湖南师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试题

湖南师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试题

第I卷（选择题）

1．在以下调查中，适合用全面调查的是（       ）

A．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间

B．调查一个地区结核病的发病率

C．调查一批炮弹的杀伤半径

D．调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例

2．若复数满足，则复数的虚部为（       ）

A． B． C．1 D．

3．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则（       ）

A． B． C． D．

4．一个袋子中有红、黄、蓝、绿四个小球，有放回地从中任取一个小球，将“三次抽取后，红色小球，黄色小球都取到”记为事件M，用随机模拟的方法估计事件M发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表红、黄、蓝、绿四个小球，以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

由此可以估计事件M发生的概率为A． B． C． D．

5．已知等边三角形ABC的边长为1，，那么.

A．3 B．-3 C． D．

6．下列推断中，错误的是（       ）

A．若，，，则

B．，，，

C．，

D．，，且不共线重合

7．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为（       ）

A． B． C． D．

8．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccosA+acosC=2，AC边上的高为，则∠ABC的最大值为（       ）

A． B． C． D．

9．如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（       ）

A．，，三点共线 B．，，，四点共面

C．，，，四点共面 D．，，，四点共面

10．下列说法正确的有（       ）

A．任意两个复数都不能比大小

B．若，则当且仅当时，

C．若，且，则

D．若复数z满足，则的最大值为3

11．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列判断错误的是（       ）

A．若，，，则直线与可能相交或异面

B．若，，，则直线与一定平行

C．若，，，则直线与一定垂直

D．若，，，则直线与一定平行

12．如图，在平行四边形中，点是的中点，点为线段上的一动点，若，则的取值可以是（       ）

A． B． C．1 D．2

第II卷（非选择题）

13．一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，事件：

①恰有1件次品和恰有2件次品；          ②至少有1件次品和全是次品；

③至少有1件正品和至少1件次品；       ④至少有1件次品和全是正品.

其中互斥事件为________.

14．我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值为__________．

15．设，为单位向量，且，的夹角为，若，，则向量在向量上的投影向量为________.

16．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，点为的中点，过点作球的截面，则截面面积的取值范围是________.

17．如图，在正方体中，为的中点，与交于点.求证：

(1)平面；

(2)平面平面.

18．在中，内角，，对应的边分别为，，，设，，且.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，点满足，求的长.

19．一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个.

(1)求连续两次都取到白球的概率；

(2)若到红球记2分，取到白球记1分，取到黑球记0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率.

20．如图，已知是底面为正方形的长方体，，，点是上的动点.

(1)当为的中点时，求异面直线与所成的角的余弦值；

(2)求与平面所成角的正切值的最大值.

21．如图，三棱柱中，底面，，

（1）求证：；

（2）若，问为何值时，三棱柱体积最大，并求此最大值.

22．在一个特定时段内，以点E为中心的7n mile以内海域被设为警戒水域.点E正北55n mile处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40 n mile的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东 (其中，)且与点A相距10n mile的位置C．

（I）求该船的行驶速度（单位：n mile /h）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

根据全面调查的定义可得出合适的选项.

【详解】

全面调查是对调查对象的所有单位一一进行调查的调查方式，

所以，A选项中的问题适合全面调查，BCD选项中的调查适合抽样调查.

故选：A.

2．A

【解析】

【分析】

由复数的除法运算化简复数为，即可得出答案.

【详解】

∵，∴，故复数的虚部为.

故选：A.

3．D

【解析】

【分析】

取，作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出.

【详解】

取，作为基底，则.

因为，所以，

所以.

故选：D.

4．B

【解析】

【分析】

估计事件发生的随机数有6个，由此可以估计事件发生的概率．

【详解】

利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“红、黄、蓝、绿”这四个小球，

以每三个随机数为一组，表示取小球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

估计事件发生的随机数有：

110，021，001，130，031，103，共6个，

由此可以估计事件发生的概率为．

故选．

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5．D

【解析】

利用向量的数量积即可求解.

【详解】

解析：.

故选：D

【点睛】

本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题.

