高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精练，共8页。

1．已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0)) ，csα＝ eq \f(1,4) ，则tan eq \f(α,2) 等于( D )
A．－ eq \f(\r(2),3) B．－ eq \f(\r(6),3)
C．－ eq \f(\r(14),5) D．－ eq \f(\r(15),5)
【解析】 因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0)) ，cs α＝ eq \f(1,4) ，所以sin α＝－ eq \f(\r(15),4) ，所以tan eq \f(α,2) ＝ eq \f(sin α,1＋cs α) ＝ eq \f(－\f(\r(15),4),1＋\f(1,4)) ＝－ eq \f(\r(15),5) .
2．已知tan α＝ eq \f(1,2) ，则 eq \f(cs 2α＋sin 2α＋1,cs2α) 等于( A )
A．3 B．6
C．12 D． eq \f(3,2)
【解析】 eq \f(cs 2α＋sin 2α＋1,cs2α) ＝ eq \f(2cs2α＋2sinαcs α,cs2α) ＝
eq \f(2csα＋2sin α,cs α) ＝2＋2tan α＝3.
3．sin 54°sin 18°等于( C )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,4) D． eq \f(1,8)
【解析】 sin 54°sin 18°＝ eq \f(2sin 18°cs 18°sin 54°,2cs 18°) ＝ eq \f(sin 36°sin 54°,2cs 18°) ＝ eq \f(sin 36°cs 36°,2cs 18°) ＝ eq \f(\f(1,2)sin 72°,2cs 18°) ＝ eq \f(\f(1,2)cs 18°,2cs 18°) ＝ eq \f(1,4) .
4．函数y＝ eq \f(1,2) sin 2x＋sin2x的值域是( C )
A． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))
B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(1,2)))
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)＋\f(1,2)，\f(\r(2),2)＋\f(1,2)))
D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)－\f(1,2)，\f(\r(2),2)－\f(1,2)))
【解析】y＝ eq \f(1,2) sin 2x＋sin2x＝ eq \f(1,2) sin2x＋ eq \f(1－cs 2x,2) ＝
eq \f(\r(2),2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) ＋ eq \f(1,2) ，
∴函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(2),2)，\f(1,2)＋\f(\r(2),2))) .
5． eq \a\vs4\al(【多选题】) 已知函数f(x)＝cs 2x－2 eq \r(3) sin x cs x，则下列结论中正确的是( AC )
A．存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立
B．f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3))) 上单调递增
C．函数f(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，0)) 对称
D．函数f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(5π,12) 对称
【解析】 易知f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x)) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6))) ，
∴f(x)的周期T＝π，A正确；令－ eq \f(π,2) ＋2kπ≤2x＋ eq \f(5π,6) ≤ eq \f(π,2) ＋2kπ(k∈Z)，得－ eq \f(2π,3) ＋kπ≤x≤－ eq \f(π,6) ＋kπ(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)＋kπ，－\f(π,6)＋kπ)) (k∈Z)，B错误；
∵对称中心的横坐标满足2x＋ eq \f(5π,6) ＝kπ(k∈Z)，∴x＝ eq \f(kπ,2) － eq \f(5π,12) (k∈Z)，当k＝1时，x＝ eq \f(π,12) ，C正确； f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12))) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(5π,12)＋\f(5π,6))) ＝－ eq \r(3) ≠±2，D错误．故选AC.
6．已知函数f(x)＝2sin2x＋2 eq \r(3) sinx cs x－1的图象关于点(φ，0)对称，则φ的值可以是( D )
A．－ eq \f(13π,12) B． eq \f(11π,12)
C． eq \f(π,6) D． eq \f(π,12)
【解析】 f(x)＝2sin2x＋2 eq \r(3) sinx cs x－1＝ eq \r(3) sin 2x－cs 2x＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin 2x－\f(1,2)cs 2x)) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) .因为f(x)的图象关于点(φ，0)对称，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2φ－\f(π,6))) ＝0，则2φ－ eq \f(π,6) ＝kπ，k∈Z，得 φ＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,12) (k∈Z)，取k＝0，得φ＝ eq \f(π,12) .
