高中数学苏教版 (2019)必修 第二册15.3 互斥事件和独立事件第2课时同步训练题

第2课时　独立事件的概率

　独立事件

(1)定义：

一般地，对于两个随机事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称A，B为相互独立事件．

(2)独立事件的概率计算公式：

A，B相互独立P(AB)＝P(A)P(B).

说明：若A，B相互独立，则与B，A与也相互独立．

1．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为(　　)

A．0.28    B．0.12

C．0.42    D．0.16

【解析】选B.甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4＝0.12.

2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　)

A．互斥事件    B．相互独立事件

C．对立事件    D．不相互独立事件

【解析】选D.互斥事件是在一定条件下不可能同时发生的事件，故可判断A，B不互斥，则也不对立，事件A发生对事件B的概率有影响，故A与B是不相互独立事件．

3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选A.因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P(甲)＝，P(乙)＝，所以他们都中靶的概率是P＝×＝.

4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．

【解析】两个实习生把零件加工为一等品分别记为事件A和B.则P＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝.

答案：

5．某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则被淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立．求该选手在复赛阶段被淘汰的概率．

【解析】记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，

那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率

P＝P(A)＝P(A)P()＝×＝.

一、单选题

1．下列事件A，B是相互独立事件的是(　　)

A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”

B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，事件A为“第一次摸到白球”，事件B为“第二次摸到白球”

C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”

D．A为“甲灯泡能用1 000小时”，B为“甲灯泡能用2 000小时”

【解析】选A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．

2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)

A．事件A与B互斥

B．事件A与B对立

C．事件A与B相互独立

D．事件A与B既互斥又独立

【解析】选C.因为P()＝，

所以P(A)＝，

又P(B)＝，P(AB)＝，

所以有P(AB)＝P(A)P(B)，

所以事件A与B相互独立但不一定互斥．

3．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是(　　)

A．    B．

C．    D．

【解析】选C.两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，

则事件AB为两班派出的都是三好学生，

则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.

4．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：

①事件A与事件B相互独立；

②事件B与事件C相互独立；

③事件C与事件A相互独立．

以上命题中，正确的个数是(　　)

A．0    B．1    C．2    D．3

【解析】选D.P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝，

因为P(AB)＝＝P(A)P(B)，故A，B相互独立；

因为P(AC)＝＝P(A)P(C)，故A，C相互独立；

因为P(BC)＝＝P(B)P(C)，故B，C相互独立．

5．在某段时间内，甲地不下雨的概率为P1(0<P1<1)，乙地不下雨的概率为P2(0<P2<1)，若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为(　　)

A．P1P2       B．1－P1P2

C．P1(1－P2)     D．(1－P1)(1－P2)

【解析】选D.因为甲地不下雨的概率为P1，乙地不下雨的概率为P2，且在这段时间内两地下雨相互独立，所以这段时间内两地都下雨的概率为P＝(1－P1)(1－P2).

6．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为(　　)

A．      B．

C．      D．

【解析】选D.根据题意可知，1名学生从15项中任选1项，其选择“芯片领域”的概率为＝，

故其没有选择“芯片领域”的概率为，

则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为××＝，因此至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为1－＝.

二、多选题

7．已知事件A，B，且P＝0.5，P＝0.2，则下列结论正确的是(　　)

A．如果BA，那么P＝0.2，P＝0.5

B．如果A与B互斥，那么P＝0.7，P＝0

C．如果A与B相互独立，那么P＝0.7，P＝0

D．如果A与B相互独立，那么P＝0.4，P＝0.4

【解析】选BD.A选项：如果BA，那么P＝0.5，P＝0.2，故A选项错误；

B选项：如果A与B互斥，那么P＝0.7，P＝0，故B选项正确；

C选项：如果A与B相互独立，那么P＝0.7，P＝0.1，故C选项错误；

D选项：如果A与B相互独立，那么P＝P·P＝0.4，P＝P·P＝0.4，故D选项正确．

8．下列对各事件发生的概率判断不正确的是(　　)

A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为

B．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为

C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为

D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是

【解析】选ABD.对于A，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以概率为2×＝，故A错误，符合题意；

对于B，用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为××＝，所以此密码被破译的概率为1－＝，故B不正确，符合题意；

对于C，设“从甲袋中取到白球”为事件A，则P(A)＝＝，设“从乙袋中取到白球”为事件B，则P(B)＝＝，故取到同色球的概率为×＋×＝，故C正确，不符合题意；

对于D，易得P(A)＝P(B)，

即P(A)P()＝P(B)P()，

即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，

所以P(A)＝P(B)，又P( )＝，

所以P()＝P()＝，所以P(A)＝，故D错误，符合题意．

三、填空题

9．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．

【解析】“从甲盒内取一个A型螺杆”记为事件M，“从乙盒内取一个A型螺母”记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)·P(N)＝×＝.

答案：

10．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________.

【解析】由题意知P＝×＋×＝.

答案：

四、解答题

11．袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．

求：(1)3只全是红球的概率；

(2)3只颜色全相同的概率；

(3)3只颜色不全相同的概率．

【解析】由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均为.

