2022年安徽省淮北市中考数学一模试卷

这是一份2022年安徽省淮北市中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年安徽省淮北市中考数学一模试卷
一、选择题。（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
1．（4分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．﹣
2．（4分）2022年北京冬奥会是至今为止收视率最高的冬奥会！在全球社交媒体上吸引人数超20亿，其中20亿用科学记数法表示为（　　）
A．2×109 B．20×107 C．2×108 D．0.2×1010
3．（4分）下列各式中正确的是（　　）
A．（x2）3＝x5 B．x2（﹣x）3＝﹣x5
C．（xy2）3＝xy6 D．x6÷x3＝x2
4．（4分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）

A． B． C． D．
5．（4分）如图，直线AB∥CD，AE⊥CE，∠BAE＝38°，则∠DCE等于（　　）

A．38° B．42° C．52° D．62°
6．（4分）学习互助小组5个同学，某一天在课堂上的发言次数分别为6、7，8，9，10，关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．平均数是7 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2
7．（4分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB＝2AD，曲线在第一象限经过C，D两点，则k的值是（　　）

A．3 B．6 C．8 D．24
8．（4分）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于点D，则AD的长等于（　　）

A． B． C． D．7
9．（4分）已知，a，b，5分别是等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+k+3＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．12 B．﹣13 C．12或﹣13 D．12或13
10．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，分别与△ABC三边相切于点D，E，F，设AD＝x，△ABC的面积为S，则S关于x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）分解因式：2a3﹣4a2b+2ab2＝　 　．
12．（5分）不等式组的解集是 　 　．
13．（5分）如图，已知等边△ABC的边长为2，以AB为直径的⊙O与△ABC的边AC，BC分别相交于D，E两点，则扇形DOE的面积是 　 　．

14．（5分）已知，抛物线y＝﹣x2+（b+6）x+c，其中b，c为实数．
（1）若抛物线经过点P（1，b），则c＝　 　；
（2）在（1）的条件下，过点P作PA垂直y轴于点A，交抛物线y＝﹣x2+（b+6）x+c于另一点B，点B在点A的右侧，若AB＝3PA，则抛物线上的点到x轴的最小距离是 　 　．
三、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？”请问此问题中的绳长、井深各是多少尺？
四、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　 　＝　 　．
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an＝　 　＝　 　．（n为正整数）
（3）求a1+a2+a3+……+a2022的值．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（2，2）、C（3，5）．
（1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A2B2C2．

五、解答题。（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，≈1.732）

20．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，过点A，C，D作⊙O，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F，连接FA，FE，FC．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

六、解答题。（本题满分12分）
21．（12分）九（1）班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项．根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别
频数（人数）
频率
小说
a
0.5
戏剧
4

散文
10
0.25
其他
6

合计
b
1
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）直接写出：a＝　 　．b＝　 　m＝　 　；
（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请求选取的2人恰好是甲和乙的概率．

七、解答题。（本题满分12分）
22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数且a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，2）两点，求函数y＝ax2+bx+2的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由；
（3）已知a＝b＝﹣1，当x＝m，n（m，n是实数）时，该函数对应的函数值分别为M，N，若m+n＝2，求M+N的最大值．
八、解答题。（本题满分14分）
23．（14分）如图（1），已知：在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝DF，AE，AF分别交BD于点G，H．
（1）求证：△ABG≌△ADH；
（2）连接FE，如图（2），当EF＝BG时，
①求证：EF∥BG；
②求的值．



2022年安徽省淮北市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
1．（4分）的相反数是（　　）
A． B． C． D．﹣
【分析】根据相反数的概念，即一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：根据概念，的相反数是﹣（），即．
故选：C．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（4分）2022年北京冬奥会是至今为止收视率最高的冬奥会！在全球社交媒体上吸引人数超20亿，其中20亿用科学记数法表示为（　　）
A．2×109 B．20×107 C．2×108 D．0.2×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）下列各式中正确的是（　　）
A．（x2）3＝x5 B．x2（﹣x）3＝﹣x5
C．（xy2）3＝xy6 D．x6÷x3＝x2
【分析】根据幂的乘方判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据同底数幂的除法判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝x6，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝x2•（﹣x3）＝﹣x5，故该选项符合题意；
C选项，原式＝x3y6，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝x3，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握（am）n＝amn是解题的关键．
4．（4分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看第一层是一个小正方形，第二层是第一层正上一个小正方形，右边一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．
5．（4分）如图，直线AB∥CD，AE⊥CE，∠BAE＝38°，则∠DCE等于（　　）

