2022年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学一模试卷

这是一份2022年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学一模试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）﹣2022的相反数是（　　）
A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣
2．（3分）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．5a3﹣4a2＝1 B．（﹣a2b3）2＝a4b6
C．a9÷a3＝a3 D．a﹣（b+c）＝a﹣b+c
4．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2且x≠2
5．（3分）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2
6．（3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝10mm，则这个正六边形的面积为（　　）

A．mm2 B．300mm2 C．150mm2 D．75mm2
7．（3分）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第有批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（　　）
A．﹣＝4 B．﹣＝4
C．﹣＝0 D．﹣＝4
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　　）

A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．4π﹣3
9．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x3y﹣xy＝　 　．
12．（3分）据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，其中“14.12亿”用科学记数法表示为 　 　．
13．（3分）下列说法中：
①一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为；
②一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次就必有1次中奖；
③统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：＝，＞，说明甲同学的数学成绩比乙同学的数学成绩稳定；
④要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式；
其中不正确的有 　 　（只填序号）．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 　 　．

15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 　 　．

16．（3分）如图，正方形ABCB，中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4……，依此规律，则线段A2021A2022＝　 　．

三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）
17．（9分）（1）计算：3﹣2+（π﹣2022）0+|﹣2|﹣3tan30°；
（2）化简求值：（1+）÷其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．
18．（9分）今年2﹣4月某市出现了100名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．
（1）表示重症的扇形的圆心角的度数为 　 　；
（2）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
（3）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位轻症重症危重症类型患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．

19．（8分）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）

20．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+6的图象与坐标轴相交于点A（﹣3，0）和点B，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点C（3，m）．
（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，与Bx轴正半轴交于点D，若PD：CP＝1：2时，求△COP的面积．

21．（9分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．

22．（8分）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出500件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销告该种T恤能获得利润8000元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
23．（10分）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°如图2所示，得到结论：
①的值为 　 　；
②直线AE与DF所夹锐角的度数为 　 　；
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 　 　．


24．（11分）如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．


2022年内蒙古鄂尔多斯市达拉特旗中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）﹣2022的相反数是（　　）
A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣
【分析】根据相反数的定义直接求解．
【解答】解：﹣2022的相反数是2022，
故选：C．
【点评】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键．
2．（3分）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形，可直接得到答案．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．5a3﹣4a2＝1 B．（﹣a2b3）2＝a4b6
C．a9÷a3＝a3 D．a﹣（b+c）＝a﹣b+c
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、5a3与﹣4a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（﹣a2b3）2＝a4b6，故B符合题意；
C、a9÷a3＝a6，故C不符合题意；
D、a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≠﹣2 D．x≥﹣2且x≠2
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x+2≥0且x﹣2≠0，
解得x≥﹣2且x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
5．（3分）已知关于x的不等式组无实数解，则a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由﹣2x﹣3≤1，得：x≥﹣2，
由﹣1≤，得：x≤2a+2，
∵不等式组无实数解，
∴2a+2＜﹣2，
解得a＜﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6．（3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝10mm，则这个正六边形的面积为（　　）

A．mm2 B．300mm2 C．150mm2 D．75mm2
【分析】根据正六边形的性质，可得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，根据等腰三角形的性质，可得CD的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
【解答】解：如图：作BD⊥AC于D，
由正六边形，得
∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∠BCD＝∠BAC＝30°．
由AC＝10mm，得CD＝5mm．
cos∠BCD＝＝，即，
解得a＝10，
这个正六边形的面积6××10×5＝150（mm2），
故选C．

【点评】本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数，
7．（3分）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”．为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第有批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（　　）
A．﹣＝4 B．﹣＝4
C．﹣＝0 D．﹣＝4
【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量＝总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少4套，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，
依题意得：﹣＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　　）

A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．4π﹣3
【分析】连接AD，OE，先通过直径所对是圆周角是直角，证出∠CDF＝∠DAC，从而得出∠BAC＝2∠DAC＝30°，再通过S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE计算即可．
【解答】解：连接AD，OE，作OH⊥AE于H，

∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDF＝∠DAC，
∵∠CDF＝15°，
∴∠DAC＝15°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴∠AOE＝120°，
在Rt△AOH中，OA＝2，
∴OH＝×OA＝，AH＝cos30°×OA＝3，
∴AE＝2AH＝6，
∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝−×6×＝4π﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及扇形的面积计算等知识，求出扇形的圆心角度数是解决问题的关键．
9．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝6，BF＝4，△ADG的面积为8，则点F到BC的距离为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先求出△ABD的面积，根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据•BD•h＝•BF•DF，求出BD即可解决问题．
【解答】解：∵DG＝GE，
∴S△ADG＝S△AEG＝8，
∴S△ADE＝16，
由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，
∴S△ABD＝S△ADE＝16，∠BFD＝90°，
∴•（AF+DF）•BF＝16，
∴•（6+DF）×4＝16，
∴DF＝2，
∴DB＝＝＝2，
设点F到BD的距离为h，则有•BD•h＝•BF•DF，
∴2h＝4×2，
∴h＝，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
10．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】根据点P在AD，DC，BC上分三种情况，将面积表示成t的函数，即可确定对应的函数图象．
【解答】解：∵AD＝，
∴AB＞AD，
∴点P先到D，
当0≤t＜13时，
过点P作PH⊥AB于H，
则，
∴PH＝，
∴，
∴图象开口向上，
∴A，C不符合题意，
当18＜t＜31时，点P在BC上，
∴，
只有D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查动点问题求面积，关键是要根据动点在不同的线段上分情况讨论，依次来确定对应的分段的函数的图象．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x3y﹣xy＝　xy（x+1）（x﹣1）　．
【分析】原式提取xy，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣1）＝xy（x+1）（x﹣1），
故答案为：xy（x+1）（x﹣1）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）据国家统计局公布，我国第七次全国人口普查结果约为14.12亿人，其中“14.12亿”用科学记数法表示为 　1.412×109　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：14.12亿＝1412000000＝1.412×109．
故答案为：1.412×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
13．（3分）下列说法中：
①一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为；
②一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次就必有1次中奖；
③统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：＝，＞，说明甲同学的数学成绩比乙同学的数学成绩稳定；
④要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式；
其中不正确的有 　②③　（只填序号）．
【分析】根据概率的意义，全面调查与抽样调查，算术平均数，方差，概率公式，逐一判断即可解答．
【解答】解：①一个不透明的口袋中有3个白球和2个红球（每个球除颜色外都相同），则从中任意摸出一个球是红球的概率为，故①正确；
②一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖2次不一定有1次中奖，故②不正确；
③统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：＝，＞，说明乙同学的数学成绩比甲同学的数学成绩稳定，故③不正确；
④要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式，故④正确；
所以，上列说法中，其中不正确的有：②③，
故答案为：②③．
【点评】本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，算术平均数，方差，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
14．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点E，则DE的长为 　　．

【分析】连接CE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD＝6，则利用勾股定理可计算出AD＝8，设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△DEC中利用勾股定理得到x2+62＝（8﹣x）2，然后解方程即可．
【解答】解：连接CE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝6，
在Rt△ACD中，AD＝＝＝8，
设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，
在Rt△DEC中，x2+62＝（8﹣x）2，
解得x＝，
即DE的长为．
故答案为：．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是 　4　．

【分析】过点P作PE⊥BC于E，由菱形的性质可得AB＝BC＝AC＝12，∠ABD＝∠CBD，可证△ABC是等边三角形，可求∠CBD＝30°，由直角三角形的性质可得PE＝PB，则MP+PB＝PM+PE，即当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，

∵四边形ABCD是菱形，AB＝AC＝12，
∴AB＝BC＝AC＝12，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠CBD＝30°，
∵PE⊥BC，
∴PE＝PB，
∴MP+PB＝PM+PE，
∴当点M，点P，点E共线且ME⊥BC时，PM+PE有最小值为ME，
∵AM＝4，
∴MC＝8，
∵sin∠ACB＝＝，
∴ME＝4，
∴MP+PB的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，将MP+PB转化为PM+PE是解题的关键．
16．（3分）如图，正方形ABCB，中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4……，依此规律，则线段A2021A2022＝　2×　．

