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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课文课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课文课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了必备知识生成，任意一条直线，两条相交直线，a∩b，直线PA，∠PAO，关键能力探究，课堂小结，课堂素养达标等内容，欢迎下载使用。
【情境探究】1.观察图中书脊所在直线与桌面的位置关系. 问:书脊所在直线与桌面的位置关系是什么?提示:垂直.
2.如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c,…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗?为什么? 提示:不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c,…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c,…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交或平行.
3.请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).(1)问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直? 提示:从试验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上,折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直.
(2)由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,你能得到什么结论?提示:若一条直线与平面内两条相交直线垂直,则该直线垂直这个平面.
4.直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?提示:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角α的范围是0°≤α≤90°.
【知识生成】1.直线与平面垂直的定义
2.直线与平面垂直的判定定理
3.直线与平面所成的角
探究点一 直线与平面垂直的定义及应用【典例1】(1)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边. A.①③B.②C.②④D.①②④
(2)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥m,m⊂α,则l∥α
【思维导引】根据线面平行、垂直的定义来判定.
【解析】(1)选A.因为三角形的任意两边是相交的,所以①可以保证线面垂直.因为梯形的上下两边是平行的,此时不相交,所以②不一定能保证线面垂直. 因为圆的任意两条直径必相交,所以③可以保证线面垂直.若直线垂直于正六边形的两条对边,此时两条对边是平行的,所以④不一定能保证线面垂直.(2)选B.对于A,由l⊥m及m⊂α可知,l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种,故A错误;B正确;对于C,l与m可能平行或异面,故C错误;对于D,有可能l⊂α,故D错误.
【类题通法】直线与平面垂直的定义的“双向”作用 (1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,该直线与已知平面垂直.即线线垂直⇒线面垂直.(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直⇒线线垂直.
【定向训练】 如果直线l与平面α不垂直,那么在平面α内( )A.不存在与l垂直的直线B.存在一条与l垂直的直线C.存在无数条与l垂直的直线D.任一条都与l垂直【解析】选C.平面α内与l在α内的射影垂直的直线,垂直于直线l,这样的直线有无数条,故A,B不正确,C正确;若在平面α内,任一条都与l垂直,则直线l与平面α垂直,与题设矛盾,故D不正确.
探究点二 线面垂直判定定理的应用【典例2】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC. (1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
【思维导引】题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等,AB⊥BC,D是AC的中点,要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直,故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系,要证(2),需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直,而(1)的结论可利用.
【证明】(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中,有AD=DC=DB,所以△SDB≌△SDA,所以∠SDB=∠SDA=90°,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD,且AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.
【类题通法】证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直①定义法(不常用).②判定定理最常用(有时作辅助线).(2)平行转化法(利用推论)①a∥b,a⊥α⇒b⊥α.②α∥β,a⊥α⇒a⊥β.
【定向训练】1.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证AD⊥平面SBC.【证明】因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.因为AD⊂平面SAC,所以BC⊥AD.又SC⊥AD,SC∩BC=C,所以AD⊥平面SBC.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD.
【证明】(1)连接AC交BD于点O.连接EO,因为底面ABCD是正方形,所以点O是AC的中点.在△PAC中,因为E为PC的中点,所以EO是中位线,所以PA∥EO.而EO⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB.所以PA∥平面EDB.
(2)因为PD⊥底面ABCD,且DC⊂底面ABCD,所以PD⊥DC.因为PD=DC,所以△PDC是等腰直角三角形,因为DE是斜边PC的中线,所以DE⊥PC.同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.因为底面ABCD是正方形,所以DC⊥BC,因为PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.因为PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以DE⊥PB.又EF⊥PB,且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD.
探究点三 直线与平面所成的角【典例3】在正方体ABCD -A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角. 【思维导引】找出直线在平面内的射影,即得所求角.
【解析】(1)连接AC,因为直线A1A⊥平面ABCD,所以∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,设A1A=1,则AC= ,所以tan∠A1CA= .
(2)连接A1C1交B1D1于O,连接BO,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,因为BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1,又BB1∩B1D1=B1,所以A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为O.所以∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,在Rt△A1BO中,A1O= A1C1= A1B,所以∠A1BO=30°,即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
【类题通法】求直线与平面所成角的步骤 (1)作图.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角或直角).(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【定向训练】1.(2019·天津高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3,(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD.(2)求证:PA⊥平面PCD.(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.
【解题指南】(1)连接BD,结合平行四边形的性质,以及三角形中位线的性质,得到GH∥PD,利用线面平行的判定定理证得结果.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN⊥PA,利用线面垂直的判定定理证得结果.(3)利用线面角的定义得到∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角,放在直角三角形中求得结果.
【解析】(1)连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH,又由BG=PG,故GH∥PD,又因为GH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,故DN⊥PA,又因为PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.
(3)连接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN= ,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin∠DAN= 所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 .
