人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教课课件ppt

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【情境探究】1.三角板的一条边所在直线与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗?提示:不一定平行.2.三角板的两条边所在直线分别与平面α平行,这个三角板所在平面与α平行吗?提示:平行.
3.如图,平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行?这两个平面平行吗? 提示:无数条,不平行.
4.观察长方体ABCD -A1B1C1D1的两个面:平面ABCD及平面A1B1C1D1. (1)平面A1B1C1D1中的直线与平面ABCD具有怎样的位置关系?提示:由于平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,所以平面A1B1C1D1内的直线都与平面ABCD无公共点,故平面A1B1C1D1中的直线都与平面ABCD平行.(2)若直线m⊂平面ABCD,直线n⊂平面A1B1C1D1,则直线m,n平行吗?提示:直线m,n平行或异面.
(3)在问题(2)中的直线m,n在什么条件下才是平行的?提示:当直线m,n共面时,两条直线才平行.
【知识生成】1.平面与平面平行的判定定理
2.平面与平面平行的性质定理
探究点一　平面与平面平行的判定定理【典例1】如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别是PA,BD,PD的中点. 求证:平面MNQ∥平面PBC.【思维导引】在平面MNQ中,找两条相交直线与平面PBC平行.
【证明】因为四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别是PA,BD,PD的中点,所以N是AC的中点,所以MN∥PC,又因为PC⊂平面PBC,MN⊄平面PBC,所以MN∥平面PBC.因为M,Q分别是PA,PD的中点,所以MQ∥AD∥BC,又因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,所以MQ∥平面PBC.因为MQ⊂平面MNQ,MN⊂平面MNQ,MQ∩MN=M,所以平面MNQ∥平面PBC.
【类题通法】证明平面与平面平行的思路及步骤　(1)证明两个平面平行,可以用定义,也可以用判定定理.但用定义证明时,需说明两个平面没有公共点,这一点也不容易做到(可用反证法).(2)用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:
【定向训练】1.如图所示,在三棱柱ABC -A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.
(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因为A1G?EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.
2.已知正方形ABCD与菱形ABEF所在平面相交,求证:平面BCE∥平面ADF.
【证明】因为四边形ABCD是正方形,所以BC∥AD.因为BC⊄平面ADF,AD⊂平面ADF,所以BC∥平面ADF.因为四边形ABEF是菱形,所以BE∥AF.因为BE⊄平面ADF,AF⊂平面ADF,所以BE∥平面ADF.因为BC∥平面ADF,BE∥平面ADF,BC∩BE=B,所以平面BCE∥平面ADF.
探究点二　平面与平面平行的性质定理【典例2】如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D. (1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.【思维导引】(1)由面面平行的性质定理直接推证.(2)先由平行线分线段成比例定理得对应线段成比例,再求值.
【解析】(1)因为PB∩PD=P,所以直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,所以AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD,所以 所以 所以CD= 所以PD=PC+CD=
【类题通法】　证明线线平行的方法(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.(3)线面平行的性质定理: 应用时题目条件中需有线面平行.(4)面面平行的性质定理: 应用时题目条件中需有面面平行或证得两平面平行.
【定向训练】1.在本例中,若点P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD的长.【解析】如图,因为PB∩PC=P, 所以PB,PC确定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.又α∥β,所以AC∥BD,所以△PAC∽△PBD, 即 所以PD= .所以CD=PC+PD=3+
2.平面α∥β∥γ,直线l1与α,β,γ依次交于A,B,C,直线l2与α,β,γ依次交于D,E,F,则 的关系是(　　)
【解析】选A.连接AF交β于G,连接AD,GE,BG,CF,因为β∥γ,平面ACF∩平面β=BG,平面ACF∩平面γ=CF,所以BG∥CF,所以 同理根据α∥β,可证
3.如图所示,四边形ABCD所在的平面与平面α平行,且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1(即图中的AA1∥BB1∥CC1∥DD1)是一个平行四边形.求证:四边形ABCD是平行四边形.
