广东省东莞市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

这是一份广东省东莞市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了二次根式中字母x的取值范围是，下列计算正确的是，已知一组数据等内容，欢迎下载使用。



广东省东莞市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．二次根式中字母x的取值范围是（       ）
A．x＜3 B．x≥3 C．x＞3 D．x≤3
2．下列计算正确的是（　　）
A．÷2＝ B．（2）2＝16 C．2×＝ D．﹣＝
3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（       ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，9 D．5，12，14
4．在下列四个函数中，是正比例函数的是（       ）
A．yx+1 B．yx2+1 C．y D．y
5．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则AB的长是（       ）

A．3 B．8 C．11 D．5
6．如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝4，则AB的长为（       ）

A．2 B．4 C．2 D．4
7．如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为（       ）

A．5 B．10 C．20 D．40
8．已知一组数据：9，8，8，6，9，5，7，则这组数据的中位数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．关于函数y=﹣2x+1，下列结论正确的是（　　）
A．图象必经过（﹣2，1） B．y随x的增大而增大
C．图象经过第一、二、三象限 D．当x＞时，y＜0
10．如图，在矩形ABCD中，ADAB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，以下结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④AB﹣CF＝HE；其中正确的有（       ）


A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第II卷（非选择题）
评卷人
得分



二、填空题
11．已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是_____．
12．如图，以原点O为圆心，OB为半径画弧交数轴于点A，则点A所表示的数是_____．

13．将直线向下平移4个单位，所得到的直线的解析式为___．
14．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加一个条件 _____，能使四边形EFGH是矩形．

15．某校生物小组7人到校外采集标本，其中2人每人采集到3件，3人每人采集到4件，2人每人采集到5件，则这个小组平均每人采集标本___________件．
16．若一组数据4，x，5，7，9的平均数为6，则这组数据的方差为________．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，OA1B1，B1A1A2，B2B1A2，B2A2A3，B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2022的坐标是 ____．

评卷人
得分



三、解答题
18．计算：．
19．小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去男舅家，以下是她本次去男舅家所用的时间与路程的关系式示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：

(1)小红家到舅舅家的路程是 米，小红在商店停留了 分钟；
(2)小红在整个骑车去舅舅家的途中，最快速度是 米/分，最慢速度是 米/分；
(3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了 米，一共用了 分钟．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F是对角线AC上的两点，AE=CF，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形.

21．某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，并统计绘制成了如图两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查学生　 　人，并将条形图补充完整；
（2）捐款金额的众数是　 　，中位数是　 　；
（3）在八年级850名学生中，捐款20元及以上（含20元）的学生估计有多少人？

22．如图，直线y1＝x+1交x轴、y轴于点A、B，直线y2＝﹣2x+4交x、y轴于点C、D，两直线交于点E．

(1)求点E的坐标；
(2)求ACE的面积；
(3)根据图象直接回答：当x为何值时，y1＜y2？
23．如图，将▱ABCD的边DA延长到F，使AF＝DA，连接CF，交AB于点E．
（1）求证：AE＝BE；
（2）若∠AEC＝2∠D，求证：四边形AFBC为矩形．

24．如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系xO中，使OA、OC分别落在x、y轴的正半轴上，其中AB＝15，对角线AC所在直线解析式为y＝﹣x+b，将矩形OABC沿着BE折叠，使点A落在边OC上的点D处．
（1）求点B的坐标；
（2）求EA的长度；
（3）点P是y轴上一动点，是否存在点P使得△PBE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

25．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB边于点E，EF∥BC，交CD于点F，点G是BC边的中点，连接GF，且∠1=∠2，CE与GF交于点M，过点M作MH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CH=1，求BC的长；
（3）求证：EM=FG+MH．


