高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图课后复习题

立体图形的直观图

　【基础全面练】　(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2021·海淀高一检测)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是(　　)

A．△ABC是钝角三角形

B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

C．△ABC是等腰直角三角形

D．△ABC是等边三角形

【解析】选C.因为O′C′＝O′A′＝2O′B′，

所以原图形△ABC中，OC＝OA＝OB，且OB⊥AC，

所以△ABC是等腰直角三角形．

2．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图O′A′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为(　　)

A．    B．4    C．8    D．2

【解析】选C.由已知直观图O′A′B′C′的面积为4，

所以原来图形的面积S＝4×2＝8.

【加固训练】(2021·武汉高一检测)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′A′＝1，那么原三角形ABO的面积是(　　)

A．　　B．　　C．　　D．2

【解析】选B.由斜二测直观图还原原图形如图所示，

因为边O′B′在x′轴上，所以在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变；

O′A′在y′轴上，所以在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍；

因为O′A′＝1，所以O′B′＝，

所以OA＝2，OB＝；

所以△AOB的面积为S△AOB＝×OB×OA＝××2＝.

3．如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是BC的中点，且AB＝BC＝2，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则△ACD在原图中的对应三角形的面积为(　　)

A．    B．1    C．2    D．8

【解析】选C.因为三角形的直观图中点D是BC的中点，且AB＝BC＝2，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，所以S直观图ABC＝×2×2×sin 45°＝，

又因为S原图＝2·S直观图＝2×＝4，

所以△ACD在原图中的对应三角形的面积为：

S原图＝2.

4．(2021·成都高一检测)把四边形ABCD按斜二测画法得到平行四边形A′B′C′D′(如图所示)，其中B′O′＝O′C′＝2，O′D′＝，则四边形ABCD一定是一个(　　)

A．菱形    B．矩形    C．正方形    D．梯形

【解析】选A.把平行四边形A′B′C′D′还原回原图形，过程如下：在平面直角坐标系中，在x轴上截取BC＝4，且使O为BC的中点，在y轴上截取OD＝2，过D向左作x轴的平行线段DA，使DA＝4，连接AB，CD，可得平行四边形ABCD.

因为OC＝2，OD＝2，所以CD＝＝4.

所以平行四边形ABCD为菱形．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．

【解析】按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，

则C′E′＝C′D′·sin 45°＝.

答案：

6．(2021·赣州高一检测)某水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，它是底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的周长为________．

【解析】根据题意画出图形，如图所示；

原来的平面图形是直角梯形，上底是1，下底是1＋，高是2，另一腰长是＝，

所以它的周长是1＋2＋1＋＋＝4＋＋.

答案：4＋＋

三、解答题

7．(10分)如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．

【解析】(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

(2)在图甲中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.

在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝ cm；

过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝×＝0.75(cm)，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm.

(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．

　【综合突破练】　(15分钟　30分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高分别为(　　)

A．4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm

B．4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm

C．4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm

D．2 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm

【解析】选C.由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.

2．(多选题)下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有(　　)

A．三角形的直观图是三角形

B．平行四边形的直观图是平行四边形

C．菱形的直观图是菱形

D．正方形的直观图是正方形

【解析】选AB.由斜二测画法规则知：三角形的直观图仍然是三角形，所以A正确；根据平行性不变知，平行四边形的直观图还是平行四边形，所以B正确；

根据x′轴y′轴的夹角为45°或135°知，菱形的直观图不是菱形，所以C错误；

根据平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度减半知，正方形的直观图不是正方形，所以D错误．

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝2，则△ABC的面积是________．

【解析】把直观图还原为原图形，如图所示：

由题意知，BC＝B′C′＝4，OA＝2O′A′＝2×2＝4，

所以△ABC的面积是S△ABC＝BC·OA＝×4×4＝8.

答案：8

4．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，梯形ABCD水平放置的直观图的面积为________．

【解析】在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，O′D′＝OD＝，所以梯形的高为，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.

答案：

三、解答题

5．(10分)画出一个上、下底面边长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm的正三棱台的直观图．

【解析】(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2 cm，在y轴上取线段OC，使OC＝ cm.连接BC，CA，则△ABC就是正三棱台的下底面的直观图．

(3)画上底面．在Oz轴上取O′，使OO′＝2 cm，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，类似下底面的作法作出上底面的直观图△A′B′C′.

(4)成图．连接AA′，BB′，CC′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线)，得到正三棱台的直观图(如图②所示).