【分析】利用含30°角的直角三角形的性质分别求出AA1＝2，A1A2＝2×，A2A3＝2×，从而发现规律解决问题．
【解答】解：在Rt△AA1B1中，∵∠B1AA1＝30°，AB1＝，
∴AA1＝2，A1B1＝1，
在Rt△A2A1B2中，∵∠B2A1A2＝30°，A1B2＝1，
∴A2B2＝，A1A2＝2×，
同理，A2A3＝2×，
依此，可得规律，A2021A2022＝2×．
故答案为：2×．
【点评】本题主要考查了规律型：图形变化类，含30°角的直角三角形的性质等知识，从特殊到一般寻找规律是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程）
17．（9分）（1）计算：3﹣2+（π﹣2022）0+|﹣2|﹣3tan30°；
（2）化简求值：（1+）÷其中a与2，3构成三角形的三边，且a为整数．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）3﹣2+（π﹣2022）0+|﹣2|﹣3tan30°
＝+1+2﹣﹣3×
＝1+2﹣
＝1+；
（2）（1+）÷
＝•
＝•
＝•
＝﹣4（a﹣3）
＝﹣4a+12，
∵a与2，3构成三角形的三边，
∴1＜a＜5，
∵a为整数，
∴a＝2，3或4，
∵a≠2，a≠3，
∴当a＝4时，原式＝﹣4×4+12
＝﹣16+12
＝﹣4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，特殊角的三角函数值，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（9分）今年2﹣4月某市出现了100名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．
（1）表示重症的扇形的圆心角的度数为 　54°　；
（2）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
（3）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位轻症重症危重症类型患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率．

【分析】（1）用360°乘以重症对应百分比即可；
（2）先求出轻症患者、重症患者的人数和危重症患者的人数，再用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可；
（3）根据题意列出表格，由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D患者概率的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）表示重症的扇形的圆心角的度数为360°×15%＝54°，
故答案为：54°；

（2）轻症患者的人数为100×80%＝80（人），重症患者的人数为：100×15%＝15（人），危重症患者的人数为：100﹣80﹣15＝5（人），
∴所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）．

（3）列表得：

A
B
C
D
E
A

（B，A）
（C，A）
（D，A）
（E，A）
B
（A，B）

（C，B）
（D，B）
（E，B）
C
（A，C）
（B，C）

（D，C）
（E，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）

（E，D）
E
（A，E）
（B，E）
（C，E）
（D，E）

由列表格可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D患者的有2种情况，
∴P（恰好选中B、D）＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC的度数；
（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）

【分析】（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，根据解直角三角形cos∠BMH＝＝＝0.4，即可计算出∠BMH的度数，再根据平行线的性质即可算出∠ABC的度数；
（2）根据（1）中的结论和已知条件可计算出∠NMI的度数，根据三角函数即可算出MI的长度，再根据已知条件即可算出PK的长度，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK⊥DE，垂足为K，
∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，
∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），
在Rt△BMH中，
cos∠BMH＝＝＝0.4，
∴∠BMH＝66.4°，
∵AB∥MP，
∴∠BMH+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；
（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，
∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，
∵MN＝28cm，
∴cos45°＝＝，
∴MI≈19.80cm，
∵KI＝50cm，
∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈4.9（cm），
∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．

【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．
20．（8分）如图，一次函数y1＝k1x+6的图象与坐标轴相交于点A（﹣3，0）和点B，与反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点C（3，m）．
（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，连接CP并延长，与Bx轴正半轴交于点D，若PD：CP＝1：2时，求△COP的面积．

【分析】（1）用待定系数法即可求解．
（2）过C点作CE⊥x轴于E，过P点作PF⊥x轴于F，先证△DPF∽△DCE，可得，结合已知条件可求出PF的长，即P点纵坐标，代入反比例函数解析式，可得点P坐标，进而求出直线CD的解析式，从而求得点D的坐标，用△COD的面积减去△DOP的面积即可得出答案．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+6的图象与坐标轴相交于点A（﹣3，0），
∴﹣3k1+6＝0，解得k1＝2，
∴一次函数的解析式为y1＝2x+6．
∵一次函数y1＝2x+6的图象过点C（3，m），
∴m＝12，
∴点C的坐标为（3，12）．
∵反比例函数y2＝（x＞0）的图象相交于点C，
∴k2＝36．
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）过C点作CE⊥x轴于E，过P点作PF⊥x轴于F，

∴CE∥PF，
∴△DPF∽△DCE，
∴，
∵PD：CP＝1：2，即PD：CD＝1：3，
∴CE＝3PF，
∵CE＝12，
∴PF＝4，
∴P（9，4），
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
把C（3，12），P（9，4）代入，
得，解得．
∴直线CD的解析式为y＝x+16．
令y﹣0，得x＝12，
∴D（12，0），即OD＝12，
∴S△COP＝S△COD﹣S△DOP＝×12×12﹣×12×4＝48．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，要熟练掌握用待定系数法求解析式．
21．（9分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为P，过点D的⊙O的切线与AB延长线交于点E，连接CE．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为3，CE＝4，求sin∠DEC．

