数学必修 第二册第11章 解三角形11.3 余弦定理、正弦定理的应用第1课时课时练习

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第1课时　余弦定理、正弦定理的基本应用解三角形中的常见术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.方位角从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角,如点B的方位角为α(如图所示).方位角的取值范围:0°~360°.方向角指以观测者为中心,指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,它是方位角的另一种表示形式.如图,左图中表示北偏东30°,右图中表示南偏西60°.1．有一条与两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶(　　)A．与水速成45°    B．与水速成135° C．垂直于对岸     D．不能确定【解析】选B.如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且AC⊥AB，在Rt△ABC中，cos ∠ABC＝＝＝.所以∠ABC＝45°，所以∠DAB＝90°＋45°＝135°，则小船行驶的方向应与水速成135°.2．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．10海里    B．10海里C．20海里    D．20海里【解析】选B.根据已知条件可知在△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理有＝，所以BC＝＝10.3．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　)A．500 m     B．200 mC．1 000 m    D．1 000 m【解析】选D.可得∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝＝＝1 000(m)，所以BC＝AB·sin 45°＝1 000×＝1 000(m).4．某人从A处出发，沿北偏西60°方向行走2 km到达B处，再沿正东方向行走2 km到达C处，则A，C两地的距离为________km.【解析】如图所示，∠ABC＝30°，又AB＝2，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC cos  ∠ABC＝12＋4－2×2×2×＝4，AC＝2，所以A，C两地的距离为2 km.答案：25．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在南偏东60°，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离．【解析】由题意，画出示意图．(1)在△ABD中，因为∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，所以B＝45°.由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24(海里).所以A处与D处之间的距离为24海里．(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，所以CD＝8海里．所以C，D之间的距离为8 海里.一、单选题1．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为(　　)A．2 n mile　　  B．3 n mileC．5  n mile     D．6 n mile【解析】选C.在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，所以∠C＝45°.因为＝，所以BC＝＝＝5(n mile).2.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向，则灯塔A与B的距离为(　　)A．a km　     B．a kmC．a km    D．2a km【解析】选B.在△ABC中，因为AC＝BC＝a，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，由余弦定理可得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos 120°＝3a2，所以AB＝a.3．某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值是(　　)A．       B．2C．2或     D．3【解析】选C.如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠B＝30°.由余弦定理，得()2＝x2＋32－2×3×x×，所以x2－3x＋6＝0，解得x＝或x＝2.4．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为 (　　)A．10 km      B． kmC．10 km    D．10 km【解析】选D.在△ABC中，AB＝10 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝100＋400－2×10×20cos 120°＝100＋400－2×10×20×＝700，所以AC＝10 km，即A、C两地的距离为10km.5．如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)A．30°    B．45°    C．60°    D．75°【解析】选B.依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理的推论得，cos ∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.二、填空题6．如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2 mm，AB＝ mm，则∠ACB＝________．【解析】在△ABC中，由余弦定理得cos ∠ACB＝＝－，因为∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝.答案：7．当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为________．【解析】设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m．由正弦定理，得＝，所以x＝sin (120°－α)，因为30°<120°－α<120°，所以当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值．故竹竿与地面所成的角为30°时，影子最长．答案：30°8．已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40°方向，B在C的南偏东60°方向，则A在B的______方向；C在B的______方向．【解析】因为△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°.即A在B的北偏西10°方向．因为B在C的南偏东60°方向，所以C在B的北偏西60°方向．答案：北偏西10°　北偏西60°9．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2c＝a，b＝6，D是AC边上近A点的三等分点，且2∠ABD＝∠CBD，则∠CBD＝______ ；BC＝______．【解析】令∠1＝∠ABD，∠2＝∠CBD，在△ABD内，根据正弦定理可得＝，在△BCD内，＝，两等式相除可得＝，又2c＝a，即2sin C＝sin A，则＝＝，cos ∠1＝，所以∠1＝，∠2＝，因此∠ABC＝，则AC2＝b2＝a2＋c2，则36＝a2＋a2，所以BC＝a＝.答案：　三、解答题10．如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？