广东省湛江市2022届高三二模数学试题及解析

湛江市2022年普通高考测试（二）

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：B

2. 已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则（    ）

A. ﹣6 B. ﹣4 C. 2 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.

【详解】因为向量，夹角的余弦值为，且，，

所以，

故选：A

3. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，根据函数值域的求法求出集合，

进而求出即可．

【详解】对于集合求的是的取值范围，

对于集合求的是的值域，

，，，

故选：C．

4. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分必要条件的定义判断．

【详解】，，只有一条垂直直线，不能得出，不充分，

当时，由于，则有，是必要的，

因此是必要不充分条件．

故选：B．

5. 已知直线与圆相交于A，B两点，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离及垂径定理、勾股定理得到方程，解得即可；

【详解】解：圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交于、两点，且，

所以圆心到直线的距离，即，解得（舍去）或；

故选：B

6. 若，且，则的最小值为（    ）

A. 9 B. 3 C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由基本不等式得，进而结合已知条件得的最小值为.

【详解】解：因为，所以，

因为

所以，即，

当且仅当，即时等号成立，

所以，即的最小值为.

故选：C

7. 若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用对数和对数函的性质进行化简后比较.

【详解】解：

故

故选：A

8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出，进而利用勾股定理即可得到，从而可求出结果.

【详解】由题意知延长则必过点,如图：

由双曲线的定义知，

又因为，，所以，设，则，因此，从而，所以，又因为，所以，即，即，

故选：B.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 某学校组建了合唱､朗诵､脱口秀､舞蹈､太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（    ）

A. 这五个社团的总人数为100

B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%

C. 这五个社团总人数占该校学生人数的4%

D. 从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%

【答案】BC

【解析】

【分析】计算出五个社团的总人数，可判断A,C;计算出脱口秀社团的人数,判断B;计算脱口秀社团或舞蹈社团的人数占五个社团总人数的比例，可判断D.

【详解】由于参加朗诵社团的同学有8名，该社团人数占比为 ，

故社团总人数为80人，故A错误；

合唱团人数为 ，舞蹈社团人数为人，

故脱口秀社团的人数为 ，

故脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，故B正确；

五个社团总人数占该校学生人数的 ，故C正确；

脱口秀社团人数占五个社团总人数的20%,,

舞蹈社团的人数占五个社团总人数的 ，因此这两个社团人数占五个社团总人数的45%，

故从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%，D错误，

故选：BC

10. 已知是函数的一个周期，则的取值可能为（    ）

A. ﹣2 B. 1 C.  D. 3

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据三角恒等变换公式进行化简，根据周期函数定义求出的表达式即可求解．

【详解】依题意得，

由周期函数定义得：

，即：

即：

解得：

又

或

故选：ABD．

11. 在正方体中，点E为线段上的动点，则（    ）

A. 直线DE与直线AC所成角为定值 B. 点E到直线AB的距离为定值

C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥外接球的体积为定值

【答案】AC

【解析】

【分析】A.易证平面判断；B.由点E与重合和与重合时判断；C.由三棱锥判断；D. 由 平面，得到三棱锥外接球的球心O在判断.

【详解】如图所示：

A.因为，又，所以平面，又平面平面，，则直线DE与直线AC所成角为定值，故正确；

B. 当点E与重合时，点E到直线AB的距离，当点E与重合时，点E到直线AB的距离，故错误；

C.因为三棱锥，且点到面EBD的距离为定值， 为定值，故体积为定值，故正确；

D. 易知 平面，所以三棱锥外接球的球心O在上，当点E移动时，球心O的位置改变，则球的半径R改变，所以外接球体积不为定值，故错误；

故选：AC

12. 若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（    ）

A.

B. 当时，的值不唯一

C. 可能等于

D. 当时，的取值范围是

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题设切点为，进而得，再构造函数，将问题转化为与的交点个数问题，再数形结合求解即可.

【详解】解：不妨设切点为，因为，

所以切线方程为，

所以，整理得，

所以令，则，

所以，令得.

所以，当或时，，，当时，，

因为，当趋近于时，趋近于，，，，当趋近于时，趋近于，

所以，函数的图像大致如图，

所以，当时，，故B错误，此时成立；

当时，，所以，故可能等于，C正确；

当

当时，，显然，故D正确；

综上，，A正确.

故选：ACD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若，，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用正切两角和的公式进行求解即可.

【详解】因为，，

所以，

故答案为：

14. 拋物线的焦点为F，点为C上一点，若，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据抛物线的定义，利用代入法进行求解即可.

【详解】拋物线的准线方程为：，因为，

所以，把 代入抛物线方程中，得

，

故答案为：

15. 的展开式中常数项为___________.

【答案】

【解析】

【分析】先求得展开式的通项公式，再分别用81乘以的展开式中的常数项和乘以的展开式中含 的一次项的两种情况求解.

【详解】展开式的通项公式为，

当81乘以时，令，解得，常数项为；

当乘以时，令，解得，常数项为 ；

所以的展开式中的常数项为

故答案为：

16. “物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被除余，被除余，被除余，则在不超过的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.

【答案】

【解析】

【分析】找出满足条件的最小整数值为，可知满足条件的数形成以为首项，以为公差的等差数列，确定该数列的项数，利用等差数列的求和公式可求得结果.

