湘教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式章末检测含解析

章末检测(二)　一元二次函数、方程和不等式

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．不等式x2≥2x的解集是(　　)

A．{x|x≥2}　　　　　 B．{x|x≤2}

C．{x|0≤x≤2}  D．{x|x≤0或x≥2}

解析：选D　由x2≥2x得x(x－2)≥0，解得x≤0或x≥2，故选D.

2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是(　　)

A．A≤B  B．A≥B

C．A<B或A>B  D．A>B

解析：选B　∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝＋b2≥0，∴A≥B.

3．不等式组的解集为(　　)

A．{x|－1<x<1}  B．{x|0<x<3}

C．{x|0<x<1}  D．{x|－1<x<3}

解析：选C　由得所以0<x<1，即不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.

4．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是(　　)

A．{x|x<5a或x>－a}  B．{x|x>5a或x<－a}

C．{x|－a<x<5a}  D．{x|5a<x<－a}

解析：选A　方程x2－4ax－5a2＝0的两根为－a，5a.因为2a＋1<0，所以a<－，所以－a>5a.结合二次函数y＝x2－4ax－5a2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}，故选A.

5．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)

A．m≤－2或m≥2  B．－2≤m≤2

C．m<－2或m>2  D．－2<m<2

解析：选B　因为不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，所以Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.

6．某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P(单位：元/件)与月销售量x(单位：件)之间的关系为P＝160－2x，生产x件的成本(单位：元)R＝500＋30x.若每月获得的利润y(单位：元)不少于1 300元，则该厂的月销售量x的取值范围为(　　)

A．(20，45)  B．[20，45)

C．(20，45]  D．[20，45]

解析：选D　由题意，得y＝x(160－2x)－(500＋30x)，∴y＝－2x2＋130x－500，令y≥1 300，得－2x2＋130x－500≥1 300，∴x2－65x＋900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，∴20≤x≤45.

7．已知a，b，c∈R，则下列说法中错误的是(　　)

A．a>b⇒ac2≥bc2  B．>，c<0⇒a<b

C．a3>b3，ab>0⇒<  D．a2>b2，ab>0⇒<

解析：选D　对于A，c2≥0，则由a>b可得ac2≥bc2，故A中说法正确；

对于B，由>，得－＝>0，当c<0时，有a－b<0，则a<b，故B中说法正确；

对于C，∵a3>b3，ab>0，∴a3>b3两边同乘，得到>，∴<，故C中说法正确；

对于D，∵a2>b2，ab>0，∴a2>b2两边同乘，

得到>，不一定有<，故D中说法错误．故选D.

8．设正数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值是(　　)

A．0　　　 B．1　　　　

C.　　　 D．3

解析：选B　由题意得＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时，等号成立，此时z＝2y2.故＋－＝－＋＝－＋1≤1，当且仅当y＝1时，等号成立，故所求的最大值为1.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　)

A．a>0  B．b>0

C．c>0  D．a＋b＋c>0

解析：选BCD　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝2×＝－1<0，－＝2＋＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；因为＝－1，所以a＋c＝0，又b>0，所以a＋b＋c>0，故D正确．故选B、C、D.

10．下列结论中正确的有(　　)

A．若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2

B．若a，b，m为正实数，a<b，则<

C．若>，则a>b

D．当x>0时，x＋的最小值为2

解析：选ACD　对于A，∵a，b为正实数，a≠b，∴a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a－b)2(a＋b)>0，∴a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，a<b，则－＝>0，则>，故B错误；对于C，若>，则a>b，故C正确；对于D，当x>0时，x＋的最小值为2，当且仅当x＝时取等号，故D正确．故选A、C、D.