2.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,求侧棱与底面所成角的余弦值.【解析】如图,设正三棱锥的底面边长为a,则侧棱长为2a.设O为底面中心,则∠SAO为SA与平面ABC所成的角.在Rt△SOA中,因为AO= 所以cs∠SAO= 即侧棱与底面所成角的余弦值为 .
3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为棱AB的中点,求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值.
【解析】连接AC交BD于点O,过E作EO1∥AC交BD于点O1,易证AC⊥平面BB1D1D,所以EO1⊥平面BB1D1D,所以B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影,所以∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,因为E是AB的中点,EO1∥AC,所以O1是BO的中点,所以EO1= 所以tan∠EB1O1=
【补偿训练】 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,∠PDA=30°,O,E,F分别是AC,AB,PC的中点.(1)证明:平面EFO∥平面PAD.(2)证明:FO⊥平面ABCD.(3)求EF与平面ABCD所成角的大小.
【解题指南】(1)要证面面平行,可先证线面平行,也可证一个平面内有两条相交直线与另一平面的两条直线分别平行,题中利用中位线定理可得线线平行,从而证得面面平行.(2)由(1)得FO∥PA,再结合PA⊥平面ABCD,可得.(3)由线面所成角的定义知∠FEO为所求角,解三角形可得.
【解析】(1)在△PAC中,因为F,O分别为PC,AC的中点,所以FO∥PA,在△ABC中,因为E,O分别为AB,AC的中点,所以EO∥BC,又BC∥AD,所以EO∥AD,又因为EO∩FO=O,所以平面EFO∥平面PAD.(2)因为PA⊥平面ABCD,又由(1)知PA∥FO,因此FO⊥平面ABCD.(3)因为FO⊥平面ABCD,所以∠FEO即为EF与平面ABCD所成的角,又FO= PA,EO= AD,所以∠FEO=∠PDA=30°,即EF与平面ABCD所成角的大小为30°.
1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( ) A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC【解析】选C.由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.
2.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为( ) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【解析】选B.易证AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC为直角三角形.
3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA= ,则PC与平面ABCD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°
【解析】选C.如图,连接AC.因为PA⊥平面ABCD,所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.因为AC= ,所以tan∠PCA= 所以∠PCA=60°.
【情境探究】1.观察图中书脊所在直线与桌面的位置关系. 问:书脊所在直线与桌面的位置关系是什么?提示:垂直.
2.如图,直线l与平面α内的无数条直线a,b,c,…都垂直,直线l与平面α一定垂直吗?为什么? 提示:不一定.当平面α内的无数条直线a,b,c,…都互相平行时,直线l在保证与直线a,b,c,…都垂直的条件下,与平面α可能垂直也可能斜交或平行.
3.请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).(1)问:折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直? 提示:从试验可知:当AD与BC不垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上,折痕AD与桌面不垂直;当AD与BC垂直时,翻折后的纸片竖起放置在桌面上折痕AD与桌面垂直.
(2)由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即AD⊥CD,AD⊥BD,你能得到什么结论?提示:若一条直线与平面内两条相交直线垂直,则该直线垂直这个平面.
4.直线与平面所成的角θ的取值范围是什么?提示:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角α的范围是0°≤α≤90°.
【知识生成】1.直线与平面垂直的定义
2.直线与平面垂直的判定定理
3.直线与平面所成的角
探究点一 直线与平面垂直的定义及应用【典例1】(1)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边. A.①③B.②C.②④D.①②④
(2)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB.若l⊥α,l∥m,则m⊥αC.若l∥α,m⊂α,则l∥mD.若l∥m,m⊂α,则l∥α
【思维导引】根据线面平行、垂直的定义来判定.
【解析】(1)选A.因为三角形的任意两边是相交的,所以①可以保证线面垂直.因为梯形的上下两边是平行的,此时不相交,所以②不一定能保证线面垂直. 因为圆的任意两条直径必相交,所以③可以保证线面垂直.若直线垂直于正六边形的两条对边,此时两条对边是平行的,所以④不一定能保证线面垂直.(2)选B.对于A,由l⊥m及m⊂α可知,l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种,故A错误;B正确;对于C,l与m可能平行或异面,故C错误;对于D,有可能l⊂α,故D错误.
【类题通法】直线与平面垂直的定义的“双向”作用 (1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,该直线与已知平面垂直.即线线垂直⇒线面垂直.(2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直⇒线线垂直.
【定向训练】 如果直线l与平面α不垂直,那么在平面α内( )A.不存在与l垂直的直线B.存在一条与l垂直的直线C.存在无数条与l垂直的直线D.任一条都与l垂直【解析】选C.平面α内与l在α内的射影垂直的直线,垂直于直线l,这样的直线有无数条,故A,B不正确,C正确;若在平面α内,任一条都与l垂直,则直线l与平面α垂直,与题设矛盾,故D不正确.
探究点二 线面垂直判定定理的应用【典例2】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC. (1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
【思维导引】题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等,AB⊥BC,D是AC的中点,要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直,故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系,要证(2),需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直,而(1)的结论可利用.