参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数得到x-3≥0，求解即可．
【详解】
解：由题意，得x-3≥0，
解得，x≥3．
故选：B．
【点睛】
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．A
【解析】
【分析】
根据二次根式的除法法则对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断．
【详解】
解：A、原式＝2÷2＝，所以A选项正确；
B、原式＝4×2＝8，所以B选项错误；
C、原式＝2×＝，所以C选项错误；
D、原式＝2﹣＝，所以D选项错误．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．B
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
【详解】
解：A、∵42+52≠62，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B、∵   
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故选项符合题意；
C、∵，
∴以这三个数为长度的线段，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D、∵，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
4．D
【解析】
【分析】
正比例函数的形式是y=kx，其条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．再根据定义逐一判断即可．
【详解】
解：A、y与x是一次函数的关系；故本选项不符合题意；
B、y是x的二次函数，；故本选项不符合题意；
C、y与x是反比例函数的关系；故本选项不符合题意；
D、y与x是正比例的关系；故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
5．D
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质可得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，由角平分线的定义可得出∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得出∠CED=∠CDE，利用等角对等边可求出CD的长即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=8，AB=CD，AD∥BC．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE．
∵AD∥BC，
∴∠CED=∠ADE=∠CDE，
∴CD=CE=BC-BE=8-3=5，
   
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、角平分线以及等腰三角形的性质，利用平行四边形的性质及等腰三角形的性质，求出CD的长是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】
由矩形的性质得出OA=OB=2，再证明△AOB是等边三角形，得出AB=OA即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC=2，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB=2，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=2；
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
由菱形的性质可求得OA与OB的长，在Rt△ABO中，由勾股定理求得边AB的长，即可求解．
【详解】
解：设AC与BD的交点为O，
∵菱形ABCD中，AC=6，BD=8，
∴OA=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，
∴，
∴菱形ABCD的周长=4×5=20，
故选：C．

【点睛】
本题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的对角线互相垂直且平分定理的应用是解此题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
根据这组数据是从大到小排列的，找出最中间的数即可．
【详解】
解：∵原数据从大到小排列是：9，9，8，8，7，6，5，
∴处于最中间的数是8，
∴这组数据的中位数是8.
故选C．
【点睛】
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）即可.
9．D
【解析】
【详解】
根据一次函数的性质，依次分析选项可得答案．
解：根据一次函数的性质，依次分析可得，
A、x=-2时，y=-2×-2+1=5，故图象必经过（-2，5），故错误，
B、k＜0，则y随x的增大而减小，故错误，
C、k=-2＜0，b=1＞0，则图象经过第一、二、四象限，故错误，
D、当x＞时，y＜0，正确；
故选D．
点评：本题考查一次函数的性质，注意一次函数解析式的系数与图象的联系
10．A
【解析】
【分析】
设AB=a，则AD=，用a表示出AE长度可判断①；证明DH=DC即可说明②；证明△DHF≌△EBH，可判断③；用含a是式子表示BA-CF与HE比较即可判断④．
【详解】
解：①∵矩形ABCD，

设AB=a，则AD=，
∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=45°，
∴BA=BE．
在Rt△ABE中，，
∴AE=AD，故①正确；
②∵DH⊥AH，∠DAE=45°，，
∴DH=AH=a， ∴DH=DC，
∴DE平分∠AEC， ∴∠AED=∠CED，故②正确；
③∵AH=AB=a， ∴∠ABH=∠AHB，
∵AB∥CD， ∴∠ABF+∠DFB=180°，
又∠AHB+∠BHE=180°，
∴∠BHE=∠HFD，∠HEB=∠FDH=45°，
在△DHF和△EBH中，，
∴△DHF≌△EBH（AAS）， ∴BH=HF，故③正确；
④∵△BHE≌△HFD，
∴HE=DF，HE=AE-AH=，
∴CF=，
∵，
   故④正确；
综上所述，正确的是①②③④共4个， 故选：A．
【点睛】
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11．5
【解析】
【分析】
直角三角形中，斜边长为斜边中线长的2倍，所以求斜边上中线的长求斜边长即可．
【详解】
解：在直角三角形中，两直角边长分别为6和8，
则斜边长＝＝10，
∴斜边中线长为×10＝5，
故答案为 5．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，根据勾股定理求得斜边长是解题的关键．
12．﹣
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出OB，再根据数轴的特点即可得出答案．
【详解】
解：如图所示：OB＝，
故点A所表示的数是：﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】
本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握第三边的求法是解题的关键．
13．
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【详解】
将直线向下平移4个单位长度，所得直线的解析式为，即．
故答案为．
【点睛】
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
14．AC⊥BD
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边，根据平行线的性质可得：∠EHG=∠1，∠1=∠2，再证明四边形EFGH是平行四边形，当∠EFG=90°，四边形EFGH是矩形，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．
【详解】
解：如图，

∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，
∴
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
同理：

∴四边形EFGH是平行四边形，
当∠EHG=90°， 四边形EFGH是矩形，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．
【点睛】
本题主要考查三角形的中位线定理和矩形的四个角都是直角的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
15．4
【解析】
【分析】
根据加权平均数的计算公式计算即可．
【详解】
解∶．
故答案为4．
【点睛】
本题重点考查了加权平均数的计算公式，加权平均数：（其中w1、w2、……、wn分别为x1、x2、……、xn的权数）．
16．3.2
【解析】
【分析】
先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算．
【详解】
解：由题意得：x=56-（4+5+7+9）=5，
∴数据的方差S2= [(4-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(7-6)2+(9-6)2]=3.2，
故答案为：3.2．
【点睛】
本题考查平均数和方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
17．（22021，22021）
【解析】
【分析】
由OA1=1得到点B1的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点A2的坐标，进而得到点B2的坐标，然后再一次类推得到点B2021的坐标．
【详解】
解：∵OA1=1，
∴点A1的坐标为（1，0），
∵点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，
∴△OA1B1是等腰直角三角形，
∴A1B1=1，
∴B1（1，1），
同理：△B1A1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2=1，B1A2=
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，
∴A2B2=2，
∴B2（2，2），
同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…，Bn（2n-1，2n-1），
∴B2022（22021，22021），
故答案为：（22021，22021）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点B的坐标找出规律．
18．
【解析】
【分析】
先利用完全平方公式与平方差公式计算二次根式的乘法，再合并即可．
【详解】
解：


【点睛】
本题考查的是二次根式的混合运算，熟练的利用完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解本题的关键．
19．(1)1500，4；
(2)450，150；
(3)2700，14
【解析】
【分析】
（1）根据图象，路程的最大值即为小红家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其在商店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间；
（2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，确定函数变化较慢的一段，可得小明骑车速度最慢的时间段，进而可得其速度；
（3）分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即可求得小红一共行驶路程；读图即可求得本次去舅舅家的行程中，小红一共用的时间．
(1)
解：根据图象舅舅家纵坐标为1500，小红家的纵坐标为0，
故小红家到舅舅家的路程是1500米；
据题意，小红在商店停留的时间为从8分到12分，故小红在商店停留了4分钟．
故答案为：1500，4；
(2)
根据图象，12≤x≤14时，直线最陡，
此时小红速度最快，速度为（米/分）．
当 直线较平缓，速度最慢，
此时速度为：（米/分）．
故答案为：450，150；
(3)
读图可得：小红共行驶了1200+600+900=2700米，共用了14分钟．
故答案为：2700，14．
【点睛】
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
20．证明见解析
【解析】
【分析】
证出，由证明，得出，即可得出四边形是平行四边形．
【详解】
证明：，
，
，
，
即，
，
在和中，，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
21．（1）50，将条形图补充完整见解析；（2）众数是10，中位数是12.5；（3）捐款20元及以上（含20元）的学生有187人．
【解析】
【详解】
分析：（1）由题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数；
       （2）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，可知众数，将这组数据按照从小到大的顺序排列，处于中间位置的数就是这组数据的中位数；
       （3）由抽取的样本可知，用捐款20及以上的人数所占比例估计总体中的人数．
详解：（1）本次抽查的学生有：14÷28%=50（人），则捐款10元的有50﹣9﹣14﹣7﹣4=16（人），补全条形统计图图形如下：
       
       故答案为50；
       （2）由条形图可知，捐款10元人数最多，故众数是10；
       将这组数据按照从小到大的顺序排列，中间两个数据分别是10，15，所以中位数是（10+15）÷2=12.5．
       故答案为10，12.5；
       （3）捐款20元及以上（含20元）的学生有：850×=187（人）．
点睛：本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，众数和中位数，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．(1)E（1，2）
(2)3
(3)
【解析】
【分析】
（1）联立两函数解析式，解方程组可得；
（2）先根据函数解析式求得点A、C的坐标，即可得线段AC的长，再根据三角形面积公式计算可得．
（3）由时，的图象在的图象的下方，结合图象可得答案．
(1)
解：∵，
∴，
∴E（1，2）；
(2)
解：当时，解得：x=-1，
∴A（-1，0），
当y2=-2x+4=0时，解得：x=2，
∴C（2，0），
∴AC=2-（-1）=3，
S△ACE＝×AC×yE =×3×2 =3．
(3)
解：
当时，的图象在的图象的下方，结合图象可得：

