝________，＝______．【解析】平行四边形OPQR中，＝＋＝2e1＋3e2，＝－＝3e2－2e1.因为点S是OQ，PR的中点．所以＝PR＝e2－e1，＝－＝－e1－e2.答案：e2－e1　－e1－e28．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为______．【解析】如图，分别在，上取点E，F，使＝，＝，在上取点G，使＝，则EG∥AC，FG∥AE，所以＝＋＝，所以M与G重合，所以＝＝.答案：三、解答题9．P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令＝p，用p表示.【解析】因为＝＋，＝＋，所以(＋)＋2(＋)＋3＝0，所以＋3＋2＋3＝0.又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，所以＝λ，＝μ，所以λ＋3＋2＋3μ＝0，所以(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.而，为不共线向量，所以所以λ＝－2，μ＝－1，所以＝－＝，故＝＋＝2＝2p.