【证明】(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中,有AD=DC=DB,所以△SDB≌△SDA,所以∠SDB=∠SDA=90°,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD,且AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.
【类题通法】证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直①定义法(不常用).②判定定理最常用(有时作辅助线).(2)平行转化法(利用推论)①a∥b,a⊥α⇒b⊥α.②α∥β,a⊥α⇒a⊥β.
【定向训练】1.如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证AD⊥平面SBC.【证明】因为∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又SA⊥平面ABC,所以SA⊥BC.又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC.因为AD⊂平面SAC,所以BC⊥AD.又SC⊥AD,SC∩BC=C,所以AD⊥平面SBC.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD.
【证明】(1)连接AC交BD于点O.连接EO,因为底面ABCD是正方形,所以点O是AC的中点.在△PAC中,因为E为PC的中点,所以EO是中位线,所以PA∥EO.而EO⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB.所以PA∥平面EDB.
(2)因为PD⊥底面ABCD,且DC⊂底面ABCD,所以PD⊥DC.因为PD=DC,所以△PDC是等腰直角三角形,因为DE是斜边PC的中线,所以DE⊥PC.同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.因为底面ABCD是正方形,所以DC⊥BC,因为PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.因为PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,所以DE⊥PB.又EF⊥PB,且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD.
探究点三 直线与平面所成的角【典例3】在正方体ABCD -A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角. 【思维导引】找出直线在平面内的射影,即得所求角.
【解析】(1)连接AC,因为直线A1A⊥平面ABCD,所以∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,设A1A=1,则AC= ,所以tan∠A1CA= .
(2)连接A1C1交B1D1于O,连接BO,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,因为BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,所以BB1⊥A1C1,又BB1∩B1D1=B1,所以A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为O.所以∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,在Rt△A1BO中,A1O= A1C1= A1B,所以∠A1BO=30°,即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
【类题通法】求直线与平面所成角的步骤 (1)作图.作(或找)出斜线在平面上的射影,将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角或直角).(2)证明.证明找出的平面角是斜线与平面所成的角.(3)计算.通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【定向训练】1.(2019·天津高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3,(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD.(2)求证:PA⊥平面PCD.(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.
【解题指南】(1)连接BD,结合平行四边形的性质,以及三角形中位线的性质,得到GH∥PD,利用线面平行的判定定理证得结果.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到DN⊥PA,利用线面垂直的判定定理证得结果.(3)利用线面角的定义得到∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角,放在直角三角形中求得结果.
【解析】(1)连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH,又由BG=PG,故GH∥PD,又因为GH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA⊂平面PAC,故DN⊥PA,又因为PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.
(3)连接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为△PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN= ,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin∠DAN= 所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 .
2.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,求侧棱与底面所成角的余弦值.【解析】如图,设正三棱锥的底面边长为a,则侧棱长为2a.设O为底面中心,则∠SAO为SA与平面ABC所成的角.在Rt△SOA中,因为AO= 所以cs∠SAO= 即侧棱与底面所成角的余弦值为 .
3.正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为棱AB的中点,求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值.
【解析】连接AC交BD于点O,过E作EO1∥AC交BD于点O1,易证AC⊥平面BB1D1D,所以EO1⊥平面BB1D1D,所以B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影,所以∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,因为E是AB的中点,EO1∥AC,所以O1是BO的中点,所以EO1= 所以tan∠EB1O1=
【补偿训练】 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA⊥平面ABCD,∠PDA=30°,O,E,F分别是AC,AB,PC的中点.(1)证明:平面EFO∥平面PAD.(2)证明:FO⊥平面ABCD.(3)求EF与平面ABCD所成角的大小.
【解题指南】(1)要证面面平行,可先证线面平行,也可证一个平面内有两条相交直线与另一平面的两条直线分别平行,题中利用中位线定理可得线线平行,从而证得面面平行.(2)由(1)得FO∥PA,再结合PA⊥平面ABCD,可得.(3)由线面所成角的定义知∠FEO为所求角,解三角形可得.
【解析】(1)在△PAC中,因为F,O分别为PC,AC的中点,所以FO∥PA,在△ABC中,因为E,O分别为AB,AC的中点,所以EO∥BC,又BC∥AD,所以EO∥AD,又因为EO∩FO=O,所以平面EFO∥平面PAD.(2)因为PA⊥平面ABCD,又由(1)知PA∥FO,因此FO⊥平面ABCD.(3)因为FO⊥平面ABCD,所以∠FEO即为EF与平面ABCD所成的角,又FO= PA,EO= AD,所以∠FEO=∠PDA=30°,即EF与平面ABCD所成角的大小为30°.
1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于( ) A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC【解析】选C.由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.
2.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为( ) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【解析】选B.易证AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,所以△ABC为直角三角形.
3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA= ,则PC与平面ABCD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°
【解析】选C.如图,连接AC.因为PA⊥平面ABCD,所以∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.因为AC= ,所以tan∠PCA= 所以∠PCA=60°.
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