A．38° B．42° C．52° D．62°
【分析】如图，过点E作EF∥AB，利用平行公理，垂直的定义以及平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，

∴∠AEF＝∠BAE＝38°，（两直线平行内错角相等），
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣∠AEF＝52°，
∵AB∥CD（已知），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠DCE＝∠CEF＝52°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质以及垂线，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
6．（4分）学习互助小组5个同学，某一天在课堂上的发言次数分别为6、7，8，9，10，关于这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．平均数是7 B．众数是8 C．中位数是9 D．方差是2
【分析】根据方差、众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．
【解答】解：将数据重新排列为6、7，8，9，10，
则这组数的众数为6、7，8，9，10，
中位数为8，
平均数为＝8，
方差为×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，解题的关键是牢记概念及公式．
7．（4分）如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB＝2AD，曲线在第一象限经过C，D两点，则k的值是（　　）

A．3 B．6 C．8 D．24
【分析】将y＝0，x＝0分别代入直线的解析式，然后解得x、y的值，从而可求得点A、B的坐标，通过证得△ADH∽△BAO，求得DH＝AH＝1，从而得到点D的坐标为（3，1），进而即可求得k的值．
【解答】解：作DH⊥x轴于H，
将y＝0代入直线y＝﹣x+2得﹣x+2＝0，
解得：x＝2．
∴点A的坐标为（2，0）．
将x＝0代入直线y＝﹣x+2得；y＝2，
∴点B的坐标为（0，2），
∴OA＝2，OB＝2，
∵∠BAD＝90°，
∴∠DAH+∠BAO＝90°．
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DAH＝∠ABO．
又∵∠DHA＝∠BOA＝90°，
∴△ADH∽△BAO，
∴＝＝＝，即＝＝．
∴DH＝AH＝1．
∴点D的坐标为（3，1）．
∵曲线在第一象限经过D点，
∴k＝3×1＝3，
故选：A．

【点评】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质求得D点的坐标是解题的关键．
8．（4分）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于点D，则AD的长等于（　　）

A． B． C． D．7
【分析】过B点作BH⊥AC于H，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，证出DE＝DF，∠DAE＝30°，根据S△ABC＝AB•DE+AC•DF＝12，可求出DE的长，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：过B点作BH⊥AC于H，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，

∵AB＝6，∠BAC＝60°，
∴BH＝3，
∴S△ABC＝BH•AC＝×3×8＝12，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，∠DAE＝30°，
∵S△ABC＝AB•DE+AC•DF＝12，
∴3DE+4DF＝12，
∴DE＝，
∴AD＝2DE＝，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，直角三角形的性质．利用面积法求线段的长是解决问题的关键．
9．（4分）已知，a，b，5分别是等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+k+3＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．12 B．﹣13 C．12或﹣13 D．12或13
【分析】当a＝b时，利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣8）2﹣4×（k+3）＝0，解得k＝13，此时a＝b＝4，符合题意；当a＝5或b＝5，把x＝5代入方程x2﹣8x+k+3＝0解得k＝12，解得a＝5，b＝3或a＝3，b＝5，符合题意．
【解答】解：当a＝b时，
根据题意得Δ＝（﹣8）2﹣4×（k+3）＝0，
解得k＝13，
此时方程为x2﹣8x+16＝0，
解得a＝b＝4，符合题意；
当a＝5或b＝5，
把x＝5代入方程x2﹣8x+k+3＝0得25﹣40+k+3＝0，
解得k＝12，
此时方程为x2﹣8x+15＝0，
解得a＝5，b＝3或a＝3，b＝5，符合题意，
综上所述，k的值为12或13．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，分别与△ABC三边相切于点D，E，F，设AD＝x，△ABC的面积为S，则S关于x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r，利用切线的性质得OD⊥AB，OE⊥BC，AF＝AD＝x，CE＝CF＝10﹣x，利用四边形ODBE为正方形得到DB＝BE＝OD＝r，根据三角形面积公式得到S＝r（AB+CB+AC）＝r2+10r，再根据勾股定理得到（x+r）2+（10﹣x+r）2＝102，则r2+10r＝﹣x2+10x，所以S＝﹣x2+10x，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：连接OD、OE，如图，设⊙O的半径为r，
∵△ABC的内切圆O，分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，AF＝AD＝x，CE＝CF＝8﹣x，
易得四边形ODBE为正方形，
∴DB＝BE＝OD＝r，
∵S＝r（AB+CB+AC）＝r（x+r+r+8﹣x+8）＝r2+8r，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴（x+r）2+（8﹣x+r）2＝82，
∴r2+8r＝﹣x2+8x
∴S＝﹣x2+8x
＝﹣（x﹣4）2+16（0＜x＜8）．
故选：A．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质．
二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）分解因式：2a3﹣4a2b+2ab2＝　2a（a﹣b）2　．
【分析】根据因式分解的方法即可求出答案．
【解答】解：原式＝2a（a2﹣2ab+b2）＝2a（a﹣b）2
故答案为：2a（a﹣b）2
【点评】本题考查因式分解，涉及提取公因式，完全平方公式，属于基础题型．
12．（5分）不等式组的解集是 　3＜x＜5　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2＞1，得：x＞3，
解不等式＜3，得：x＜5，
则不等式组的解集为3＜x＜5，
故答案为：3＜x＜5．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（5分）如图，已知等边△ABC的边长为2，以AB为直径的⊙O与△ABC的边AC，BC分别相交于D，E两点，则扇形DOE的面积是 　　．