(1)3只全是红球的概率为

P1＝××＝.

(2)3只颜色全相同的概率为

P2＝2·P1＝2×＝.

(3)3只颜色不全相同的概率为

P3＝1－P2＝1－＝.

12．甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75.

(1)求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；

(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．

【解析】(1)分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件A1，A2，A3，则A1，A2，A3为相互独立事件，E表示事件“恰有一人通过笔试”，则

P＝P＋P＋P＝0.6×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.6＋0.4×0.5×0.4＝0.38，即恰有一人通过笔试的概率是0.38.

(2)分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C，

则P＝0.6×0.6＝0.36，P＝0.5×0.6＝0.3，P(C)＝0.4×0.75＝0.3.

事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，则表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，＝   ，

于是P＝1－P＝1－PPP＝1－0.64×0.7×0.7＝0.686 4.

即经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率是0.686 4.

一、选择题

1．甲射击一次命中目标的概率是，乙射击一次命中目标的概率是，丙射击一次命中目标的概率是，现在三人同时射击目标一次，则目标被击中的概率为(　　)

A．    B．    C．    D．

【解析】选A.由于甲、乙、丙射击一次命中目标的概率分别为，，，三人同时射击目标一次，则目标不被击中的概率为：××＝，

由对立事件的概率公式，得到目标被击中的概率为：1－＝.

2．设M，N为两个随机事件，给出以下命题：

(1)若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(M＋N)＝；

(2)若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；

(3)若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；

(4)若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件；

(5)若P(M)＝，P(N)＝，P( )＝，则M，N为相互独立事件；其中正确命题的个数为(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

【解析】选D.若M，N为互斥事件，且P(M)＝，P(N)＝，则P(M＋N)＝＋＝，故(1)正确；

若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，

则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(2)正确；

若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，

则P(M)＝1－P()＝，P(MN)＝P(M)P(N)，

由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(3)正确；

若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝ ，

当M，N为相互独立事件时，P(N)＝1－P()＝，P(MN)＝×＝≠，故(4)错误；

若P(M)＝，P(N)＝，P( )＝，

则P(MN)＝P(M)·P(N)＝，

P( )＝1－P(MN)，

由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故(5)正确．

3．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则(　　)

A．p1＜p2＜p3    B．p2＜p1＜p3

C．p1＜p3＜p2    D．p3＜p1＜p2

【解析】选C.列表得：

所以一共有36种等可能的结果，两个骰子点数之和不超过5的有10种情况，点数之和大于5的有26种情况，点数之和为偶数的有18种情况，所以向上的点数之和不超过5的概率p1＝＝，点数之和大于5的概率p2＝＝，点数之和为偶数的概率记为p3＝＝.

二、填空题

4．甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.35，乙译出密码的概率为0.25，则恰有1人译出密码的概率为________．

【解析】记甲、乙两人译出密码分别为事件A，B，则P(A)＝0.35，P(B)＝0.25，恰有一人译出密码为事件A＋B，所以P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.35×(1－0.25)＋0.25×(1－0.35)＝0.425.

答案：0.425

5．A，B，C三人将参加某项测试，三人能否达标互不影响，已知他们能达标的概率分别是，，，则三人都能达标的概率是________，三人中至少有一人能达标的概率是________．

【解析】A，B，C三人将参加某项测试，三人都能达标的概率是××＝；A，B，C三人将参加某项测试，都没有达标的概率是××＝，因此A，B，C三人将参加某项测试，三人中至少有一人能达标的概率是1－＝.

答案：　

6．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以录用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为，各专家独立评审，则投到该出版社的1篇

稿件被录用的概率为________．

【解析】记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用，则D＝A＋B·C，

P(A)＝×＝，P(B)＝2××＝，P(C)＝，所以P(D)＝P(A＋B·C)＝P(A)＋P(B·C)＝P(A)＋P(B)P(C)＝＋×＝.

答案：

7．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为和；乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是________，只有一人被录取的概率是________．

【解析】甲被录取的概率为P1＝×＝，乙被录取的概率为P2＝×＝，

则该次考试甲、乙同时被录取的概率是P＝P1P2＝×＝，只有一人被录取的概率是P＝P1＋P2(1－P1)＝×＋×＝.

答案：　

三、解答题

8．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，求灯亮的概率．

【解析】因为A，B断开且C，D至少有一个断开时，线路才断开导致灯不亮，P＝P( )[1－P(CD)]＝P()P()·[1－P(CD)]＝××＝.

所以灯亮的概率为1－＝.

9．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6，0.4，0.5，0.2 . 已知各轮问题能否正确回答互不影响．

(1)求该选手被淘汰的概率；

(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题被淘汰的概率．

【解析】(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1，2，3，4)，则P(A1)＝0.6，

P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.该选手被淘汰的概率：P＝P(A1＋A1A2＋A1 A2A3＋A1 A2 A3A4)＝P(A1)＋P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.

(2) P＝P(A1A2＋A1 A2A3＋A1 A2 A3A4)

＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)·

P(A2)P(A3)P(A4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.