11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋3>0，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是(　　)

A．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|x>3}

B．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是R

C．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是∅

D．不等式ax2＋bx＋3>0的解集可以是{x|－1<x<3}

解析：选ABD　在A中，依题意得a＝0，得bx＋3>0，当x>3时，b>－>－1.即当b>－1时，x>3可使bx＋3>0成立，故A正确；在B中，取a＝1，b＝2，得x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2>0，解集为R，故B正确；在C中，当x＝0时，ax2＋bx＋3＝3>0，知其解集不为∅，当a<0时，Δ>0，知其解集也不为∅，故C错误；在D中，依题意得a<0，且解得符合题意，故D正确．

12．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是(　　)

A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}

B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}

C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}

D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}

解析：选BCD　在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B正确；在C中，由题意得解得0<m≤1，故C正确；在D中，由Δ＝(m－3)2－4m<0得1<m<9，又{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故D正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．若命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m＋2<0”为假命题，则m的取值范围是________．

解析：命题“∃x∈R，x2＋2mx＋m＋2<0”为假命题，

则命题“∀x∈R，使得x2＋2mx＋m＋2≥0”是真命题．

故4m2－4(m＋2)≤0，解得－1≤m≤2.

答案：{m|－1≤m≤2}

14．一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为{x|x<－3或x>1}，则a＋b＝________，一元一次不等式ax＋b<0的解集为________．

解析：由题意知，－3和1是方程x2＋ax＋b＝0的两根，

所以解得故a＋b＝－1.

不等式ax＋b<0即为2x－3<0，所以x<.

答案：－1　

15．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．

解析：原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，

即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，

因为x2－x－1＝－≥－，

所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.

所以a的最大值为.

答案：

16．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N＋)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________．

解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N＋)时，[x]＝n，所以[x]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x|2≤x<8}．

答案：{x|2≤x<8}

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题．请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，仿照下表再列出5个有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确.

解：答案不唯一，示例如下：

18.(本小题满分12分)已知a>0，b>0且＋＝1.

(1)求ab的最小值；

(2)求a＋b的最小值．

解：(1)因为a>0，b>0且＋＝1，

所以＋≥2 ＝2，则2≤1，

即ab≥8，当且仅当即时取等号，

所以ab的最小值是8.

(2)因为a>0，b>0且＋＝1，

所以a＋b＝(a＋b)

＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，

当且仅当即时取等号，

所以a＋b的最小值是3＋2.

19．(本小题满分12分)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

证明：因为a，b，c均为正数，

所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. ①

同理＋＋≥＋＋， ②

故a2＋b2＋c2＋

≥ab＋bc＋ac＋＋＋≥6. ③

所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，

当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．故当且仅当a＝b＝c＝时，原不等式等号成立．

20．(本小题满分12分)已知关于x的方程x2－2x＋a＝0.当a为何值时，

(1)方程的一个根大于1，另一个根小于1?

(2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3?

解：(1)已知方程的一个根大于1，另一个根小于1，结合二次函数y＝x2－2x＋a的图象(如图所示)知，当x＝1时，函数值小于0，即12－2＋a<0，所以a<1.

因此a的取值范围是{a|a<1}．

(2)由方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3，结合二次函数y＝x2－2x＋a的图象(如图所示)知，x取－1，3时函数值为正，x取1，2时函数值为负，

即解得－3<a<0.因此a的取值范围是{a|－3<a<0}．

21．(本小题满分12分)已知函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2.

(1)当a＝2时，解关于x的不等式y≤0；

(2)当a＞0，解关于x的不等式y≤0.

解：(1)当a＝2时，y＝2x2－5x＋2≤0，

可得(2x－1)(x－2)≤0，

∴≤x≤2，∴解集为.

(2)ax2－(2a＋1)x＋2≤0，即a(x－2)≤0.

①当0＜a＜时，有＞2，解得2≤x≤；

②当a＝时，有＝2，解得x＝2；

③当a＞时，有＜2，解得≤x≤2.

综上，当0＜a＜时，不等式的解集为；

当a＝时，不等式的解集为{x|x＝2}；

当a＞时，不等式的解集为.

22．(本小题满分12分)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了抓住冬奥会契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？

解：(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，

整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

(2)依题意得当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，

等价于当x＞25时，a≥＋＋有解．

由于＋≥2 ＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2.

故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．