湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数第二课时学案

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过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)这几个循环路径．
[问题] (1)函数y＝sin x与y＝cs x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y＝sin x，y＝cs x的什么性质？
(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数y＝sin x，y＝cs x的什么性质？函数y＝sin x，y＝cs x的图象在什么位置取得最大(小)值？





知识点一 函数的周期性
1．周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，x±T都有意义，并且f(x±T)＝f(x)，则称函数y＝f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期．
2．最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．
eq \a\vs4\al()
对周期函数定义的再理解
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一；
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期；
(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与y＝Acs(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数的周期常用公式T＝eq \f(2π,|ω|)来求．
是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？
提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
1．若函数f(x)的周期为3，且f(1)＝－2，则f(7)＝________．
答案：－2
2．函数y＝cs 2x的周期为________．
答案：π
3．函数y＝sin(－x)的周期为________．
解析：∵y＝sin(－x)＝－sin x，∴周期为2π.
答案：2π
知识点二 正弦函数、余弦函数的性质
eq \a\vs4\al()
1．正、余弦函数的单调性
正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．
2．三角函数的最值与单调性之间的联系
如图，由三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象可知：图象相邻两个最大值之间的距离为一个周期，两个最大值之间有一个最小值，从左至右第一个最大值点x0与最小值点x0＋eq \f(T,2)之间构成的区间为减区间，最小值点x0＋eq \f(T,2)与第二个最大值点x0＋T所构成的区间为增区间，
从而三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kT＋x0，kT＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(T,2)))))(k∈Z)，单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kT＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(T,2)))，kT＋（x0＋T）))(k∈Z)．
3．三角函数的最值与周期性之间的联系
由三角函数图象可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期T，相邻最大值与最小值之间的区间长度为eq \f(T,2)，相邻的最值点与对称中心之间的区间长度为eq \f(T,4).
正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？
提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应．
判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝3sin 2x是奇函数．( )
(2)函数y＝－cs eq \f(π,3)x是偶函数．( )
(3)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．( )
(4)余弦函数y＝cs x的一个减区间是[0，π]．( )
(5)∃x∈[0，2π]满足sin x＝2.( )
(6)当余弦函数y＝cs x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)×
角度一 正、余弦函数的最小正周期
[例1] 求下列函数的最小正周期：
(1)ƒ(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；
(2)ƒ(x)＝|sin x|.
[解] (1)法一(定义法)：∵ƒ(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2π))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（x＋π）＋\f(π,3)))
＝ƒ(x＋π)，
即ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，
∴函数ƒ(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期T＝π.
法二(公式法)：∵y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，∴ω＝2.
又T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,2)＝π.
∴函数ƒ(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期T＝π.
(2)法一(定义法)：∵ƒ(x)＝|sin x|,
∴ƒ(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝ƒ(x)，
∴ƒ(x)的最小正周期为π.
法二(图象法)：∵函数y＝|sin x|的图象如图所示．
由图象可知最小正周期T＝π.
eq \a\vs4\al()
求三角函数的周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数；
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的函数，可利用T＝eq \f(2π,ω)来求；
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
角度二 正、余弦函数的奇偶性和周期性的综合
[例2] 定义在R上的函数ƒ(x)既是偶函数又是周期函数，若ƒ(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，ƒ(x)＝sin x，求ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值．
[解] ∵ƒ(x)的最小正周期是π，
∴ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))).
∵ƒ(x)是R上的偶函数，
∴ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
∴ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝eq \f(\r(3),2).
[母题探究]
1．(变条件)若例2中“偶”变“奇”其他条件不变，求ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值．
解：ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).
