人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数第2课时导学案

第2课时　指数函数的图象及性质的应用

[课程目标] 1.理解指数函数的单调性，会解决指数型函数的最值及单调性问题；2.会解简单的指数型方程和不等式．

知识点一　与指数函数有关的复合函数

函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的定义域、值域可转化为函数y＝at进行研究，其中t＝__f(x)__．若f(x)的定义域为R，则y＝af(x)的定义域为__R__．函数y＝af(x)的值域要根据f(x)的值域及函数y＝at的单调性研究．

[研读]研究复合函数的单调性，要弄清这个复合函数是由哪几个函数以怎样的方式复合而成的，然后用判断复合函数单调性的一般方法作出判断．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)函数y＝a2x－1(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域是{y|y>0}．(　√　)

(2)函数y＝3x2＋1的定义域是R，值域是{y|y>0}．(　×　)

(3)函数y＝3－|x|＋1是偶函数．(　√　)

(4)函数y＝4的定义域是{x|x≥1}．(　√　)

【解析】 (2)该函数的定义域是R，因为x2＋1≥1，所以y＝3x2＋1的值域是[3，＋∞).

(3)该函数的定义域为R，且满足f(x)＝f(－x)，所以函数y＝3－|x|＋1是偶函数．

(4)因为x－1≥0，所以x≥1，所以函数y＝4的定义域是{x|x≥1}．

知识点二　指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)单调性的应用

1．a的取值与单调性

若0<a<1，x1<x2，则ax1__>__ax2.

若a>1，x1<x2，则ax1__<__ax2.

2．指数型不等式的解法

对形如af(x)>ag(x)的不等式的讨论：

当0<a<1时，af(x)>ag(x)⇔__f(x)<g(x)__．

当a>1时，af(x)>ag(x)⇔__f(x)>g(x)__．

[研读]利用指数函数的单调性可以求函数的最值、解不等式、比较函数值的大小、求解参数的值(或取值范围)等．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)方程2x2－x＝的解集是{－1，2}．(　√　)

(2)不等式22x＋3>的解集是{x|x>－4}．(　√　)

(3)若a3<a－2(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是0<a<1.(　√　)

(4)函数y＝23－2x在R上是增函数．(　×　)

【解析】 (1)由题意知，2x2－x＝22，所以x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2.

(2)由题意知，2x＋3>－5，解得x>－4.

(3)因为a3<a－2，所以y＝ax是减函数，所以实数a的取值范围是0<a<1.

(4)函数y＝23－2x在R上是减函数．

求下列函数的定义域：

(1)y＝(a>1)；

(2)y＝.

解：(1)y＝有意义⇔ax－1≥0⇔ax≥a0，解得x≥0，所以函数的定义域为[0，＋∞).

(2)y＝有意义⇔4x－3·2x＋1＋8>0⇔－6·2x＋8>0⇔(2x－2)(2x－4)>0，解得x<1或x>2，所以函数的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞).

活学活用

求下列函数的定义域：

(1)y＝；(2)y＝.

解：(1)y＝有意义⇔2x(3－x)－4≥0⇔2x(3－x)≥22⇔

x(3－x)≥2，解得1≤x≤2，所以函数的定义域为[1，2].

(2)y＝有意义⇔2x＋1－4x≥0⇔2x≤0⇔0≤2x≤2，解得x≤1，所以函数的定义域为(－∞，1].

求下列函数的值域：

(1)y＝；　(2)f(x)＝.

解：(1)令2x－x2＝u，则y＝.

由于u＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1.

又y＝在u∈(－∞，1]上单调递减，所以y∈.

(2)f(x)＝＝＝＝1－.

令32x＋1＝u，则y＝1－.

又因为u＝32x＋1>1，且y＝1－在(1，＋∞)上单调递增，所以y∈(－1，1).

活学活用

求下列函数的值域：

(1)f(x)＝；　(2)f(x)＝2x＋2－x(x>0).

解：(1)令＝u，则y＝，

由于u＝＝≤2.

又y＝在u∈[0，2]上单调递减，所以y∈.

(2)令2x＝u，则y＝u＋.又因为x>0，所以u>1，

所以y＝u＋>2＝2，等号不成立，

所以y∈(2，＋∞).

设0<a<1，关于x的不等式a2x2－3x＋7>a2x2＋2x－3的解集是__{x|x>2}__．

【解析】 因为0<a<1，所以y＝ax是减函数．又因为a2x2－3x＋7>a2x2＋2x－3，所以2x2－3x＋7<2x2＋2x－3，

解得x>2，所以不等式的解集是{x|x>2}．

活学活用

如果a－5x>a3x＋12(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．

解：①当a>1时，因为a－5x>a3x＋12，

所以－5x>3x＋12，解得x<－；

②当0<a<1时，因为a－5x>a3x＋12，

所以－5x<3x＋12，解得x>－.

综上所述，当a>1时，x的取值范围为；

当0<a<1时，x的取值范围为.

