高中5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）同步练习题

这是一份高中5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）同步练习题，共8页。

1．下列表示函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))) 在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π)) 上的简图正确的是( A )
【解析】 当x＝π时，y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3))) ＝－ eq \f(\r(3),2) ，排除B，D；
当x＝ eq \f(π,6) 时，y＝sin 0＝0，排除C，故选A.
2． eq \a\vs4\al(【多选题】) 有下列四种变换方式，其中能将正弦函数 y＝sin x的图象变为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) 的图象的是( AB )
A．向左平移 eq \f(π,4) 个单位长度，再将横坐标变为原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)
B．横坐标变为原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，再向左平移 eq \f(π,8) 个单位长度
C．横坐标变为原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，再向左平移 eq \f(π,4) 个单位长度
D．向左平移 eq \f(π,8) 个单位长度，再将横坐标变为原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)
【解析】 A中向左平移 eq \f(π,4) 个单位长度，再将横坐标变为原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) 的图象；B中横坐标变为原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，再向左平移 eq \f(π,8) 个单位长度，正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,8))))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) 的图象；C中横坐标变为原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，再向左平移 eq \f(π,4) 个单位长度，正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) 的图象；D中向左平移 eq \f(π,8) 个单位长度，再将横坐标变为原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,8))) 的图象，因此A和B符合题意，故选AB.
3．将函数y＝sin 3x的图象向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，所得图象对应的函数( B )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数
【解析】 将函数y＝sin 3x的图象向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度，得到y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))))) ＝－cs 3x的图象，所以所得图象对应的函数是偶函数．
4．要得到函数y＝ eq \r(2) cs x的图象，只需将函数y＝ eq \r(2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) 的图象上的所有点的( C )
A．横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，再向左平移 eq \f(π,8) 个单位长度
B．横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，再向右平移 eq \f(π,4) 个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移 eq \f(π,4) 个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移 eq \f(π,8) 个单位长度
5．把函数y＝cs 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( A )
【解析】 把函数y＝cs 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cs x＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cs (x＋1)的图象，∵曲线y＝cs (x＋1)由余弦曲线y＝cs x 左移一个单位而得，∴曲线y＝cs (x＋1)经过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1，0)) 和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－1，0)) ，且在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－1，\f(3π,2)－1)) 上函数值小于0，故选A.
6．将函数y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象向左平移 eq \f(π,6) 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sin x，则( B )
A．ω＝2，φ＝ eq \f(π,6)
B．ω＝2，φ＝－ eq \f(π,3)
C．ω＝ eq \f(1,2) ，φ＝ eq \f(π,6)
D．ω＝ eq \f(1,2) ，φ＝－ eq \f(π,3)
【解析】 将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) (纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sin 2x，再将此函数的图象向右平移 eq \f(π,6) 个单位长度可得y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))))) 的图象，即y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))) 的图象，所以ω＝2，φ＝－ eq \f(π,3) .
二、填空题
7．将函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,8))) 的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标__伸长__(填“伸长”或“缩短”)为原来的__3__倍，将会得到函数y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,8))) 的图象．
【解析】 因为A＝3＞0，故将函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,8))) 的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,8))) 的图象．
8．将函数y＝sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,4) 个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是__y＝cs__2x＋1__．
【解析】 将函数y＝sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,4) 个单位长度，得到函数y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))))) ，即y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) ＝cs 2x的图象，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝cs 2x＋1.
9．要得到函数y＝sin eq \f(1,2) x的图象，只需将函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4))) 的图象向__右__平移__ eq \f(π,2) __个单位长度．
【解析】 由于y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))))) ，故要得到y＝sin eq \f(1,2) x的图象，只要将y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4))) 的图象向右平移 eq \f(π,2) 个单位长度．
10．已知函数f(x)＝sin 2x＋ eq \r(3) cs 2x的图象向右平移φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<φ<\f(π,2))) 个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则φ＝__ eq \f(5π,12) __．
【解析】 f(x)＝sin 2x＋ eq \r(3) cs 2x＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) ，将f(x)图象向右平移φ个单位长度，得到g(x)＝2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（x－φ）＋\f(π,3))) ＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－2φ＋\f(π,3))) 的图象，若g(x)的图象关于y轴对称，则－2φ＋ eq \f(π,3) ＝ eq \f(π,2) ＋kπ(k∈Z)，解得φ＝－ eq \f(kπ,2) － eq \f(π,12) .又0<φ< eq \f(π,2) ，则当k＝－1时，φ＝ eq \f(5π,12) .
11． 已知方程2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) ＋2a－1＝0在[0，π]上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是__ eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1－\r(3),2))) __．
【解析】 由2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) ＋2a－1＝0可得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) ＝－a＋ eq \f(1,2) ，又x∈[0，π]，则x＋ eq \f(π,3) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4,3)π)) ，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1)) ，
在同一坐标系中作出函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) 与函数y＝－a＋ eq \f(1,2) 的图象．
由图可知， eq \f(\r(3),2) ≤－a＋ eq \f(1,2) ＜1，即－ eq \f(1,2) ＜a≤ eq \f(1－\r(3),2) 时，两个函数的图象有两个交点．
三、解答题
12．已知函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) ＋1.
(1)用“五点法”画出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)该函数图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解：(1)列表：
描点、连线，该函数在一个周期 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(7π,8))) 上的图象如图所示．
(2)将y＝sin x的图象先向左平移 eq \f(π,4) 个单位长度，得到函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))) 的图象，然后把所得图象上所有点的横坐标变为原来的 eq \f(1,2) ，纵坐标不变，得到y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) 的图象，再将y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) 的图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) ＋1的图象．
[B级 素养养成与评价]
13． eq \a\vs4\al(【多选题】) 函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移 eq \f(π,2) 个单位长度，若所得图象与原图象重合，则ω的值可能等于( ACD )