二、填空题
7．已知2cs2x＋sin2x＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，b∈R)，则A＝__ eq \r(2) __，b＝__1__.
【解析】 2cs2x＋sin2x＝cs 2x＋sin 2x＋1＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) ＋1，∴A＝ eq \r(2) ，b＝1.
8．函数f(x)＝(1＋ eq \r(3) tan x)cs x的最小正周期是__2π__．
【解析】 f(x)＝(1＋ eq \r(3) tan x)cs x＝cs x＋ eq \r(3) sin x＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3))) ，所以函数f(x)的最小正周期是2π.
9．若θ为锐角，cs 2θ＋cs θ＝0，则sin 2θ＋sin θ＝__ eq \r(3) __．
【解析】 由θ为锐角，且cs 2θ＋cs θ＝0，得2cs2θ＋csθ－1＝0，得cs θ＝－1(舍去)或cs θ＝ eq \f(1,2) ，所以sin θ＝ eq \f(\r(3),2) ，所以sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cs θ＋1)＝ eq \f(\r(3),2) ×(1＋1)＝ eq \r(3) .
10．设α为第四象限角，且 eq \f(sin 3α,sin α) ＝ eq \f(13,5) ，则tan 2α＝__－ eq \f(3,4) __．
【解析】 eq \f(sin 3α,sin α) ＝ eq \f(sin （2α＋α）,sin α) ＝ eq \f(cs 2αsin α＋2cs2αsinα,sin α) ＝2cs 2α＋1＝ eq \f(13,5) ，所以cs 2α＝ eq \f(4,5) .又α是第四象限角，
所以sin 2α＝－ eq \f(3,5) ，tan 2α＝－ eq \f(3,4) .
11．已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝ eq \f(1,2) ，tan β＝－ eq \f(1,7) ，则2α－β的值为__－ eq \f(3π,4) __．
【解析】 tan α＝tan [(α－β)＋β]＝ eq \f(tan （α－β）＋tan β,1－tan （α－β）tan β) ＝ eq \f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7)) ＝ eq \f(1,3) >0，又α∈(0，π)，所以0<α< eq \f(π,2) .
又因为tan 2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α) ＝ eq \f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(3,4) >0，所以0<2α< eq \f(π,2) ，
所以tan(2α－β)＝ eq \f(tan 2α－tan β,1＋tan 2αtan β) ＝ eq \f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7)) ＝1.
因为tan β＝－ eq \f(1,7) <0，所以 eq \f(π,2) <β<π，－π<2α－β<0，
所以2α－β＝－ eq \f(3π,4) .
三、解答题
12．已知函数f(x)＝sin2x＋ eq \r(3) sinx cs x.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若函数f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m)) 上的最大值为 eq \f(3,2) ，求m的最小值．
解：(1)f(x)＝ eq \f(1,2) － eq \f(1,2) cs 2x＋ eq \f(\r(3),2) sin 2x
＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) ＋ eq \f(1,2) ，
所以f(x)的周期为T＝ eq \f(2π,2) ＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) ＋ eq \f(1,2) .
由题意知－ eq \f(π,3) ≤x≤m，所以－ eq \f(5π,6) ≤2x－ eq \f(π,6) ≤2m－ eq \f(π,6) .
要使得f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m)) 上的最大值为 eq \f(3,2) ，
则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) 在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m)) 上的最大值为1.
所以2m－ eq \f(π,6) ≥ eq \f(π,2) ，即m≥ eq \f(π,3) .
所以m的最小值为 eq \f(π,3) .