【点睛】
本题主要考查两直线相交的问题，解题的关键是根据两直线解析式求得两函数的交点坐标，函数与x轴的交点坐标，以及利用函数图象解不等式．
23．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）证明四边形ACBF是平行四边形，可得BE＝AE；
（2）由平行四边形的性质，三角形外角性质可得CE＝BE，再证AB＝CF，即可得出平行四边形ACBF是矩形．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DA＝AF，
∴AF＝BC，
∴四边形AFBC是平行四边形，
∴BE＝AE；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠ABC，
∵2∠D＝∠AEC＝∠ABC+∠ECB，
∴2∠ABC＝∠ABC+∠ECB，
∴∠ECB＝∠ABC，
∴CE＝BE，
∵四边形AFBC是平行四边形，
∴AE＝BE，CE＝EF，
∴AB＝CF，
∴平行四边形AFBC是矩形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，关键是平行四边形性质的灵活运用．
24．（1）B（9，15）；（2）5；（3）存在，P（0，）
【解析】
【分析】
（1）根据点C的坐标确定b的值，利用待定系数法求出点A坐标即可解决问题；
（2）在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，CD＝＝12，OD＝15﹣12＝3，设DE＝AE＝x，在Rt△DEO中，根据DE2＝OD2+OE2，构建方程即可解决问题；
（3）如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．利用待定系数法求出直线BE′的解析式即可解决问题；
【详解】
解：（1）∵AB＝15，四边形OABC是矩形，
∴OC＝AB＝15，
∴C（0，15），代入y＝y＝﹣x+b得到b＝15，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+15，
令y＝0，得到x＝9，
∴A（9，0），B（9，15）．
（2）在Rt△BCD中，BC＝9，BD＝AB＝15，
∴CD＝＝12，
∴OD＝15﹣12＝3，
设DE＝AE＝x，
在Rt△DEO中，∵DE2＝OD2+OE2，
∴x2＝32+（9﹣x）2，
∴x＝5，
∴AE＝5．
（3）如图作点E关于y轴的对称点E′，连接BE′交y轴于P，此时△BPE的周长最小．

∵E（4，0），
∴E′（﹣4，0），
设直线BE′的解析式为y＝kx+b，则有
解得，
∴直线BE′的解析式为y＝x+，
∴P（0，）．
故答案为（1）B（9，15）；（2）5；（3）存在，P（0，）.
【点睛】
本题考查一次函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．
25．（1）见解析；（2）2；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由在平行四边形ABCD中，EF∥BC，可得四边形BCFE是平行四边形，又由CE平分∠BCD，易得△BCE是等腰三角形，继而证得四边形BCFE是菱形；
（2）由∠1=∠2，可得∠ECF=∠2，即△CMF是等腰三角形，又由MH⊥CD，可得CF=2CH，继而求得BC的长；
（3）首先连接BC交CF于点O，易得△BCF是等边三角形，继而可得OM=MH，OE=FG，则可证得结论．
【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ECF，
∵EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECF，
∴∠BCE=∠1，
∴BC=BE，
∴四边形BCFE是菱形；
(2)∵∠1=∠ECF，∠1=∠2，
∴∠ECF=∠2，
∴CM=FM，
∵MH⊥CD，
∴CF=2CH=2×1=2，
∵四边形BCFE是菱形；
∴BC=CF=2；
(3)连接BF交CE于点O，
∵G是BC中点，
∴
∵

∴CG=CH,
在△CGM和△CHM中，
   
∴△CGM≌△CHM(SAS)，
∴
即FG⊥BC，
∴CF=BF，
∵BC=CF，
∴BC=CF=BF，
∴△BCF是等边三角形，
∴
∴
∵BF⊥CE，
∴OM=MH，
∵OE=OC=FG，
∴EM=FG+MH.
【点睛】
考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．