2．(变设问)若例2条件不变，求ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,6)))的值．
解：ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,6)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19π,6)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋\f(π,6)))
＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝sin eq \f(π,6)＝eq \f(1,2).
eq \a\vs4\al()
1．解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法：利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题．
2．推得函数周期的若干形式：
(1)若f(x＋t)＝f(x)，则函数周期为t；
(2)若f(x＋t)＝－f(x)，则函数周期为2t；
(3)若f(x＋t)＝eq \f(1,f（x）)，则函数周期为2t；
(4)若f(x＋t)＝－eq \f(1,f（x）)，则函数周期为2t.
[跟踪训练]
1．下列函数中是奇函数，且最小正周期为π的函数是( )
A．y＝cs|2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x)) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))
解析：选D y＝cs|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝cs 2x是偶函数，y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
2．函数ƒ(x)为偶函数且ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－ƒ(x)，ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1，则ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝________．
解析：∵ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝－ƒ(x)，∴ƒ(x＋π)＝ƒ(x)，即T＝π，ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝ƒeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝1.
答案：1
角度一 正、余弦函数值的大小比较
[例3] (链接教科书第177页例3)不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)sin 250°与sin 260°；(2)cseq \f(15π,8)与cseq \f(14π,9).
[解] (1)∵函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上单调递减，且90°<250°<260°<270°，
∴sin 250°>sin 260°.
(2)cseq \f(15π,8)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,8)))＝cseq \f(π,8)，
cseq \f(14π,9)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(4π,9)))＝cseq \f(4π,9).
∵函数y＝cs x在[0，π]上单调递减，
且0∴cseq \f(π,8)>cseq \f(4π,9)，∴cseq \f(15π,8)>cseq \f(14π,9).
eq \a\vs4\al()
比较正、余弦函数值大小的方法
(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；
(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．
角度二 求正、余弦函数的单调区间
[例4] (链接教科书第178页例4)求下列函数的单调区间：
(1)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))；
(2)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x)).
[解] (1)当2kπ－π≤eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，
故函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(8,3)π，4kπ－\f(2,3)π))(k∈Z)．
当2kπ≤eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)≤2kπ＋π，k∈Z时，函数单调递减，
故函数的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(2,3)π，4kπ＋\f(4,3)π))(k∈Z)．
(2)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))＝－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，
要求y＝－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的增区间即求y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的减区间，
即2kπ＋eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
所以kπ＋eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(7π,8)，k∈Z.
所以函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8)))(k∈Z)．
要求y＝－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的减区间即求y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的增区间，
即2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
所以kπ－eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(3π,8)，k∈Z.
所以函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的递减区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．
eq \a\vs4\al()
求解与正弦、余弦函数有关的单调区间的两个技巧
(1)数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；
(2)整体代换：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数．
[跟踪训练]
1．函数y＝|cs x|的一个单调减区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3,4)π))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π)) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))
解析：选C 函数y＝|cs x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs x，cs x≥0，,－cs x，cs x<0，))图象如图所示：
单调减区间有eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π))，…，故选C.
2．不通过求值，比较sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(37,6)π))与sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(49,3)π))的大小．
解：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(37,6)π))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(49,3)π))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16π＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)，
∵y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(37,6)π))[例5] (链接教科书第177页例2)(1)求函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))的值域；
(2)求函数y＝cs2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合．
[解] (1)∵－eq \f(π,6)∴－eq \f(1,2)∴函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))的值域为(－1，2)．
(2)y＝cs2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当sin x＝1，即x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，ymax＝4；
当sin x＝－1，即x＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z时，ymin＝－4.
∴ymax＝4，此时x的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝2kπ＋\f(π,2)))，k∈Z))；
ymin＝－4，此时x的取值集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x＝2kπ－\f(π,2)))，k∈Z)).
eq \a\vs4\al()
三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法
(1)形如y＝asin x(或y＝acs x)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论；
(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acs(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cs(ωx＋φ))的范围，最后求得最值；
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．
[跟踪训练]
求函数y＝cs2x－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的最值．
解：y＝cs2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(5,4).