【分析】（1）连接OC，OD，由等腰三角形的性质证得∠COE＝∠DOE，根据全等三角形判定证得△COE≌△DOE，得到∠OCE＝∠ODE，即可证得CE为⊙O的切线；
（2）过D作DF⊥CE于F，由（1）知，∠OCE＝90°，根据勾股定理得到OE＝＝＝5，根据三角形的面积公式得到CP＝，求得CD＝2CP＝，根据勾股定理得到PE＝＝＝，根据切线的性质得到DE＝CE＝4，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】证明：（1）连接OC，OD，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
在△COE和△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥CE于F，
由（1）知，∠OCE＝90°，
在Rt△OCE中，∵CE＝4，OC＝3，
∴OE＝＝＝5，
∵AB⊥CD，
∴S△OCE＝OC•CE＝CP•OE，
∴3×4＝5CP，
∴CP＝，
∵OC＝OD，AB⊥CD，
∴CP＝DP，
∴CD＝2CP＝，
在Rt△CPE中，PE＝＝＝，
∵CE，DE是⊙O的切线，
∴DE＝CE＝4，
∵S△CDE＝CE•DF＝CD•PE，
∴4DF＝×，
∴DF＝，
在Rt△DEF中，sin∠DEC＝＝＝．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．（8分）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出500件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
（1）服装店希望一个月内销告该种T恤能获得利润8000元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设销售单价提高x元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设销售利润为M元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，
由题意列方程得：（x+40﹣30）（500﹣10x）＝8000，
解得：x1＝10或x2＝30，
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝30不合题意，应舍去．
∴T恤的销售单价应提高10元，
答：T恤的销售单价应提高10元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x+40﹣30）（500﹣10x），
＝﹣10x2+400x+5000，
＝﹣10（x﹣20）2+9000，
∴当x＝20时，M最大值＝9000元，
∴销售单价：40+20＝60（元），
答：当服装店将销售单价定为60元时，得到最大利润是9000元．
【点评】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润＝单件利润×销售量列出二次函数解析式．
23．（10分）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°如图2所示，得到结论：
①的值为 　　；
②直线AE与DF所夹锐角的度数为 　30°　；
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 　或　．


【分析】（1）通过证明△FBD∽△EBA，可得，∠BDF＝∠BAE，即可求解；
（2）通过证明△ABE∽△DBF，可得，∠BDF＝∠BAE，即可求解；
拓展延伸：分两种情况讨论，先求出AE，DG的长，即可求解．
【解答】（1）解：如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，
∴cos∠ABD＝，
如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，

∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，
∴∠DBF＝∠ABE＝90°，
∴△FBD∽△EBA，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOB＝∠AOF，
∴∠DBA＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，
故答案为：，30°；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，

∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵，
∴△ABE∽△DBF，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠ABD＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．
拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，

∵AB＝4，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，
∴BE＝2，AD＝4，DB＝8，
∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，
∴EF＝2，
∵D、E、F三点共线，
∴∠DEB＝∠BEF＝90°，
∴DE＝，
∵∠DEA＝30°，
∴DG＝DE＝，
由（2）可得：，
∴，
∴AE＝，
∴△ADE的面积＝AE×DG＝×（）×＝；
如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，

同理可求：△ADE的面积＝×AE×DG＝×（）×＝；
故答案为：或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
24．（11分）如图，已知抛物线y＝x2﹣5x+4与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令x＝0和y＝0，解方程可求解；
（2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解；
（3）当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5，4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝0，则0＝x2﹣5x+4，
∴x1＝4，x2＝1，
∴点A（1，0），点B（4，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C（0，4）；

（2）四边形OCPQ为平行四边形，理由如下：
∵点B的坐标为（4，0），点C（0，4），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
∴PQ＝CO，PQ∥OC，
∴四边形OCPQ为平行四边形；

（3）∵D是OC的中点，点C（0，4），
∴点D（0，2），
由（2）知：当x＝2时，PQ的最大值为4，
当x＝2时，y＝x2﹣5x+4＝﹣2，
∴Q（2，﹣2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，

则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODQ，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
故设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE的表达式为y＝2x﹣6，
联立y＝x2﹣5x+4并解得或（不合题意，舍去），
故点E的坐标为（5，4），
设点F的坐标为（0，m），
∴BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
BF2＝m2+42＝m2+16，
EF2＝（m﹣4）2+52，
当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝；
故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．