6．C

【解析】

【分析】

由平面的基本性质可判断A，B，D，当，则有，，但，可判断C.

【详解】

对于A，因为，，，由基本事实3可知， A对；

对于B，，，，，故直线，，即，B对；

对于C，若，则有，，但，C错；

对于D，有三个不共线的点在平面中，故重合，D对.

故选：C.

7．B

【解析】

利用对立事件的概率关系进行求解.

【详解】

设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A，则表示这个音序中不含宫和羽这两个音序，

.

故选：B

8．B

【解析】

【分析】

由余弦定理可求得，再由等面积关系可得，利用余弦定理结合基本不等式得出，即可求得，再结合的范围即可得出结论.

【详解】

，

由余弦定理可得，整理可得，

又AC边上的高为，所以，即，

，当且仅当取等号，

，即，即，

，，则，

，故∠ABC的最大值为.

故选：B.

【点睛】

关键点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是等面积关系得，由基本不等式得.

9．ABC

【解析】

【分析】

根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可；

【详解】

解：在正方体中，为的中点，直线交平面于点，

在选项中，直线交平面于点，

平面，直线，又平面，平面，

为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点，

平面，且平面，

又平面，且平面，

，，三点共线，故选项正确；

在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；

在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；

在选项中，直线，，

，，，四点不共面，故错误．

故选：．

10．BD

【解析】

【分析】

通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可.

【详解】

解：对于A选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；

对于B选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；

对于C选项，当，满足，但，所以C不正确；

对于D选项，复数z满足，则复数z在复平面内的轨迹为单位圆，则的几何意义，是单位圆上的点到的距离，它的最大值为3，所以D正确；

故选：BD.

11．BCD

【解析】

【分析】

根据线面平行垂直的判定和性质逐个分析即可

【详解】

是两条不同的直线，是两个不同的平面，

对于A，若，，，则直线与相交垂直或异面垂直，故A正确；

对于B，若，，，则直线与相交、平行或异面，故B错误；

对于C，若，，，则直线与相交、平行或异面，故C错误；

对于D，若，，，则直线与相交、平行或异面，故D错误.

故选：BCD

12．AB

【解析】

【分析】

根据平面向量的线性运算可得，再结合三点共线的性质与基本不等式求解的最值再判断选项即可

【详解】

，

因为三点共线，所以，即，所以，

因为，，所以，

当且仅当，即时等号成立，此时，

所以.

故选：AB

13．①④

【解析】

【详解】

对于①，恰有1件次品就是1件正品、1件次品，与2件都是次品显然互斥；

对于②，至少有1件次品包括有1件次品和2件全是次品，两事件不互斥；

对于③，至少有1件正品包括恰有1件正品和1件次品以及2件都是正品，与至少有1件次品显然不互斥；

对于④，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是正品互斥.

故互斥事件是①④.

考点：互斥事件的判断.

14．2.9

【解析】

【分析】

先建立方程求解得，再判断的取值范围，最后建立方程求解得.

【详解】

解：由题意：，解得，

因为前6组的频率之和为，前5组的频率之和为，

所以．

所以，解得，

因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．

故答案为：2.9

【点睛】

本题考查补全频率分布直方图、根据频率分布直方图估值，是基础题.

15．##

【解析】

【分析】

先求出和，再由投影向量公式求解即可.

【详解】

依题意得，，且，

所以，

所以向量在向量上的投影向量为.

故答案为：.

16．

【解析】

【分析】

依题意三棱锥的外接球即为以，，为邻边的长方体的外接球，求出外接球的半径，取的中点，当截面时，截面的面积最小，利用勾股定理求出截面圆的半径，即可得解；

【详解】

解：依题意三棱锥的外接球即为以，，为邻边的长方体的外接球，

∴，∴，

取的中点，∴为的外接圆圆心，

∴平面，如图，当截面时，截面的面积最小，

∵，

此时截面圆的半径为，∴截面面积为，

当截面过球心时，截面圆的面积最大为，

故截面面积的取值范围是.

故答案为：

17．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）连接，在中，为三角形的中位线，所以，再由线面平行的判定定理即可证明；

（2）因为， ，，即可证明平面，由面面垂直的判定定理即可证明.