因为－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，－eq \f(\r(2),2)≤sin x≤eq \f(\r(2),2)，
所以当x＝－eq \f(π,6)，即sin x＝－eq \f(1,2)时，函数取得最大值，ymax＝eq \f(5,4)；
当x＝eq \f(π,4)，即sin x＝eq \f(\r(2),2)时，函数取得最小值，ymin＝eq \f(1,2)－eq \f(\r(2),2).
正弦函数图象对称性问题的探究
1．下列图案中，哪些是轴对称图形？(①②⑤⑥⑦)哪些是中心对称图形？(③④⑥)有没有既是轴对称又是中心对称的图形？(⑥)
2．正弦函数的图象如下图，利用图象探索正弦函数图象的对称性．
[问题探究]
1．正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由．
提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，对称轴方程为x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.
2．正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由．
提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z.
3．画出函数y＝sin |x|的图象，并利用图象说明它的对称性．
提示：由图象可知，函数y＝sin |x|的图象是轴对称图形，对称轴为y轴，它不是中心对称图形．
[迁移应用]
1．求函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的对称轴方程及对称中心坐标．
解：由x－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝eq \f(5,6)π＋kπ，k∈Z.由x－eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，得x＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋kπ，0))，k∈Z.
2．如果函数y＝sin 2x＋acs 2x的图象关于直线x＝－eq \f(π,8)对称，那么a的值是多少？
解：∵函数的图象关于直线x＝－eq \f(π,8)对称，
∴f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))，
即sin 0＋acs 0＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＋acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))，∴a＝－1.
1．(多选)设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))，x∈R，则关于f(x)的说法正确的是( )
A．最小正周期为π B．最小正周期为eq \f(π,2)
C．奇函数 D．偶函数
解析：选AD f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝－cs 2x，因此f(x)是偶函数，且是最小正周期为eq \f(2π,2)＝π的周期函数，故选A、D.
2．已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，则φ的值可以是( )
A．0 B．－eq \f(π,4)
C.eq \f(π,2) D．π
解析：选B 法一：f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)＋φ))为奇函数，则只需eq \f(π,4)＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－eq \f(π,4)，k∈Z.显然当k＝0时，φ＝－eq \f(π,4)满足题意．
法二：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋φ))＝0，所以φ＋eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－eq \f(π,4)，k∈Z.令k＝0，则φ＝－eq \f(π,4).
3．函数y＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))在x＝________时，y取最大值．
解析：当函数取最大值时，eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)＝2kπ(k∈Z)，x＝4kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
答案：4kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
4．sineq \f(21π,5)________sineq \f(42,5)π(填“>”或“<”)．
解析：sineq \f(21,5)π＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(π,5)))＝sineq \f(π,5)，
sineq \f(42,5)π＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(2π,5)))＝sineq \f(2π,5).
因为y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
又0所以sineq \f(π,5)所以sineq \f(21π,5)答案：<
5．函数y＝1＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间是________．
解析：y＝1＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝1－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))).令u＝x－eq \f(π,6)，根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y＝sin u的单调递减区间．由eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得eq \f(2,3)π＋2kπ≤x≤eq \f(5,3)π＋2kπ(k∈Z)，故函数y＝1＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π＋2kπ，\f(5,3)π＋2kπ))(k∈Z)．
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)π＋2kπ，\f(5,3)π＋2kπ))(k∈Z) 函数
图象与性质
y＝sin x
y＝cs x
图象
定义域
eq \a\vs4\al(R)
eq \a\vs4\al(R)
值域
[－1，1]
[－1，1]
周期性
最小正周期为eq \a\vs4\al(2π)
最小正周期为eq \a\vs4\al(2π)
奇偶性
eq \a\vs4\al(奇)函数
eq \a\vs4\al(偶)函数
单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))
(k∈Z)上递增；
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
(k∈Z)上递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减
对称轴
x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)
最值
x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z时，ymin＝－1
x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1
正、余弦函数的周期性和奇偶性
正、余弦函数的单调性
正、余弦函数的最值(值域)