2021学年第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示当堂检测题

这是一份2021学年第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示当堂检测题，共6页。

一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知向量a＝(1，2)，a＋b＝(3，2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1，2) C．(5，6) D．(2，0)
【解析】选D.b＝(3，2)－a＝(3，2)－(1，2)
＝(2，0).
2．已知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(－2，4)，则下面说法正确的是( )
A．A点的坐标是(－2，4)
B．B点的坐标是(－2，4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2，4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2，4)
【解析】选D.由任一向量的坐标的定义可知．当A点是原点时，B点的坐标是(－2，4).故D项说法正确．
3．(2021·淮安高一检测)已知点A(1，0)，B(3，2)，向量 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(2，1)，则向量 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝( )
A．(0，－1) B．(1，－1)
C．(1，0) D．(－1，0)
【解析】选A. eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，2)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(2，1)；
所以 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(0，－1).
【加固训练】
在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，4)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1，3)，则 eq \(DA,\s\up6(→)) ＝( )
A．(2，4) B．(3，5)
C．(1，1) D．(－1，－1)
【解析】选C. eq \(DA,\s\up6(→)) ＝－ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝－ eq \(BC,\s\up6(→))
＝－( eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) )＝(1，1).
4．(2021·开封高一检测)已知M(3，－2)，N(5，－1)，若 eq \(NP,\s\up6(→)) ＝ eq \(MN,\s\up6(→)) ，则P点的坐标为( )
A．(3，2) B．(3，－1) C．(7，0) D．(1，0)
【解析】选C.设点P的坐标为(x，y)，则 eq \(NP,\s\up6(→)) ＝(x－5，y＋1)， eq \(MN,\s\up6(→)) ＝(5－3，－1＋2)＝(2，1)，
由 eq \(NP,\s\up6(→)) ＝ eq \(MN,\s\up6(→)) ，所以(x－5，y＋1)＝(2，1)，解得x＝7，y＝0；所以点P(7，0).
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·长沙高一检测)如图所示，在平面直角坐标系中， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝(2，－3)，则点D的坐标为________．
【解析】设点D的坐标为(x，y)，
则 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \(OD,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) ＝(x－2，y－4)＝(2，－3)，
即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＝2,y－4＝－3)) ，解得x＝4，y＝1；
所以点D的坐标为(4，1).
答案：(4，1)
6．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与 eq \(AB,\s\up6(→)) 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x＝________．
【解析】易得 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，0)，
由a＝(x＋3，x2－3x－4)与 eq \(AB,\s\up6(→)) 相等得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3＝2，,x2－3x－4＝0，)) 解得x＝－1.
答案：－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量 eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(AC,\s\up6(→)) ， eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(BD,\s\up6(→)) 的坐标．
【解析】正三角形ABC的边长为2，
则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cs 60°，2sin 60°)，
所以C(1， eq \r(3) )，D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) ，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，0)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(1， eq \r(3) )，
eq \(BC,\s\up6(→)) ＝(1－2， eq \r(3) －0)＝(－1， eq \r(3) )，
eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－2，\f(\r(3),2)－0)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2))) .
8．已知点A(λ，3)，B(5，2λ)(λ∈R)，C(4，5).若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ，试求λ为何值时：
(1)点P在一、三象限角平分线上；
(2)点P在第一象限内．
【解析】设点P的坐标为(x，y)，
则 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)，
又因为 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(5，2λ)－(λ，3)＝(5－λ，2λ－3)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)，
所以 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(5－λ，2λ－3)＋(4－λ，2)＝(9－2λ，2λ－1)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－λ＝9－2λ，,y－3＝2λ－1.)) 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9－λ，,y＝2λ＋2.))
(1)若P在一、三象限角平分线上，
则9－λ＝2λ＋2，所以λ＝ eq \f(7,3) .
(2)若P在第一象限内，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9－λ>0，,2λ＋2>0.))
所以－1<λ<9.
所以λ＝ eq \f(7,3) 时，点P在一、三象限角平分线上；－1<λ<9时，点P在第一象限内．
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知i，j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设 eq \(OA,\s\up6(→)) ＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】选D.因为x2＋x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(3,4) >0，－(x2－x＋1)＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2) － eq \f(3,4) <0，所以点A位于第四象限．
2．(多选题)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任意一向量a，下列结论中正确的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a的起点坐标是(1，1)，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x－1，y－1)
【解析】选AD.由平面向量基本定理知A正确；若a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；根据向量坐标的计算方法可知D正确．
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知点A(3，－4)与B(－1，2)，点P在直线AB上，且| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝| eq \(PB,\s\up6(→)) |，则点P的坐标为________．
【解析】设P点坐标为(x，y)，因为P在直线AB上，且| eq \(AP,\s\up6(→)) |＝| eq \(PB,\s\up6(→)) |.
所以P是线段AB的中点， eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(PB,\s\up6(→)) .
所以(x－3，y＋4)＝(－1－x，2－y)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3＝－1－x，,y＋4＝2－y，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝－1)) .
所以P点坐标为(1，－1).
答案：(1，－1)
4．已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是________．
【解析】当ABCD为平行四边形时，则 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞).
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°， eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量 eq \(BA,\s\up6(→)) 的坐标；
(3)求点B的坐标．
【解析】 (1)作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA cs 45°＝4× eq \f(\r(2),2) ＝2 eq \r(2) ，
AM＝OA sin 45°＝4× eq \f(\r(2),2)
＝2 eq \r(2) .
所以A(2 eq \r(2) ，2 eq \r(2) )，故a＝(2 eq \r(2) ，2 eq \r(2) ).
因为∠AOC＝180°－105°＝75°，
所以∠COx＝120°.
又OC＝AB＝3，所以C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) ，
所以 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) ，
即b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) .
(2) eq \(BA,\s\up6(→)) ＝－ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))) .
(3) eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2 eq \r(2) ，2 eq \r(2) )＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2))) ，
故点B的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2))) .
6．已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y，2y－x)的对应关系可以用v＝f(u)表示．
(1)若a＝(1，1)，b＝(1，0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标；
(2)求使f(c)＝(4，5)的向量c的坐标．
【解析】(1)由v＝f(u)可得，
当u＝(x，y)时，有v＝(y，2y－x)＝f(u)，
从而f(a)＝(1，2×1－1)＝(1，1)，
f(b)＝(0，2×0－1)＝(0，－1).
(2)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y，2y－x)＝(4，5)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝4，,2y－x＝5，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝4，)) 即c＝(3，4).