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    新人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语1集合的概念学案

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    高中1.1 集合的概念学案设计

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    这是一份高中1.1 集合的概念学案设计,共9页。
    集合的概念[课程目标] 1.通过实例了解集合的含义体会元素与集合的“属于”关系;2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性掌握常用数集及其专用符号;3.能够选择适当的方法表示集合. 知识点一 集合的定义及元素的特征1.集合与元素的概念:一般地我们把研究对象统称为__元素__把一些元素__成的总体__叫做集合简称为____.2.符号表示:集合常用大写字母ABC表示元素常用小写字母abc表示.a属于集合A记作__a∈A__aA的意义是__元素a不属于集合A__.3.常用数集及其记法:自然数集记作__N__;正整数集记作__N*__或__N__;整数集记作__Z__;有理数集记作__Q__;实数集记作__R__4.集合中元素的三个特性为__确定性__、__互异性__、__无序性__[研读](1)“集合”是一个原始的不加定义的概念它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明.(2)集合是一个整体暗含“所有”“全部”“全体”的含义因此一些对象一旦组成了集合这个集合就是这些对象的总体.(3)组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程也可以是人或物等. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)平面上到点O的距离等于1的点的全体可以组成一个集合.(  )(2)人教A版高中数学必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合.( × )(3)分别由元素012和201组成的两个集合是同一个集合.(  )(4)某中学2021级高一年级20个班构成一个集合A则高一(2)班的学生是集合A的元素.( × ) 【解析】 (1)“平面上到点O的距离等于1的点的全体”是确定的能够组成集合.(2)“人教A版高中数学必修第一册课本上所有的难题”不是确定的不能组成集合.(3) 根据集合中元素的无序性知这两个集合表示同一个集合.(4)因为集合A是由高一年级20个班组成的所以高一(2)班是集合A中的元素高一(2)班的学生不是集合A中的元素. 知识点二 集合的表示法1.列举法:把集合的所有元素一一列举出来并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.基本格式为: {a1a2an}.2.描述法:设A是一个集合我们把集合A中所有具有__共同特征P(x)__的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}这种表示集合的方法称为描述法.[研读]列举法表示集合的三种情况:(1)集合的元素较少如{1234}.(2)元素个数多且有限时可以列举部分中间用省略号表示如“从1到100的所有自然数”可以表示为{1234100}.(3)元素个数无限但有规律时也可以类似地用省略号列举如“所有的正偶数”可以表示为{2468…}. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)方程(x-1)(x+2)=0的实数根组成的集合是{-21}.(  )(2)由直线y=2x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合是{(xy)|y=2x+4x∈N}.(  )(3)集合{x|3<x<8}是有限集.( × )(4)集合A={x|x2-1=0}与集合B={-11}表示同一个集合.(  )  教材应用用符号“∈”或“填空:(1)2____R2____{x|x<};(2)4____{x|x=n2+1n∈N}(3)(11)____{y|y=2x+1}(11)____{(xy)|y=2x-1}.【解析】 (1)2∈R而2>所以2{x|x<}.(2)因为n2+1=4所以n=±N.所以4{x|x=n2+1n∈N}.(3)(11)是一个有序实数对在坐标平面上表示一个点而{y|y=2x+1}表示一次函数的函数值构成的集合故(11){y|y=2x+1}.集合{(xy)|y=2x-1}表示直线上的点构成的集合(点集)且满足y=2x-1所以(11)∈{(xy)|y=2x-1}. 活学活用1.以方程x2-2x-3=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合中共有__3__个元素.【解析】 因为方程x2-2x-3=0的解是x1=-1x2=3方程x2-x-2=0的解是x3=-1x4=2所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为-123共有3个元素.2.已知集合M含有两个元素a-3和2a+1若-2∈M则实数a的值是__1或-__.【解析】 因为-2∈M所以a-3=-2或2a+1=-2.若a-3=-2则a=1此时集合M中含有两个元素-23符合题意;若2a+1=-2则a=-此时集合M中含有两个元素-2符合题意.所以实数a的值是1或-. 用列举法表示下列集合:(1)小于10的正偶数组成的集合;(2)方程x(x2-1)=0的所有实数根组成的集合;(3)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合;(4)满足不等式x2+y2≤2的整数点(横坐标、纵坐标都是整数的点)组成的集合.