高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用练习题

平面向量的应用

(30分钟　50分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2b sin A＝a，则B＝(　　)

A．      B．或

C．      D．或

【解析】选D.因为在△ABC中，2b sin A＝a，

所以2sin B sin A＝sin A，因为sin A≠0，

所以sin B＝.

因为B∈，则B＝或.

2．南宋著名数学家秦九韶在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长a，b，c，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝，若△ABC满足c2sin A＝2sin C，cos B＝，且a<b<c，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为(　　)

A．    B．    C．1    D．

【解析】选B.因为c2sin A＝2sin C，

所以ac2＝2c，所以ac＝2.

因为cos B＝，所以＝，

所以＝，

所以S＝＝.

3．(多选题)(2021·徐州高一检测)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CD＝s.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是(　　)

A.s，∠ACB，∠BCD，∠BDC

B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD

C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC

D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC

【解析】选ACD.解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.

A．在△CBD中，已知s，∠BCD，∠BDC，可以解这个三角形得到BC，再利用∠ACB、BC解直角△ABC得到AB的值；

B．在△CBD中，已知s，∠BCD，无法解出此三角形，在△CAD中，已知s，∠ACD，无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度；

C．在△ACD中，已知s，∠ACD，∠ADC，可以解△ACD得到AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值；

D.

如图，过点B作BE⊥CD，连接AE.

由于cos ∠ACB＝，cos ∠BCD＝，

cos ∠ACE＝，

所以cos ∠ACE＝cos ∠ACB·cos ∠BCD，所以可以求出∠ACD的大小，

在△ACD中，已知∠ACD，∠ADC，s可以求出AC，再利用∠ACB、AC解直角△ABC得到AB的值．

4．(多选题)(2021·苏州高一检测)在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列叙述正确的是(　　)

A．若＝，则△ABC为等腰三角形

B．若＝，则△ABC为等腰三角形

C．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC为锐角三角形

D．若a＝b sin C＋c cos B，则∠C＝

【解析】选ACD.A：＝有＝，即a2＝b2，故△ABC为等腰三角形，正确．

B：＝有sin A cos A＝sin B cos B，

即sin 2A＝sin 2B，0<A，B<π，所以A＝B或A＋B＝，△ABC不一定为等腰三角形，错误．

C：tan A＋tan B＋tan C＝＋

＝sin C·(＋)

＝sin C·

＝sin C·

＝＝tan A tan B tan C>0，所以△ABC为锐角三角形，正确．

D：a＝b sin C＋c cos B知：sin A＝sin (B＋C)

＝sin B sin C＋sin C cos B，所以cos C＝sin C，

所以tan C＝1，0<C<π，有∠C＝，正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2021·武汉高一检测)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2a sin B，则cos B＋sin C的取值范围为________．

【解析】依题意b＝2a sin B，由正弦定理得sin B＝

2sin A sin B，

因为sin B≠0，所以sin A＝，

由于三角形ABC是锐角三角形，所以A＝.

由，可得<B<，

所以cos B＋sin C＝cos B＋sin

＝cos B＋cos B＋sin B＝cos B＋sin B

＝sin ，由于<B＋<，

所以sin ∈，

所以sin ∈.

答案：

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，a＋c＝1，则△ABC面积的最大值为________，△ABC周长的取值范围为________．

【解析】由a＋c＝1得c＝1－a，

所以ac＝a(1－a)＝－(a－)2＋，

所以当a＝c＝时，ac的最大值为，

所以S△ABC＝ac sin B≤××＝，即△ABC面积的最大值为；由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－3ac＝1－3ac≥1－3×＝，所以b≥，

又b<a＋c＝1，所以≤b<1，所以≤b＋a＋c<2，即△ABC周长的取值范围为.

答案：　

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．在①c cos B＋b cos C＝2，②b cos ＝c cos B，③sin B＋cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝，________，b＝4?

【解析】选择①：由余弦定理可知，c cos B＋b cos C＝c·＋b·＝a＝2，由正弦定理得，sin B＝＝1，又B∈，所以B＝，所以△ABC是直角三角形，则c＝2，

所以△ABC的面积S＝ac＝2.

选择②：由正弦定理得，sin B cos ＝sin C cos B，即sin B sin C＝sin C cos B，

又C∈，所以sin C≠0，所以sin B＝cos B，即tan B＝1，又B∈，所以B＝.

由正弦定理得a＝＝2，所以△ABC的面积S＝ab sin C＝4sin (A＋B)

＝4sin ＝2＋2.

选择③：因为sin B＋cos B＝sin ＝，所以sin ＝1，

又B∈(0，π)，所以B＋∈，

所以，B＋＝，即B＝.

由正弦定理得，a＝＝2，

所以△ABC的面积S＝ab sin C＝4sin (A＋B)＝4sin ＝2＋2.

8．(2021·南京高一检测)“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6(单位：10m)，游客在乘坐舱P上升到半空鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与建筑之间的距离AB为12(单位：10m)，游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为θ.

(1)当游客在乘坐舱P与伦敦眼M在同一水平面看建筑BC的视角θ为60°时，拍摄效果最好．若此时测得建筑物BC的高度为18－6(单位：10 m)，求视线PC的长度．

(2)当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，视角θ＝30°，求建筑物BC的高度．

【解析】(1)根据题意，易知点P应在轴线AD的右侧与M等高的位置，连接MP，则MA＝MP＝6，

过点P作PE⊥AB于点E，则PE＝MA＝6，

因为AB＝12，所以E为AB中点，则AE＝BE＝6，因此△PEB为等腰直角三角形，则∠PBE＝45°，PB＝＝6，

又BC⊥AB，所以∠PBC＝45°，

因为θ＝60°，所以∠PCB＝180°－60°－45°＝75°，

在△PBC中，由正弦定理可得，＝，

则PC＝＝＝6－6(单位：10m)，即视线PC的长度为(60－60)m；

(2)连接DB，因为AD＝AB＝12，

所以DB＝＝12，∠DBA＝45°，

又BC⊥AB，所以∠DBC＝45°，

因为θ＝30°，所以∠DCB＝180°－30°－45°＝105°，

在△DBC中，由正弦定理可得，

＝，

则BC＝＝12(单位：10m)，

即建筑物BC的高度为120m.