高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算多媒体教学ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算多媒体教学ppt课件，共35页。PPT课件主要包含了必备知识生成，a2+b2，a2-b2+2abi，z2z1，z1z2z3，关键能力探究，方法二，课堂素养达标等内容，欢迎下载使用。

【情境探究】1.回顾二项式乘法运算,类比复数的乘法运算:(1)设复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,则z1z2= _________________.(2)z1 =_____.(3) =__________.
(ac-bd)+(ad+bc)i
2.复数的除法运算与乘法运算有什么联系?怎样由复数的乘法运算进行复数的除法运算?提示:复数的除法运算与乘法运算互为逆运算,可以由复数的乘法运算法则得到除法运算法则,即 =z⇔z1=zz2.设复数a+bi除以非零复数c+di的商为x+yi,即x+yi= ,等价于(x+yi)(c+di)=a+bi,通过相等复数解方程可得,即(xc-yd)+(xd+yc)i=a+bi,所以 消去y,解得x= ，同理消去x,解得y= .所以 = + i(c+di≠0).
【知识生成】1.复数代数形式的乘法法则已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________.2.复数乘法的运算律
3.复数的除法运算(分母实数化) = = + i(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
探究点一　复数的乘法运算【典例1】1.(2020·江苏高考)已知i是虚数单位,则复数z= 的实部是________. 2.计算:(1+2i)(2-i)2(1-2i).【思维导引】1.利用复数的乘法运算结果判断.2.利用复数的乘法运算法则进行计算.
【解析】1.z= =3+i,则实部为3.答案:32.(1+2i)(2-i)2(1-2i)=[(1+2i)(1-2i)](2-i)2=5×(3-4i)=15-20i.
【类题通法】复数乘法运算的注意事项(1)复数的乘法运算与二项式乘二项式类似,展开后化简即可,注意i2=-1的应用.(2)多个复数的乘法运算,可以利用加法交换律和结合律进行简便运算,注意两个共轭复数的积是实数.提醒:灵活运用“平方差公式”“完全平方公式”解析复数乘法计算.复数的减法不满足交换律和结合律.
1.复数z=(1+bi)(2+i)是纯虚数,则实数b=(　　)A.-2　　　B.- 　　　C. 　　　D.2【解析】选D.复数z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,则实数b=2.
2.计算:【解析】方法一:
探究点二　复数的除法运算【典例2】1.(2019·全国卷Ⅰ)设z= ,则|z|=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.2B. C. D.12.计算:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)].【思维导引】1.通过复数的除法运算化简结果再计算复数的模.2.先对括号内的复数进行计算,再进行复数乘法运算.
【解析】1.选C.因为z=所以z= = - i,所以|z|= 故选C.
2.方法一:因为所以所以(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷=(1+i)÷ = = =2-i. 方法二:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷ =(1+i)× =2-i.
【类题通法】复数除法运算的注意事项(1)将复数的除法运算转化为“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共轭复数”计算.(2)多个复数的除法运算,有括号先算括号内的,没有括号按照从左向右的顺序进行计算.提醒:复数的除法运算不满足交换律和结合律.
【定向训练】1.(2020·新高考全国Ⅰ卷) =(　　)A.1　B.-1　C.i　D.-i【解析】选D.
2.(2020·全国Ⅲ卷)复数 的虚部是(　　)【解析】选D.因为 所以复数 的虚部为
探究点三　复数乘方运算以及周期性【典例3】计算i+i2+i3+…+i2 020=________. 【思维导引】计算in,n∈N*的值,明确周期性计算.
【解析】计算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,…所以i+i2+i3+…+i2 020=505×0=0.答案:0
【类题通法】in(n∈N*)的周期性计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方,in有如下性质:i1=i,i2=-1,i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,从而对于任何n∈N*,有i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=i,同理可证i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,这就是说,如果n∈N*,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.
注意:(1)上述公式中,说明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4.(2)n可推广到整数集.(3)4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期.显然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).因为in(n∈N*)具有周期性,解题时要灵活运用,或适当变形,创造条件转化为i的计算.一般地,有(1±i)2=±2i, =i, =-i.
【定向训练】已知w= 求证:w3=-1.【证明】方法一:由w=得w2= =所以w3=w2w= =- - =-1.
方法二:由于w= 要证w3=-1,只需证w3+1=0,即证(w+1)(w2-w+1)=0,即证w2-w+1=0,即证w2-w=w(w-1)=-1,因为w(w-1)= = i2 - =-1,所以得证.
探究点四　实系数一元二次方程的求根公式【典例4】已知关于x的方程 其中a、b为实数.(1)若x=1- i是该方程的根,求a、b的值;(2)当a>0且 时,证明该方程没有实数根.【思维导引】(1)将x=1- i代入方程,利用复数相等的充要条件求解.(2)将方程转化为有理式,用判别式判断.
【解析】(1)将 代入 化简得 所以 解得a=b=2. (2)原方程化为x2-ax+ab=0,假设原方程有实数解,那么Δ=(-a)2-4ab≥0,即a2≥4ab.因为a>0,所以 ≤ ,这与题设 > 相矛盾.故原方程无实数根.
【类题通法】实系数一元二次方程的求根公式(1)对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,a≠0,Δ=b2-4ac,①当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x1,2= ,若这两个根为二次根式,二者互为有理化因式(也叫共轭根式);②当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x1,2=- ;③当Δ<0时,方程有两个不相等的虚数根x1,2= ,这两个虚根互为共轭虚数.
(2)对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,设其两个复数根分别为x1,x2,根与系数的关系(即韦达定理)仍然成立:x1+x2=- ,x1x2= .
【定向训练】1.解方程x2+2x+3=0.【解析】由方程x2+2x+3=0,得Δ=b2-4ac=-8,所以方程的两根为x1,2= =-1± i.
2.已知一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R且a≠0的一个根是1+2i,求a的值以及另一个根.【解析】方法一:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,则(1+2i)2-a(1+2i)+2a+1=0,得(a-2)+(4-2a)i=0,所以a=2.方程为x2-2x+5=0,Δ=b2-4ac=-16,所以方程的两根为x1,2= =1±2i,所以方程另一个根为1-2i.方法二:因为一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一个根是1+2i,则另一个根为1-2i,由根与系数的关系,得x1+x2=a,即a=2.
1. 复数的乘法运算 2. 复数乘法的运算律3. 复数的除法法则
1. 复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项 式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.2.根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.
与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,根与系数的关系仍适用,但判别式“Δ”不再适用.
1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.
1.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则 =(　　)A.2-3i　 　　B.2+3i　 　　C.3+2i　　 　D.3-2i【解析】选A.因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以 =2-3i.
2.在复平面内与复数z= 所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A对应的复数为(　　)A.1+2iB.1-2iC.-2+iD.2+i【解析】选C.复数z= =i(1-2i)=2+i,z对应的点的坐标是(2,1),该点关于虚轴对称的点A(-2,1)对应的复数为-2+i.
3.设复数z(2-3i)=6+4i(其中i是虚数单位),则z的模为________. 【解析】由z(2-3i)=6+4i,得 所以|z|=2.答案:2