解:(1)小于10的正偶数有2468所求集合为{2468}.(2)方程x(x2-1)=0的根为0±1所求集合为{0-11}.(3)方程组的解是所求集合为{(11)}.(4)满足不等式x2+y2≤2的整数点组成的集合是{(-1-1)(1-1)(11)(-11)(00)(01)(0-1)(10)(-10)}.[规律方法]用列举法表示集合时注意以下三点:(1)元素之间用“隔开.(2)元素不重复、无顺序.(3)对含有较多元素的集合如果构成该集合的元素有明显规律可用列举法但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号. 活学活用用列举法表示下列集合:(1)平方等于5的实数组成的集合为__{}__;(2)由(ab∈R且ab≠0)的所有值构成的集合为__{-202}__;(3)绝对值在3到7之间(不含3和7)的整数组成的集合为__{-4-5-6456}__;(4)方程组的解组成的集合为__{(00)(1-1)}__.【解析】 (1)因为(±)2=5所以平方等于5的实数组成的集合为{}.(2)设x=当a>0b>0时x=2;当a<0b<0时x=-2;当ab异号时x=0.故用列举法表示为{-202}.(3)绝对值在3到7之间(不含3和7)的整数是-4-5-6456所以组成的集合为{-4-5-6456}.(4)方程组的解为所以方程组的解组成的集合为{(00)(1-1)}. 用描述法表示下列集合:(1)使y=有意义的实数x组成的集合;(2)坐标平面上第一、三象限内的点组成的集合;(3)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上所有点组成的集合;(4)函数y=x2-2x+2的函数值组成的集合.解:(1)要使y=有意义则x2+x-6≠0即x≠2且x≠-3故可写成{x∈R|x≠2且x≠-3}.(2)第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同因此可写成{(xy)|xy>0x∈Ry∈R}.(3)易知集合可写成{(xy)|y=ax2+bx+c(a≠0)x∈R}.(4)y=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1所以函数值组成的集合为{y|y≥1}.[规律方法]用描述法表示集合时注意以下几点:(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号).(2)说明该集合中元素的特征.(3)不能出现未被说明的字母.(4)多层描述时应当准确使用“或”“且”等.(5)所有描述的内容都要写在集合括号内.(6)用于描述法的语句力求简明、确切. 活学活用用描述法表示下列集合:(1)满足不等式3x+2>2x+1的实数x组成的集合为__{x|x>-1}__;(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合为__{(xy)|x<0y>0且xy∈R}__;(3)所有正奇数组成的集合为__{x|x=2k-1k∈N*}__.【迁移探究】 设M={a=x2-y2xy∈Z}求证:(1)2k-1∈Mk∈Z;(2)4k-2Mk∈Z(3)若p∈Mq∈M则pq∈M.证明:(1)由2k-1=×1=·k2-(k-1)2且kk-1∈Z从而2k-1∈M.(2)假设4k-2∈M那么4k-2=x2-y2且xy∈Z.则(x-y)(x+y)=2(2k-1).由于(x+y)与(x-y)具有相同的奇偶性所以(x+y)(x-y)不可能是一奇一偶的乘积所以4k-2Mk∈Z.(3)设p=x2-y2q=a2-b2且xyab∈Z则pq=∈M.故pq∈M.1.下列对象能构成集合的是( C )A.2021年高考数学试卷中所有的难题B.平面直角坐标系中第一象限内的一些点C.2021年北京大学的所有应届毕业生D.杭州某校高一年级的尖子生【解析】 A中难题标准不明确不满足确定性不能构成集合;B平面直角坐标系中第一象限内的一些点”元素不明确故不能构成一个集合;C中的对象都是确定的而且是不同的因而能构成集合;D中尖子生标准不明确不满足确定性故不能构成集合.2.由a22-a4组成一个集合AA中含有3个元素则实数a的取值可以是( C )A.1   B.-2   C.6   D.2【解析】 因为A中含有3个元素即a22-a4互不相等将选项中的数值代入验证知选C.3.已知集合A={x|x(x-2)=0}下列正确的是( A )A.0∈A    B.2AC.-1∈A    D.0A【解析】 集合A中有两个元素:0和2所以0∈A.4.由10到20之间的质数组成的集合为__{11131719}__. 【解析】 10到20之间的质数是11131719所以组成的集合为{11131719}.5.集合{x|x=2m-3m∈N*m<5}用列举法表示为__{-1135}__.【解析】 集合中的元素满足x=2m-3m∈N*m<5则满足条件的x的值为:m=1时x=-1;m=2时x=1;m=3时x=3;m=4时x=5.则集合为{-1135}.6.试用适当的方法表示下列集合.(1)被3除余1的自然数集合:__{x|x=3n+1n∈N}__;(2)二次函数y=2x2+6的函数值组成的集合:____;(3)反比例函数y=-的图象上的点组成的集合:____;(4)方程组的解组成的集合:____;(5)不等式6x-2≥5x的解集:____.【解析】 (1)被3整除的特征是可以表示成x=3n(n∈N)所以被3除余1的自然数集合为.(2) 函数值组成的集合的代表元素是y所以集合为.(3)反比例函数y=-的图象上的点组成的集合应该是点集故为.(4)由所以所求集合为.(5)解集可以表示为.

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