高中数学湘教版（2019）必修 第一册1.1 集合学案

命题

“红豆生南国，春来发几枝．愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗．

[问题]　(1)在这4句诗中，哪几句是疑问句？哪几句是陈述句？

(2)疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？

知识点一　命题的定义及分类

1．逻辑用语：在数学乃至科学中常用于引入概念、表述规律、推导定理法则或交流信息的词语，经过规范化使之意义更为清楚严谨，这类词语叫做逻辑用语．

2．命题的定义：可判断真假的陈述句叫做命题．

3．命题的分类：判断为真(成立)的命题叫作真命题，判断为假(不成立)的命题叫作假命题．

4．猜想：数学中暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题．(　　)

(2)“x2－3x＋2＝0”是命题．(　　)

答案：(1)√　(2)×

2．语句“若a＝b，则a＋c＝b＋c”(　　)

A．不是命题　　　　　　　 B．是真命题

C．是假命题  D．不能判断真假

答案：B

3．下列命题是真命题的是________(填序号)．

①若a＝b，则a2＝b2；②若a2＝b2，则a＝b；③对顶角相等；④两直线平行，同旁内角互补．

答案：①③④

知识点二　命题及其否定的结构形式

1．数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中叫作命题的条件，叫作命题的结论．

2．命题的否定：如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作綈p，读作“非p”．

对一般命题若p，则q的否定为若，则綈q．

3．命题的否定与原命题的真假性.

写出下列命题p的否定綈p：

(1)p：3＋4>6；

(2)p：2，3都是8的约数；

(3)p：方程x2＋x＋1＝0至少有一个实数解．

解：(1)綈p：3＋4≤6；

(2)綈p：2，3不都是8的约数；

(3)綈p：方程x2＋x＋1＝0没有实数解．

[例1]　判断下列语句是否是命题，并说明理由．

(1)是有理数；

(2)3x2≤5；

(3)梯形是不是平面图形呢？

(4)一个数的算术平方根一定是负数．

[解]　(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．

(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．

(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．

判断语句是否是命题的策略

(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；

(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．　　　　

[跟踪训练]

(2021·西安一中月考)下列语句中是命题的有______；是真命题的有________(填序号)．

①这幅画真漂亮！

②求证是无理数；

③正切函数是周期函数吗？

④并非所有的人都喜欢苹果；

⑤若x＝2，则x2－1>0.

解析：①是感叹句，不是命题．

②是祈使句，不是命题．

③是疑问句，不是命题．

④是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题．

⑤是命题，x＝2时，x2－1＝3>0，可以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题．

答案：④⑤　④⑤

[例2]　(链接教科书第14页例1)判断下列命题的真假，并说明理由．

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)当x＝4时，2x＋1<0；

(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.

[解]　(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．

(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.

(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.

命题真假的判定方法

(1)真命题的判断方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；

(2)假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．　　　　

[跟踪训练]

1．(多选)下列命题是真命题的是(　　)

A．若xy＝1，则x，y互为倒数

B．平面内，四条边相等的四边形是正方形

C．平行四边形是梯形

D．若ac2>bc2，则a>b

解析：选AD　A、D是真命题；B.平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形；C.平行四边形不是梯形．

2．判断下列命题的真假：

(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；

(2)若x∈N，则x3>x2成立；

(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆．

解：(1)假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.

(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．

(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，

∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．

(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.

[例3]　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：

(1)6是12和18的公约数的否定；

(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)平行四边形的对角线互相平分；

(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.

[解]　(1)若一个数是6，则它不是12和18的公约数，是假命题．

(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．

(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．

(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．

将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则

[注意]　若判断一个命题的真假性时，从原命题入手不易判断时，可以考虑判断该命题的否定的真假性，根据p与綈p的真假关系得出结论．　　　　

[跟踪训练]

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．

(1)奇数不能被2整除；

(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；

(3)两个相似三角形是全等三角形．

解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．

(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．

(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题.

[例4]　(2021·苏州检测)已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________．

[解析]　法一：若A∩B＝∅是真命题，则a≤－3，

∴A∩B＝∅是假命题时，a>－3.

法二：若A∩B＝∅是假命题，则A∩B≠∅是真命题，即集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，

易得a>－3.

[答案]　(－3，＋∞)

由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤

第一步，明确命题的条件和结论；

第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件；

第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围．

[注意]　若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集．　　　　

[跟踪训练]

若A＝{1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，则B⊆A成立是真命题，求实数a的值．

解：∵集合A＝{1，2}，B＝{x|ax－2＝0}，B⊆A成立是真命题．

∴B＝∅或B＝{1}或B＝{2}，∴a＝0或a＝1或a＝2.

1．下列说法正确的是(　　)

A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”

B．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题

C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题

D．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题

解析：选D　命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确．

2．(多选)下列命题是真命题的是(　　)

A．所有质数都是奇数

B．若 >，则a>b

C．对任意的x∈N＋，都有x2≥x成立

D．方程x2＋x＋2＝0有实根

解析：选BC　选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；不论x取N＋内的任何数，x2≥x恒成立，故C正确；选项D错，因为Δ＝12－8＝－7<0，所以方程x2＋x＋2＝0无实根．

3．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．

(1)当a>b时，有ac2>bc2；

(2)实数的平方是非负实数；

(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．

解：(1)若a>b，则ac2>bc2，是假命题．

(2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题．

(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题．