【分析】求出△ADO是等边三角形，求出∠AOD＝60°，同理∠BOE＝60°，求出∠DOE＝60°，利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
同理∠BOE＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∵AB为⊙O的直径，等边△ABC的边长为2，
∴⊙O的半径为1，
∴扇形DOE的面积为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积，等边三角形的性质，解题的关键是求出∠DOE＝60°．
14．（5分）已知，抛物线y＝﹣x2+（b+6）x+c，其中b，c为实数．
（1）若抛物线经过点P（1，b），则c＝　﹣5　；
（2）在（1）的条件下，过点P作PA垂直y轴于点A，交抛物线y＝﹣x2+（b+6）x+c于另一点B，点B在点A的右侧，若AB＝3PA，则抛物线上的点到x轴的最小距离是 　1　．
【分析】（1）将（1，b）代入解析式求解．
（2）由AB＝3PA，可得点B坐标，根据抛物线的对称轴可得b的值，进而求解．
【解答】解：（1）将（1，b）代入y＝﹣x2+（b+6）x+c得b＝﹣1+b+6+c，
解得c＝﹣5，
故答案为：﹣5．
（2）∵PA＝1，
∴AB＝3PA＝3，
∴抛物线经过（1，b），（3，b），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
解得b＝4，
∴y＝﹣x2+4x﹣5＝﹣（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），开口向下，
∴抛物线顶点到x轴的最小距离为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
三、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
【分析】先算乘方和开方，再化简绝对值算乘法，最后算加减．
【解答】解：原式＝3﹣2×4
＝3﹣8
＝﹣5．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
16．（8分）《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？”请问此问题中的绳长、井深各是多少尺？
【分析】设绳长为x尺，井深为y尺，由题意：把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设绳长为x尺，井深为y尺，
依题意得：，
解得，
答：绳长为36尺，井深为8尺．
【点评】本题看出来二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
四、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　　＝　　．
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an＝　　＝　　．（n为正整数）
（3）求a1+a2+a3+……+a2022的值．
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式的形式进行总结即可；
（3）利用（2）中的规律求解即可．
【解答】解：（1）第5个等式为：a5＝＝，
故答案为：；；
（2）∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
…
∴第n个等式为：an＝＝，
故答案为：；；
（3）原式＝
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（2，2）、C（3，5）．
（1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于点O成中心对称的图形△A2B2C2．

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题关键是掌握旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，≈1.732）

【分析】延长PQ交直线AB于点C，设PC＝x米，在直角△APC和直角△BPC中，根据三角函数利用x表示出AC和BC，根据AB＝AC﹣BC即可列出方程求得x的值，再在直角△BQC中利用三角函数求得QC的长，则PQ的长度即可求解．
【解答】解：延长PQ交直线AB于点C，设PC＝x米．
在直角△APC中，∠A＝45°，
则AC＝PC＝x米；
∵∠PBC＝60°
∴∠BPC＝30°
在直角△BPC中，BC＝PC＝x米，
∵AB＝AC﹣BC＝60米，
则x﹣x＝60，
解得：x＝90+30，
则BC＝（30+30）米．
在Rt△BCQ中，QC＝BC＝（30+30）＝（30+10）米．
∴PQ＝PC﹣QC＝90+30﹣（30+10）＝60+20≈94.6（米）．
答：信号发射塔PQ的高度约是94.6米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角的问题，仰角的定义，以及三角函数，正确求得PC的长度是关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，过点A，C，D作⊙O，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F，连接FA，FE，FC．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

