广东省茂名市2022届高三二模数学试题及解析

绝密★启用前

2022年茂名市高三级第二次综合测试

数学试卷

本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

3. 平面非零向量，满足，，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 由国家信息中心“一带一路”大数据中心等编写的《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》到2016年这六年中，中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额图表如下，下列说法中正确的是（    ）

中国与“一带一路”沿线国家出口额和进口额（亿美元）

A. 中国与沿线国家贸易进口额的极差为1072.5亿美元

B. 中国与沿线国家贸易出口额的中位数不超过5782亿美元

C. 中国与沿线国家贸易顺差额逐年递增（贸易顺差额＝贸易出口额－贸易进口额）

D. 中国与沿线国家前四年的贸易进口额比贸易出口额更稳定

6. 双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（    ）

A. 28h B. 28.5h C. 29h D. 29.5h

7. 已知，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且，则双曲线C的离心率为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知复数，，若为实数，则下列说法中正确的有（    ）

A.  B.

C. 为纯虚数 D. 对应的点位于第三象限

10. 已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（    ）

A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为

C. 二项式系数最大项为第6项或第7项 D. 有理项共5项

11. 已知函数，下列说法正确的有（    ）

A 关于点对称

B. 在区间内单调递增

C. 若，则

D. 的对称轴是

12. 棱长为4的正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列说法中正确的有（    ）

A. 三棱锥的体积为定值

B. 当时，平面截正方体所得截面的周长为

C. 直线FG与平面所成角的正切值的取值范围是

D. 当时，三棱锥的外接球的表面积为

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知正实数m，n满足，则的最小值为__________．

14. 正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为，D为棱AC的中点，则异面直线SD与AB所成角的余弦值为__________．

15. 以抛物线的焦点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知，则__________．

16. 已知函数，若存在实数t使得函数有7个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．

（1）求C；

（2）求△ABC的面积．

18. 冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．

（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；

（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．

19. 如图所示圆柱中，AB是圆O的直径，，为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且，E，F分别为，的中点．

（1）证明：平面ABCD；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20. 已知数列满足，，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）若，求数列的前项和．

21. 已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22. 已知函数在点处切线方程为．

（1）求函数在上的单调区间；

（2）当时，是否存在实数m使得恒成立，若存在，求实数m的取值集合，若不存在，说明理由（附：，）．