人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数导学案

对数函数的概念

[课程目标] 1.理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域；2.了解对数函数在生产实际中的应用；3.能够熟练运用对数的运算性质进行化简求值．

知识点　对数函数的概念

一般地，函数y＝__logax__(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是__(0，＋∞)__．

[研读]对数函数y＝logax中，a满足a>0，且a≠1.

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)由y＝logax得x＝ay，因为a>0，且a≠1，所以x>0.(　√　)

(2)函数y＝log2x3是对数函数．(　×　)

(3)函数y＝logax2的定义域是R．(　×　)

(4)函数y＝loga(x＋3)的定义域是(0，＋∞).(　×　)

【解析】 (2)函数y＝log2x3不是对数函数．

(3)函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}．

(4)函数y＝loga(x＋3)的定义域是(－3，＋∞).

给出下列函数：

①y＝1＋log3x；②y＝2logπx；③y＝logπ2x；④y＝log(＋1)x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝log4.

其中属于对数函数的是__③④__(填序号).

【解析】 根据对数函数的概念，可知y＝logπ2x，y＝log(＋1)x是对数函数．

活学活用

下列函数中，与函数y＝x(x≥0)相同的是(　B　)

A．y＝　　　　　　　B．y＝()2

C．y＝lg 10x    D．y＝2log2x

【解析】 y＝的定义域为，A不正确；B正确；y＝lg 10x的定义域为，C不正确，y＝2log2x的定义域为，D不正确，故选B.

函数f(x)＝的定义域是(　C　)

A．(－1，＋∞)    B．[－1，＋∞)

C．(－1，1)∪(1，＋∞)    D．[－1，1)∪(1，＋∞)

【解析】 要使函数有意义，应满足解得x>－1且x≠1.

活学活用

函数y＝log(2x－1)(3－4x)的定义域是______．

【解析】 要使函数有意义，应满足

即解得<x< .

所以该函数的定义域为 .

【迁移探究】

已知函数y＝lg的定义域为R，则实数a的取值范围为__{a|a>1}__．

【解析】 因为函数的定义域为R，所以x2＋2x＋a>0恒成立，即Δ＝4－4a<0，解得a>1，所以a的取值范围为a>1.

我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．那么当一只两岁燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

解：将耗氧量O＝80代入已知函数关系式，

得v＝5log2＝5log223＝15(m/s).

活学活用

我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　B　)

A．倍    B．10倍

C．10倍D．ln倍

【解析】 依题意可知，η1＝10lg ，η2＝10lg ，

所以η1－η2＝10lg －10lg ＝10，则lg＝1，所以＝10.

1．下列函数为对数函数的是(　B　)

A．y＝log5x－2    B．y＝logx

C．y＝log3(2x)    D．y＝log(x＋1)

【解析】 根据对数函数的概念知，y＝logx是对数函数．

2．函数y＝log3(1－x2)的定义域是(　B　)

A．{x|0<x<1}

B．{x|－1<x<1}

C．{x|－1≤x≤1}

D．{x|x<－1或x>1}

【解析】 由y＝log3(1－x2)，得1－x2>0，解得－1<x<1.

3．函数y＝lg(x＋2)＋ln(1－x)的定义域是(　D　)

A．{x|x>0}    B．{x|x<1}　

C．{x|x>－2}    D．{x|－2<x<1}

【解析】 依题意，得解得－2<x<1，

所以该函数的定义域为{x|－2<x<1}．

4．若对数函数f(x)的图象经过点(3，2)，则f()＝__1__．

【解析】 设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，由题意知2＝loga3，所以a2＝3，解得a＝，所以f(x)＝logx，所以f()＝log＝1.

5．若函数f(x)＝a2－2a－3＋logax是对数函数，则a＝__3__．

【解析】 依题意，a2－2a－3＝0，a>0，且a≠1，解得a＝－1(舍去)或a＝3，所以a＝3.