【分析】（1）结合等腰三角形的性质，平行线的性质可得∠ADF＝∠CFD，即可证明BD∥CF，利用平行四边形的定义可判定结论；
（2）连接AE，易得∠AEF＝∠B，利用圆内接四边形的性质可得∠ECF+∠EAF＝180°，再由平行线的性质可得∠AEF＝∠EAF，进而可求解．
【解答】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
又∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∴四边形DBCF是平行四边形．
（2）如图，连接AE，

∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
六、解答题。（本题满分12分）
21．（12分）九（1）班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类别，每位同学仅选一项．根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．
类别
频数（人数）
频率
小说
a
0.5
戏剧
4

散文
10
0.25
其他
6

合计
b
1
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）直接写出：a＝　20　．b＝　40　m＝　15　；
（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请求选取的2人恰好是甲和乙的概率．

【分析】（1）先由散文对应的频数及其频率可得总人数b，再用总人数乘以小说对应频率求得其人数a，用其他人数除以总人数可得m的值；
（2）利用树状图法展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好是甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数b＝10÷0.25＝40（人），
∴a＝40×0.5＝20，m%＝×100%＝15%，即m＝15，
故答案为：20、40、15；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中恰好是甲和乙的只有2种，
所以选取的2人恰好是甲和乙的概率＝＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比
七、解答题。（本题满分12分）
22．（12分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数且a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，2）两点，求函数y＝ax2+bx+2的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由；
（3）已知a＝b＝﹣1，当x＝m，n（m，n是实数）时，该函数对应的函数值分别为M，N，若m+n＝2，求M+N的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，利用配方法即可求得顶点坐标；
（2）写出a，b的值后，说明Δ＞0即可；
（3）将a＝b＝﹣1代入抛物线的解析式，分别计算M，N的值，将m＝2﹣n代入并整理，利用配方法根据二次函数的性质即可求得结论．
【解答】解：（1）把点（1，0）和（2，2）代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x+2，
∵y＝2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2，
∴该函数图象的顶点坐标是（1，0）；
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+2；
∵b2﹣4ac＝1＞0，
∴函数y＝x2+3x+2图象与x轴有两个不同的交点；
（3）∵a＝b＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣x+2．
由题意得：M＝﹣m2﹣m+2，N＝﹣n2﹣n+2，
∵m+n＝2，
∴m＝2﹣n．
∴M+N＝﹣m2﹣m+2﹣n2﹣n+2
＝﹣m2﹣n2+2
＝﹣（2﹣n）2﹣n2+2
＝﹣2n2+4n﹣2
＝﹣2（n﹣1）2，
∵﹣2＜0，
∴当n＝1时，M+N的最大值为0．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点坐标，抛物线上点的坐标的特征，配方法求函数的极值，待定系数法和配方法是解决此类问题常用的方法．
八、解答题。（本题满分14分）
23．（14分）如图（1），已知：在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，BE＝DF，AE，AF分别交BD于点G，H．
（1）求证：△ABG≌△ADH；
（2）连接FE，如图（2），当EF＝BG时，
①求证：EF∥BG；
②求的值．


【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，证明△ABE≌△ADF（SAS），所以∠BAE＝∠DAF，由菱形的性质可知，∠ABG＝∠ADH，所以△ABG≌△ADH（ASA）．
（2）①由菱形的性质可知，BC＝DC，所以BE＝DF，所以CE＝CF，所以，由此可证明△ECF∽△BCD，所以∠DBC＝∠FEC，由同位角相等两直线平行可知，EF∥BG．
②连接GF，由①可知，四边形GBEF是平行四边形，所以CE∥GF∥AD，所以，又△GDA∽△GBE，所以，所以，设菱形ABCD的边长为a，CF＝x，则DF＝BE＝a﹣x，所以，解之得到x和a的关系，代入比例可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF，

∵，，
∴∠ABG＝∠ADH，
在△ABG和△ADH中，
，
∴△ABG≌△ADH（ASA）．
（2）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，
∵BE＝DF，
∴CE＝CF，
∴，
∵∠ECF＝∠BCD，
∴△ECF∽△BCD，
∴∠DBC＝∠FEC，
∴EF∥BG．
②解：如图，连接GF，
∵EF＝BG，EF∥BG，
∴四边形GBEF是平行四边形，
∴GF∥BE，
∵CE∥AD，
∴CE∥GF∥AD，
∴，
∵BE∥AD，
∴△GDA∽△GBE，
∴，
∴，
设菱形ABCD的边长为a，CF＝x，则DF＝BE＝a﹣x，
∴，
∴（，舍去），
∴，，
∴．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．