(1)

如图，连接，在中，为三角形的中位线，所以.

又平面，平面，所以平面.

(2)

易知，因为平面，平面，

所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.

18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）通过向量的数量积，结合两角和与差的三角函数化简表达式，求解即可．

（Ⅱ）利用余弦定理求解，推出，然后利用平方，求解模即可．

【详解】

解：（Ⅰ）因为，，且，所以，

，即，

解得或，

因为，所以.

（Ⅱ）因为，所以，解得或（舍去），

又因为，所以，

，

即，

所以的长为.

19．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意列举出连续取两次所包含的基本事件，再列举出连续取两次都是白球的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求出连续两次都取到白球的概率；

（2）设事件连续两次分数之和为，设事件连续两次得分之和为分，利用古典概型的概率公式求出、，相加即可得出结果.

(1)

连续取两次所包含的基本事件有：

（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑），（白1，红），（白1，白1），（白1，白2），（白1，黑），（白2，红），（白2，白1），（白2，白2），（白2，黑），（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，黑），所以基本事件的总数为16.

设事件：连续取两次都是白球，所包含的基本事件有：

（白1，白1），（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4个，

所以，.

(2)

设事件：连续取两次分数之和为3分，设事件：连续取两次分数之和为4分，设事件：连续取两次分数之和大于2分，则，且事件与事件互斥，

因为事件所包含的基本事件有：（红，白1），（红，白2），（白1，红），（白2，红），所以，

因为事件所包含的基本事件有：（红，红），所以，

故.

即连续两次取球所得分数之和大于2分的概率为.

20．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）过点作，垂足为，连接，则，得到或其补角是异面直线与所成的角，结合题设条件和，即可求解；

（2）由平面，得到是与平面所成的角且，

当最小时，得出，即可求解.

(1)

解：如图所示，过点作，垂足为，连接，则，

所以或其补角是异面直线与所成的角，

在中，因为，所以，

又因为，，且，

在中，，

所以，

即异面直线与所成的角的余弦值为.

(2)

解：由是长方体知，平面，

所以是与平面所成的角，则，

当最小时，最大，这时，

又由直角中，可得，得，

即与平面所成角的正切值的最大值为.

21．（1）证明见解析；（2）时棱柱的体积最大，最大值为.

【解析】

（1）先证明和，再结合证明平面，最后结合平面证明；

（2）先证明并求得，再设表示出，，最后求出当时棱柱的体积最大，且最大值为.

【详解】

解：（1）∵三棱柱中，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴；

（2）作于O，连结，如图

由（1）可知，

∵，，，∴，

∴，

设，，

∴三棱柱体积，

当，即时，即时棱柱的体积最大，最大值为：.

【点睛】

本题考查利用线面垂直证明线线垂直、求几何体的体积的最值，是中档题.

22．（I）船的行驶速度为（海里/小时）.（II）船会进入警戒水域.

【解析】

【详解】

试题分析：(I)根据同角三角函数的基本关系式求出,然后利用余弦定理求出BC的值，从而可求出船的行驶速度.

(II)判断船是否会进入警戒水域，关键是看点E到直线l的距离与半径7的关系，因而可求出直线l的方程，以及E点坐标，然后再根据点到直线的距离公式得到结论.

（I）如图，AB=40，AC=10，

由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行驶速度为（海里/小时）.

（II）解法一   如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，

设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）, C（x1，y2）,

BC与x轴的交点为D.

由题设有，x1=y1=AB=40,

x2=ACcos,

y2=ACsin

所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.

又点E（0，-55）到直线l的距离d=

所以船会进入警戒水域.

解法二: 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.

在△ABC中，由余弦定理得，

==.

从而

在中，由正弦定理得，AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.

过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.

在Rt中，PE=QE·sin

=所以船会进入警戒水域.

考点：正余弦定理在解三角形当中的应用，直线方程，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.

点评：掌握正余弦定理及能解决的三角形类型是解三角形的前提.第（II）问关键是知道如何判断船是否会进入警戒水域,实质是直线与圆的位置关系的判断.