[B级 素养养成与评价]
13． eq \a\vs4\al(【多选题】) 设函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) ＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) ，则( AD )
A．y＝f(x)的最小值为－ eq \r(2) ，其最小正周期为π
B．y＝f(x)的最小值为－2，其最小正周期为 eq \f(π,2)
C．y＝f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 内单调递增，其图象关于直线x＝ eq \f(π,4) 对称
D．y＝f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 内单调递减，其图象关于直线x＝ eq \f(π,2) 对称
【解析】 f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) ＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))
＝ eq \r(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋\f(\r(2),2)cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))))
＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)＋\f(π,4))) ＝ eq \r(2) cs 2x.
由f(x)＝ eq \r(2) cs 2x的图象(图略)可得，AD正确．
14．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2 eq \f(θ,2) ＝__ eq \f(1,3) __．
【解析】设OC＝r.因为AD＝3DB，且AD＋DB＝2r，所以AD＝ eq \f(3r,2) ，所以OD＝ eq \f(r,2) ，所以CD＝ eq \f(\r(3),2) r，所以tan θ＝ eq \f(CD,OD) ＝ eq \r(3) .因为tan θ＝ eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2\f(θ,2)) ＝ eq \r(3) ，所以tan eq \f(θ,2) ＝ eq \f(\r(3),3) (负值舍去)，
所以tan2 eq \f(θ,2) ＝ eq \f(1,3) .
15．已知cs2θ＝ eq \f(7,25) ， eq \f(π,2) ＜θ＜π.
(1)求tan θ的值；
(2)求 eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))) 的值．
解：(1)因为cs 2θ＝ eq \f(7,25) ，所以 eq \f(cs2θ－sin2θ,cs2θ＋sin2θ) ＝ eq \f(7,25) ，
所以 eq \f(1－tan2θ,1＋tan2θ) ＝ eq \f(7,25) ，解得tanθ＝± eq \f(3,4) ，
因为 eq \f(π,2) ＜θ＜π，所以tan θ＝－ eq \f(3,4) .
(2)因为 eq \f(π,2) ＜θ＜π，tan θ＝－ eq \f(3,4) ，
所以sin θ＝ eq \f(3,5) ，cs θ＝－ eq \f(4,5) ，
所以 eq \f(2cs2\f(θ,2)＋sinθ,\r(2)sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))) ＝ eq \f(1＋cs θ＋sin θ,cs θ＋sin θ)
＝ eq \f(1－\f(4,5)＋\f(3,5),－\f(4,5)＋\f(3,5)) ＝－4.
16．已知函数f(x)＝2sin x cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) ＋ eq \f(\r(3),2) .
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若f(α)＝ eq \f(3,5) ，且α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) ，求cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12))) 的值．
解：(1)f(x)＝2sin x cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) ＋ eq \f(\r(3),2)
＝2sin x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x－\f(\r(3),2)sin x)) ＋ eq \f(\r(3),2)
＝sin x cs x－ eq \r(3) sin2x＋ eq \f(\r(3),2)
＝ eq \f(1,2) sin2x－ eq \r(3) · eq \f(1－cs 2x,2) ＋ eq \f(\r(3),2)
＝ eq \f(1,2) sin 2x＋ eq \f(\r(3),2) cs x＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) .
令－ eq \f(π,2) ＋2kπ≤2x＋ eq \f(π,3) ≤ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z，
解得－ eq \f(5π,12) ＋kπ≤x≤ eq \f(π,12) ＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)＋kπ，\f(π,12)＋kπ)) (k∈Z).
(2)因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) ，所以 eq \f(π,3) <2α＋ eq \f(π,3) < eq \f(5π,6) .由f(α)＝ eq \f(3,5) 得，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3))) ＝ eq \f(3,5) .
又因为f(x)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) 上单调递增，
所以 eq \f(π,2) <2α＋ eq \f(π,3) < eq \f(5π,6) ，所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3))) ＝－ eq \f(4,5) ，
cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,12))) ＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))
＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3))) cs eq \f(π,4) ＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3))) sin eq \f(π,4)
＝－ eq \f(4,5) × eq \f(\r(2),2) ＋ eq \f(3,5) × eq \f(\r(2),2) ＝－ eq \f(\r(2),10) .