高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念学案

三角函数的概念

[课程目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2.掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)值在各象限的符号，会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切；3.掌握公式一并会应用．

知识点一　任意角的三角函数的定义

　　[研读](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集；sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin ”“cos ”“tan ”等是没有意义的．

(2)若点P(x，y)是角α终边上的一点，则sin α＝____，cos α＝____，tan α＝__(x≠0)__.

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)sin α的含义是角α终边上的点的纵坐标．(　×　)

(2)tan α的含义是角α终边上的点的纵坐标与横坐标的比值．(　√　)

(3)角α是确定的，则cos α也是确定的．(　√　)

(4)任给一个角都有三角函数值．(　×　)

【解析】 (1)sin α的含义是角α终边与单位圆的交点的纵坐标．

(4)不是所有的角都有三角函数值，如的正切值不存在．

知识点二　三角函数值的符号

如图所示：

正弦函数：一、二象限正，三、四象限负；

余弦函数：一、四象限正，二、三象限负；

正切函数：一、三象限正，二、四象限负．

简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

[研读]三角函数值的符号的记忆，把握两点：一是三角函数的定义；二是角的终边上一点的坐标的符号．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)判断三角函数值的符号只需确定角的终边所处的位置．(　√　)

(2)角的终边不在任何象限时，三角函数值的符号要用三角函数定义判断．(　√　)

(3)若θ是三角形的一个内角，则cos θ>0.(　×　)

(4)sin (－210°)<0.(　×　)

【解析】 (3)若θ为直角或钝角，则cos θ≤0.

(4)－210°角是第二象限角，所以sin (－210°)>0.

知识点三　公式一

即终边相同的角的同一三角函数的值__相等__．

[研读](1)利用公式一，可以把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．(2)上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z).

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)两个角的终边相同，则其同名三角函数值也相同.(　√　)

(2)公式一的主要作用是将“大角”的三角函数值化为“小角”的同名三角函数值．(　√　)

(3)sin (－335°)＝sin 25°.(　√　)

(4)tan 1 200°＝tan 120°.(　√　)

【解析】 (3)sin (－335°)＝sin (－360°＋25°)＝sin 25°.

(4)tan 1 200°＝tan (3×360°＋120°)＝tan 120°.

 若点P(2m，－3m)(m<0)在角α的终边上，则sin α＝____，cos α＝__－__，tan α＝__－__．

【解析】 　

如图所示，点P(2m，－3m)(m<0)在第二象限，过点P作x轴的垂线，设点P与原点的距离为r，则r＝－m，

故有sin α＝＝＝，

cos α＝＝＝－，

tan α＝＝－.

活学活用

已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α＋cos α的值为__±__．

【解析】 在角α的终边上任取一点P(x，y)，则y＝x.当x＞0时，r＝＝x，sin α＋cos α＝＋＝＋＝；

当x＜0时，r＝＝－x，sin α＋cos α＝＋＝－－＝－.

综上，sin α＋cos α的值为±.

[规律方法]

已知角α的终边在直线上，求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：

(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．

(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0).则sin α＝，cos α＝.

已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．

 有下列三角函数值：①sin 1 125°；②tan ·sin ；③；④sin 1－cos 1.其中为负值的个数是(　B　)

A．1    B．2    C．3　    D．4

【解析】 由1 125°＝1 080°＋45°，则1 125°角是第一象限角，所以sin 1 125°>0；因为＝2π＋，则角是第三象限角，

所以tan >0，sin <0，故tan ·sin <0；因为3弧度的角在第二象限，则sin 3>0，tan 3<0，故<0；因为<1<，则sin 1－cos 1>0.所以②③为负数．

活学活用

1．式子sin 1·cos 2·tan 4的值的符号为(　B　)

A．正    B．负

C．零    D．不能确定

【解析】 因为1，2，4分别为第一、二、三象限的角，所以sin 1＞0，cos 2＜0，tan 4＞0，所以sin 1·cos 2·tan 4＜0.故选B.

2．若sin θ＜cos θ，且sin θ·cos θ＜0，则角θ的终边位于(　D　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

【解析】 由条件可知sin θ＜0，cos θ＞0，则θ为第四象限角．

3．已知＝－，且lg (cos α)有意义．

(1)试判断角α所在的象限；

(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．

解：(1)∵＝－，∴sin α<0.①

由lg (cos α)有意义，得cos α>0.②

由①②得，角α在第四象限．

(2)∵点M在单位圆上，

∴＋m2＝1，解得m＝±.

又α是第四象限角，∴m<0，∴m＝－.

由三角函数定义知，sin α＝－.

 求下列各式的值．

(1)cos ＋tan ；

(2)sin 420°cos 750°＋sin (－690°)cos (－660°).

解：(1)因为cos ＝cos ＝cos ＝，

tan ＝tan ＝tan ＝1，

所以cos ＋tan ＝＋1＝.

(2)因为sin 420°＝sin (360°＋60°)＝sin 60°＝，

cos 750°＝cos (2×360°＋30°)＝cos 30°＝，

sin (－690°)＝sin (－2×360°＋30°)＝sin 30°＝，

cos (－660°)＝cos (－2×360°＋60°)＝cos 60°＝，

所以sin 420°cos 750°＋sin (－690°)cos (－660°)＝

×＋×＝1.

活学活用

求下列各式的值．

(1)sin ＋tan ；

(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.

解：(1)sin ＋tan

＝sin ＋tan

＝sin ＋tan

＝＋＝.

(2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°

＝sin (2×360°＋90°)＋cos (360°＋0°)－tan (3×360°＋45°)

＝sin 90°＋cos 0°－tan 45°

＝1＋1－1＝1.

1．cos 1 110°等于(　D　)

A．－    B．　

C．－　    D．

【解析】 cos 1 110°＝cos (3×360°＋30°)＝cos 30°＝.

2．若角α的终边经过点P(1，)，则下列结论错误的是(　C　)

A．sin α＝

B．cos α＝

C．sin α＝

D．tan α＝

【解析】 由题意得，sin α＝，cos α＝，tan α＝.

3． 已知α是第一象限角，则下列结论正确的是(　AD　)

A．sin 2α＞0    B．cos 2α＞0

C．cos ＞0    D．tan ＞0

【解析】 ∵α是第一象限角，∴2kπ＜α＜2kπ＋(k∈Z)，

∴4kπ＜2α＜4kπ＋π(k∈Z)，kπ＜＜kπ＋(k∈Z)，

∴2α的终边位于一、二象限及y轴非负半轴上，的终边位于一、三象限．所以sin 2α＞0，tan ＞0.故选AD.

4．tan 210°＝____．

【解析】 210°角的终边与单位圆的交点坐标为，所以tan 210°＝.

5．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0).

(1)求sin θ＋cos θ的值．

(2)试判断cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号．

解： (1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，

所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，

当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－＝－；

当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＋＝.

(2)当a＞0时，sin θ＝∈，cos θ＝－∈，

则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin ＜0；

当a＜0时，sin θ＝－∈，cos θ＝∈，

则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin ＞0.

综上，当a＞0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为负；

当a＜0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．