【证明】因为平面ABCD∥平面α,平面ABCD∩平面AA1B1B=AB,平面AA1B1B∩平面α=A1B1,所以AB∥A1B1;同理,C1D1∥CD.由于四边形A1B1C1D1是平行四边形,所以A1B1∥C1D1,从而AB∥CD.同理,BC∥AD,所以四边形ABCD是平行四边形.
探究点三　平面与平面平行的综合应用【典例3】在正方体ABCD -A1B1C1D1中,如图所示.(1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD;(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明A1E=EF=FC.【思维导引】证面面平行可用判定定理;在应用线面平行时,常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.
【解析】(1)因为在正方体ABCD -A1B1C1D1中,AD?B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D.又因为C1D⊂平面C1BD,AB1⊄平面C1BD.所以AB1∥平面C1BD.同理可证,B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1=B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图所示,连接A1C1,交B1D1于点O1; 连接AO1,与A1C交于点E.又因为AO1⊂平面AB1D1,所以点E也在平面AB1D1内,所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.连接AC,交BD于O;连接C1O,与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E=EF=FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F,在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,即A1E=EF;同理可证OF∥AE,所以F是CE的中点,即FC=EF,所以A1E=EF=FC.
【类题通法】　面面平行问题的两个注意点(1)一条直线平行于一个平面,推不出这条直线与平面内的所有直线平行,但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行.(2)两个平面平行,其中一个平面内的直线必定平行于另一平面,但这两个平面内的直线不一定相互平行,也有可能异面.
【定向训练】1.如图所示,在三棱柱ABC -A1B1C1中,D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使DE∥平面AB1C1,若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
【解析】当E是AB的中点时,DE∥平面AB1C1.证明如下:取AC中点F,连接EF,DF,DE,因为D是CC1的中点,所以在△ACC1中DF∥AC1,又DF⊄平面AB1C1,AC1⊂平面AB1C1,所以DF∥平面AB1C1,因为E是AB的中点,所以在△ABC中,EF∥BC,又因为BC∥B1C1,所以EF∥B1C1,又因为EF⊄平面AB1C1,B1C1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1,
DF∩EF=F,且DF,EF⊂平面DEF,所以平面DEF∥平面AB1C1,又因为DE⊂平面DEF,所以DE∥平面AB1C1,即当E是AB的中点时,DE∥平面AB1C1.
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,F,G分别为线段BC,PB,AD的中点. (1)求证:EF∥平面PAC;(2)求证:平面PCG∥平面AEF;(3)在线段BD上找一点H,使得FH∥平面PCG,并说明理由.
【解析】(1)因为E,F分别是BC,BP的中点,所以EF? PC,因为PC⊂平面PAC,EF⊄平面PAC,所以EF∥平面PAC.(2)因为E,G分别是BC,AD中点,所以AE∥CG,因为AE⊄平面PCG,CG⊂平面PCG,所以AE∥平面PCG,又因为EF∥PC,PC⊂平面PCG,EF⊄平面PCG,所以EF∥平面PCG,AE∩EF=E,AE,EF⊂平面AEF,所以平面AEF∥平面PCG.
(3)设AE与BD交于M点,由(2)知,平面PCG∥平面AEF.因为点F,M在平面AEF上,连接FM,则FM⊂平面AEF,且FM⊄平面PCG.所以FM∥平面PCG,即M点为所找的H点.
1.在长方体ABCD -A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是(　　)A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形
【解析】选C.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,知BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.
2.下列命题正确的有(　　)①如果两个平面不相交,那么它们平行;②如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行;③空间两个相等的角所在的平面平行.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选B.对①,由两个平面平行的定义知正确;对②,若这无数条直线都平行,则这两个平面可能相交,②错误;对③,这两个角可能在同一平面内,故③错误.