人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.2 直线的方程第一课时导学案

直线的方程

第一课时　直线的点斜式方程与斜截式方程

斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．

[问题]　(1)已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？

(2)若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件？

知识点一　直线的方程与方程的直线

如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，记作l：F(x，y)＝0.

　判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)点(3，2)在直线y－2＝(x－1)上．(　　)

(2)若方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则直线l为方程F(x，y)＝0的直线．(　　)

答案：(1)×　(2)×

知识点二　直线方程的点斜式、斜截式

1．经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：

(1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)；

(2)斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0.

2．直线的斜截式y＝kx＋b是直线的点斜式y－y0＝k(x－x0)的特例．

3．截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．

1．若直线的倾斜角为0°，且经过点P(x0，y0)，能用点斜式表示吗？

提示：能．

2．直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？

提示：斜率存在及已知点(或直线在y轴上的截距).

1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)

A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1

B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1

C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1

D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1

答案：C

2．经过点(－1，1)，倾斜角为150°的直线方程为________．

答案：y－1＝－(x＋1)

[例1]　(链接教科书第80页例1)若直线l过点(2，1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：

(1)斜率k＝－3；

(2)倾斜角为150°；

(3)平行于x轴．

[解]　(1)直线l的点斜式方程为y－1＝－3(x－2).

化简得y＝－3x＋7.

(2)直线的斜率为k＝tan 150°＝－，

所以由点斜式方程得y－1＝－(x－2)，

化简得y＝－x＋＋1.

(3)平行于x轴的直线的斜率k＝0，

故所求的直线方程为y＝1.

求直线的点斜式方程的步骤

(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)；

(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．　

[跟踪训练]

1．过点(－1，2)，且倾斜角为60°的点斜式方程为________．

解析：直线的斜率k＝tan 60°＝，

由直线的点斜式方程得y－2＝(x＋1).

答案：y－2＝(x＋1)

2．求过点A(3，3)且与直线l：y＝x－倾斜角相等的点斜式方程．

解：因为两直线的倾斜角相等，知斜率也相等，

由直线l：y＝x－，得该直线的斜率k＝.

故所求直线的点斜式方程为y－3＝(x－3).

[例2]　(链接教科书第85页练习A4题)根据条件写出下列直线的斜截式方程：

(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；

(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；

(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.

[解]　(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.

(2)由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.

(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.

直线的斜截式方程的求解策略

(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；

(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决一次函数的图像问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.　

[跟踪训练]

求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且在y轴上的截距是－5的直线方程．

解：∵直线y＝－x＋1的斜率k＝－，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝.

∵所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，

∴所求直线的方程为y＝x－5.

1．若直线l的倾斜角为45°，且经过点(2，0)，则直线l的方程是(　　)

A．y＝x＋2　　　　　　  B．y＝x－2

C．y＝x－     D．y＝x－2

解析：选B　由题得直线l的斜率等于tan 45°＝1，由点斜式求得直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2.故选B.

2．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4斜率相等的直线的斜截式方程为________．

答案：y＝－3x＋2

3．写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点(1，1)?

解：由直线的斜截式方程得直线方程为y＝2x＋m.

∵直线过点(1，1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，1＝2×1＋m，

∴m＝－1即为所求．