求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝；　(2)f(x)＝4x－2x＋1.

解：(1)f(x)＝可视为y＝与u＝复合而成．

当x∈[－1，1]时，u＝单调递增，u∈，又y＝在u∈[0，2]上单调递减，所以当x∈[－1，1]时，f(x)单调递减；

当x∈[1，3]时，u＝单调递减，u∈，又y＝在u∈[0，2]上单调递减，所以当x∈[1，3]时，f(x)单调递增．

(2) f(x)＝4x－2x＋1可视为y＝u2－2u与u＝2x复合而成．

当x∈(－∞，0]时，u＝2x单调递增，且u∈(0，1]，又y＝u2－2u在u∈(0，1]上单调递减，

所以当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减．

当x∈[0，＋∞)时，u＝2x单调递增，且u∈[1，＋∞)，又y＝u2－2u在u∈[1，＋∞)上单调递增，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增．

活学活用

1．若函数y＝ax2－ax－3在区间[1，3]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：y＝ax2－ax－3可视为y＝au与u＝x2－ax－3复合而成．

当a>1时，由于y＝au恒单调递增，又y＝ax2－ax－3在区间[1，3]上单调递增，所以u＝x2－ax－3在区间[1，3]上单调递增，

所以解得1<a≤2.

当0<a<1时，由于y＝au恒单调递减，又y＝ax2－ax－3在区间[1，3]上单调递增，所以u＝x2－ax－3在区间[1，3]上单调递减，所以无解．

综上，a的取值范围为(1，2].

2．求函数f(x)＝3x＋3－x的单调区间．

解：f(x)＝3x＋3－x可视为y＝u＋，u＝3x复合而成．

当x∈(－∞，0]时，u＝3x单调递增，且u∈(0，1].

又y＝u＋在u∈(0，1]上单调递减，

所以当x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减；

当x∈[0，＋∞)时，u＝3x单调递增，且u∈[1，＋∞).又y＝u＋在u∈[1，＋∞)上单调递增，

所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增．

[规律方法]

与指数型函数有关的复合函数的单调性的求解步骤和一般结论：

1．求解步骤：(1)求定义域：依据题意明确研究范围；(2)拆分：把原函数拆分为几个基本函数；(3)定性质：分层逐一求单调性；(4)下结论：根据复合函数的单调性法则，即“同增异减”，得出原函数的单调性．

2．一般结论：研究形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性时，令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上单调递增；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上单调递减．

已知f(x)为定义在(－1，1)上的奇函数，当x∈(0，1)时，f(x)＝.

(1)求f(x)在(－1，1)上的解析式；

(2)判断f(x)在区间上的单调性，并证明．

解：(1)因为当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)，

所以f(x)＝－f(－x)＝－＝－.又f(0)＝0，

所以f(x)＝

(2)f(x)在(－1，0)和(0，1)上单调递减．证明如下：

任取x1，x2∈(0，1)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为2x1＋x2>1，2x2>2x1，所以f(x1)－f(x2)>0，

所以f(x)在(0，1)上单调递减．

由奇函数的性质知，f(x)在(－1，0)上单调递减，

所以f(x)在(－1，0)和(0，1)上单调递减．

活学活用

已知函数f(x)＝＋.

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性．

解：(1)由3x－1≠0，得3x≠1，即x≠0，

所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．

(2)因为函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，且

f(－x)＝＋＝＋＝＝－，

而f(x)＝＋＝，

所以f(－x)＝－f(x)，因此f(x)是奇函数．

[规律方法]

指数型函数的奇偶性和单调性的判断方法：

1．奇偶性按照函数奇偶性定义进行判断，注意定义域优先原则，判断过程中，要进行必要的指数幂的运算．

2．单调性按照函数单调性定义进行判断，先确定单调区间，作差变形后再用函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性进行符号的判断．

1．函数y＝的定义域为(　B　)

A．(5，＋∞)    B．[5，＋∞)　　

C．(－∞，5)　　     D．(－∞，5]

【解析】 依题意，2x－32≥0，即2x≥25，解得x≥5，所以函数y＝的定义域为[5，＋∞).

2．不等式－x>1的解集是(　D　)

A．(－1，0)    B．(1，2)

C．(－1，1)    D．(0，1)

【解析】 由－x>1，得－x>1＝，所以x2－x<0，解得0<x<1.

3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　D　)

A．y＝2

B．y＝

C．y＝

D．y＝

【解析】 y＝2的值域是(0，1)∪(1，＋∞)；y＝的值域是[0，＋∞)；y＝的值域是(1，＋∞)；y＝的值域是(0，＋∞).

4．函数f(x)＝2x＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是__{m|m<0}__．

【解析】 作出f(x)的图象，由图象可知m<0.

5．函数y＝2＋1的值域是__{y|y>1}__．

【解析】 因为>0，所以y＝2＋1>1，即函数的值域是{y|y>1}．