【详解】由题意可知，一个数被除余，被除余，被除余，则这个正整数的最小值为，

因为、、的最小公倍数为，

由题意可知，满足条件的数形成以为首项，以为公差的等差数列，

设该数列为，则，

由，可得，所以，的最大值为，

所以，满足条件的这些整数之和为.

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.

（1）求、两地之间的距离；

（2）求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理可直接求得的长；

（2）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.

【小问1详解】

解：由余弦定理可得，

所以，.

【小问2详解】

解：由余弦定理可得，

所以，，则为锐角，故，

因此，.

18. 已知数列的前n项和为.

（1）从①，②，③这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求的通项公式；

（2）在第（1）问的前提下，若，求数列的前项和.

注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分.

【答案】（1）；证明见解析.   

（2）

【解析】

【分析】（1）选①②，结合题意证明数列是等比数列，公比为，首项为，进而求解；

选：②③，先根据题意得，进而证明数列等比数列，公比为，首项为，再求解即可；

选：①③，结合题意证明数列是等比数列，公比为，首项为，进而在求解即可.

（2）结合（1）得，再根据等比数列的求和公式求解即可.

【小问1详解】

解：选①②，因为，所以，

因为，，

所以，数列是等比数列，公比为，首项为，

所以，即

所以，当时，，

当时，，显然满足，

所以，.

选：②③，因为，，

所以，解得，故.

因为，

所以，即，

所以，整理得，

所以数列是等比数列，公比为，首项为，

所以.

选：①③，因为，，

所以，

所以，两式作差得，即，

所以数列是等比数列，公比为，首项为，

所以，，

所以，

所以.

【小问2详解】

解：由（1）得，故，

所以数列的前项和满足：

19. 某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有、两类知识竞答挑战，规则为进入决赛选手要先从、两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.、两类知识挑战成功分别可获得万元和万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对、两类知识的挑战成功率分别为、，且挑战是否成功与挑战次序无关.

（1）若记为甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出的分布列；

（2）为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.

【答案】（1）分布列答案见解析   

（2）优先选择挑战类知识，理由见解析

【解析】

【分析】（1）分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列；

（2）记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，计算出、的值，比较大小后可得出结论.

【小问1详解】

解：由题意可知，的可能取值有、、，

，，

，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

【小问2详解】解：记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，

甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，

由题意可知，随机变量的可能取值有：、、，

则，，

，

所以，（元），

（元），

所以，，

所以，为了使甲同学可获得奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战类知识.

20. 在四棱台中，底面ABCD是正方形，且侧棱垂直于底面ABCD，，O，E分别是AC与的中点.

（1）证明：平面.

（2）求与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接，得到为的中点，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；

（2）以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.

【小问1详解】

证明：连接，

因为为正方形，可得为的中点，

在中，因为分别为的中点，所以，

又因为平面，且平面，

所以平面.

【小问2详解】

解：因为平面，平面，所以，

以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，

如图所示，

可得，

则，

设平面法向量，则，

取，可得，所以，

设与平面所成的角为，

则，

即与平面所成的角为.

21. 已知函数.

（1）当时，若在上存在最大值，求m的取值范围；

（2）讨论极值点的个数.

【答案】（1）；   

（2）当时，函数有一个极值点；当时，函数有两个极值点；

当时，函数没有极值点.

【解析】

【分析】（1）根据导数的性质，结合函数的单调性和最值的定义进行求解即可；

（2）根据导数的性质，结合极值点的定义、一元二次方程根的判别式分类讨论求解即可.

【小问1详解】

因为，

所以，

因为函数的定义域为：，

所以当时，单调递减，

当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，

因此要想在上存在最大值，只需，

所以m的取值范围为；

【小问2详解】

，

方程的判别式为.

（1）当时，即，此时方程没有实数根，

所以，函数单调递减，故函数没有极值点；

（2）当时，即，

此时，（当时取等号），所以函数单调递减，故函数没有极值点；

（3）当时，即，此时方程有两个不相等的实数根，

设两个实数根，设，则，

函数的定义域为：，显然

当时，此时方程有两个不相等的正实数根，

此时当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

因此当时，函数有极小值点，当时，函数有极大值点，

所以当时，函数有两个极值点，

当时，方程有一个正实数根和一个负根，或是一个正实数和零根，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数有极大值点，

因此当时，函数有一个极值点，

综上所述：当时，函数有一个极值点；

当时，函数有两个极值点；

当时，函数没有极值点.

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根的判别式分类讨论是解题的关键.

22. 已知椭圆的上､下焦点分别为，，左､右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形.

（1）求C的标准方程.

（2）M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）；   

（2）为定值，定值为.

【解析】

【分析】（1）根据椭圆上、下焦点和左、右顶点的定义，结合正方形的面积进行求解即可；

（2）根据平行线的性质、椭圆的定义，结合直线方程与椭圆方程联立，求出M，N的坐标，利用两点间距离公式进行求解即可.

【小问1详解】

椭圆的上､下焦点分别为，

左､右顶点分别为，因为四边形是面积为8的正方形，

所以有且，解得，

所以椭圆的标准方程为：；

【小问2详解】

因为，

所以

，因为N为C上且在y轴右侧的点，

所以，

因此，

同理可得：，所以

设的方程分别为：，设，

则，

所以，因此

，

同理可得：，

因此，，

所以，

所以为定值，定值为.

【点睛】关键点睛：利用平行线的性质，得到比例式子是解题的关键.