【解析】如图，连接A1B2，由已知A2B2＝10 海里，A1A2＝30×＝10 (海里)，所以A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝60°，所以△A1A2B2是等边三角形，所以A1B2＝A1A2＝10 海里．由已知，A1B1＝20 海里，∠B1A1B2＝180°－75°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，所以B1B2＝10 海里．因此，乙船的速度为×60＝30(海里/时).所以乙船每小时航行30海里．11．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为－1海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．(1)问C与B相距多少海里？C在B的什么方向？(2)问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．【解析】(1)根据题意作出示意图，如图．①则AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，在△ABC中由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝6，所以BC＝，由正弦定理得＝，即＝，解得sin ∠ABC＝，所以∠ABC＝45°，所以C在B的正西方向．(2)由(1)知BC＝，∠DBC＝120°，设t小时后缉私艇在D处追上走私船，则BD＝10t，CD＝10t，在△BCD中由正弦定理得＝，解得sin ∠BCD＝，所以∠BCD＝30°，所以△BCD是等腰三角形，所以10t＝，即t＝.所以缉私艇沿东偏北30°方向行驶小时才能最快追上走私船．一、选择题1．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C北偏西65°且到C的距离为km，则A，B两船的距离为(　　)A．2 km    B．3 kmC． km    D． km【解析】选D.如图可知∠ACB＝85°＋65°＝150°，AC＝2 km，BC＝ km，所以AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 150°＝13，所以AB＝ km.2．如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)A．10 m       B．5 mC．5(－1)m    D．5(＋1)m【解析】选D.方法一：设AB＝x m，则BC＝x m.所以BD＝(10＋x)m.所以tan ∠ADB＝＝＝.解得x＝5(＋1).所以A点离地面的高AB等于5(＋1)m.方法二：因为∠ACB＝45°，所以∠ACD＝135°，所以∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝·sin ∠ADC＝·sin 30°＝ (m)，所以AB＝AC sin 45°＝5(＋1)m.3．如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC匀速飞行．在A处观测地面目标A，测得俯角∠BAP＝30°.经2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角∠ABP＝60°.又经过一段时间飞行后在C处观察地面目标P，测得俯角∠BCP＝θ且cos θ＝，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为(　　)A.1.25分钟     B．1.5分钟C．1.75分钟    D．2分钟【解析】选B.设飞机的飞行速度为v，根据飞机的飞行图形，测得俯角∠BAP＝30°，经过2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角为∠ABP＝60°，所以△ABP为直角三角形，过点P作PD⊥AC于点D，则AB＝2v，AP＝v，BP＝v，解得DP＝，设CB＝xv，因为cos θ＝，可得sin θ＝＝，所以tan θ＝，在直角△PCD中tan θ＝＝，解得x＝1.5，即该侦察飞机由B至C的飞行时间为1.5分钟．二、填空题4．甲船在岛B的正南A处，AB＝6 km，甲船以每小时4 km的速度向正北方向航行，同时乙船自B出发以每小时3 km的速度向北偏东60°的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是________km.【解析】假设经过x小时两船相距最近，甲、乙分别行至C，D，如图所示，可知BC＝6－4x，BD＝3x，∠CBD＝120°，CD2＝BC2＋BD2－2BC×BD×cos ∠CBD＝(6－4x)2＋9x2＋2(6－4x)3x×＝13x2－30x＋36.当x＝时甲、乙两船相距最近，最近距离为km.答案：5．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为α，行驶300米后到达B处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为β，若β＝45°，则此山的高度CD＝________米，仰角α的正切值为________．【解析】设山的高度CD＝x米，由题可得∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，AB＝300米，∠CBD＝45°.在△ABC中，可得：∠ACB＝180°－45°－105°＝30°，利用正弦定理可得＝＝，解得CB＝300(米)，AC＝150(米).在Rt△BCD中，由∠CBD＝45°可得：x＝CB＝300(米)，在Rt△ACD中可得tan α＝＝＝－1.答案：300　－16．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且此时它们相距8海里，此时的航速是________海里/小时．【解析】在△ABS中，易知∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，且边BS＝8，利用正弦定理可得＝，即＝，得AB＝16，又因为从A到B匀速航行时间为半小时，所以速度应为＝32(海里/小时).答案：327．甲船在A处发现乙船在北偏东60°方向的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问：甲船应沿______方向前进才能最快与乙船相遇？【解析】如图，设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at，AC＝at，∠B＝180°－60°＝120°.由正弦定理得＝，则sin ∠CAB＝＝＝＝.因为0°<∠CAB<90°，所以∠CAB＝30°，所以∠DAC＝60°－30°＝30°，即甲船应沿北偏东30°的方向前进才能最快与乙船相遇．答案：北偏东30°三、解答题8．某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．经测量，边界AB与AD的长都是200米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°(≈1.732 1，≈2.449 5).(1)若∠ADC＝105°，求BC的长(结果精确到米)；(2)围成该区域至多需要多少米长度的板材？(不计损耗，结果精确到米).【解析】(1)连接BD，则在△BCD中BD＝200，∠BDC＝45°，由＝，得：BC＝＝≈163，所以BC的长约为163米；(2)设∠CBD＝θ(0<θ<)，则∠BDC＝－θ，在△BCD中，由＝＝，得：BC＝sin ，CD＝sin θ，所以BC＋CD＝[sin (－θ)＋sin θ]＝sin ，所以当θ＝时，BC＋CD取得最大值，此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为米，约为631米．9．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝＝＝.故当t＝时，Smin＝10 ，v＝＝30 (海里/小时).即小艇以30 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，如图所示．由题意可得：(vt)2＝202＋(30t)2－2×20×30t×cos (90°－30°)，化简得v2＝－＋900＝400＋675.由于0＜t≤，即≥2，所以当＝2时v取得最小值10，即小艇航行速度的最小值为10海里/小时．