A．4
B．6
C．8
D．12
【解析】 y＝f(x)的图象向左平移 eq \f(π,2) 个单位长度后得到y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋φ)) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,2)ω＋φ)) ，其图象与原图象重合，有 eq \f(π,2) ω＝2kπ(k∈Z)，即ω＝4k(k∈Z).故ω的值可能为4，8，12.
14．函数y＝cs (2x＋φ)(－π≤φ＜π)的图象向右平移 eq \f(π,2) 个单位长度后，与函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) 的图象重合，则φ＝__ eq \f(5π,6) __．
【解析】 将y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))) 的图象向左平移 eq \f(π,2) 个单位长度，得到y＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6))))) ＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6))) 的图象．由题意知y＝cs (2x＋φ)(－π≤φ＜π)与y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6))) 重合，故φ＝ eq \f(5π,6) .
15．设函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) ，则下列结论正确的是__①④__．(写出所有正确结论的序号)
①函数y＝f(x)的单调递减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8))) (k∈Z)；
②函数y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向左平移 eq \f(π,8) 个单位长度得到；
③函数y＝f(x)的图象的一条对称轴方程为x＝ eq \f(π,8) ；
④若x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,24)，\f(π,2))) ，则f(x)的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) .
【解析】 令2kπ＋ eq \f(π,2) ≤2x－ eq \f(π,4) ≤2kπ＋ eq \f(3π,2) (k∈Z)，解得kπ＋ eq \f(3π,8) ≤x≤kπ＋ eq \f(7π,8) (k∈Z)，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(3π,8)，kπ＋\f(7π,8))) (k∈Z)，故①正确；
由于sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,8))))) ，所以函数y＝f(x)的图象是由y＝sin 2x的图象向右平移 eq \f(π,8) 个单位长度得到的，故②错误；
令2x－ eq \f(π,4) ＝kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)，解得x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(3π,8) (k∈Z)，
所以函数y＝f(x)的图象的对称轴方程为x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(3π,8) (k∈Z)，故③错误；
由于x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,24)，\f(π,2))) ，所以2x－ eq \f(π,4) ∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(3π,4))) ，当2x－ eq \f(π,4) ＝ eq \f(3π,4) 时，f(x)min＝ eq \f(\r(2),2) ，当2x－ eq \f(π,4) ＝ eq \f(π,2) 时，f(x)max＝1，故④正确．
16．已知f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4))) .
(1)填写下表并用五点法画出f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(9π,8))) 上的简图；
(2)说明该函数图象可由y＝sin x的图象经过怎样平移和伸缩变换得到．
解：(1)列表如下：
作f(x)在x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)， \f(9π,8))) 上的简图如图所示：
(2)方法一：将y＝sin x的图象向右平移 eq \f(π,4) 个单位长度；再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) ；再把所得图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍．
方法二：将y＝sin x图象上各点的横坐标缩短到原来的 eq \f(1,2) ；再向右平移 eq \f(π,8) 个单位长度；再把所得图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍．2x＋ eq \f(π,4)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－ eq \f(π,8)
eq \f(π,8)
eq \f(3π,8)
eq \f(5π,8)
eq \f(7π,8)
y
1
2
1
0
1
x
2x－ eq \f(π,4)
y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))
x
eq \f(π,8)
eq \f(3π,8)
eq \f(5π,8)
eq \f(7π,8)
eq \f(9π,8)
2x－ eq \f(π,4)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))
0
2
0
－2
0