精品解析：湖南省衡阳市2022届高三下学期三模数学试题（解析版）

这是一份精品解析：湖南省衡阳市2022届高三下学期三模数学试题（解析版），共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数性质求解即可.
【详解】因为复数为：，所以它的实部为：；虚部为.
故选：A.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简集合A，再利用集合的交集运算求解.
【详解】解：因为集合，，
所以，
故选：B
3. 已知为角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在角终边上可得，利用诱导公式和二倍角公式化简所求式子为正余弦齐次式，根据正余弦齐次式的求法可求得结果.
【详解】为角终边上一点，，
.
故选：C.
4. 图中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”（如图），莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，若曲侧面三棱柱的高为，底面任意两顶点之间的距离为，则其体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形面积和扇形面积可求得底面弓形面积，由此可得“莱洛三角形”的面积，由棱柱的体积公式可求得结果.
【详解】由题意知：底面正三角形面积为，
底面三个小弓形的面积均为：，
底面“莱洛三角形”的面积，
“曲侧面三棱柱”的体积.
故选：B.
5. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A. 128B. 130C. 132D. 134
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得，再由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可.
【详解】由题设，，则，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为130次.
故选：B
6. 定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数满足为偶函数可知是一个周期函数，根据可判断单调性，利用周期性将自变量都转化到上，再利用单调性即可得大小关系.
【详解】因为为偶函数,所以满足,又因为是奇函数,所以故
因此即是以4为周期的周期函数.
，
当时，，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以
故选：A
7. 将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；表示事件：“《西游记》分给同学甲”；表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是（ ）
A. 事件与相互独立B. 事件与相互独立
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用古典概型的概率求得，， ， ，再逐项判断.
【详解】解：将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，共有种基本事件，
事件A包含的基本事件数为：，则，
同理，
事件AB包含的基本事件数为：，则，
事件AC包含的基本事件数为：，则，
因为，故A错误；
因为，故B错误；
因为，故C正确；
因为，故D错误；
故选：C
8. 已知双曲线：的上、下焦点分别为，，点在轴上，线段交于点，的内切圆与直线相切于点，则线段的长为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据内切圆，可得切线长相等，根据双曲线定义，可列出式子即可求解.
【详解】设，则.,因为，故故
由双曲线的定义可知，即，解得：
故选：D
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 数据93，92，92，89，93，94，95，96，100，99的极差为11
B. 已知一组样本数据，，…，的平均数为5，方差为0.1，则由这组数据得到的新样本数据，，…，的平均数为11，方差为0.2
C. 一元线性回归模型，变量增加一个单位时，则平均减少1.5个单位
D. 已知随机变量，且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，根据极差的定义求解即可；
对B，根据新数据的平均数与方程性质判断即可；
对C，根据线性回归方程的意义分析即可；
对D，根据正态分布的对称性求解即可
【详解】对A，数据93，92，92，89，93，94，95，96，100，99的极差为，故A正确；
对B，新样本数据，，…，的平均数为11，方差为，故B错误；
对C，因为中的系数为，故C正确；
对D，根据正态分布的对称性可得，故D正确；
故选：ACD
10. 已知函数的部分图象如图所示，若将函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数的解析式为
B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上单调递减
D. 是函数图象的一个对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】根据图象最大值和最小正周期可求得，由可得，由此可得；根据三角函数平移和伸缩变换可得，知A正确；由正弦型函数最小正周期求法可知B错误；利用代入检验法，结合正弦函数单调性和对称中心可知C错误，D正确.
【详解】由图象可知：，即；
又的最小正周期，则，；
，，又，，；
对于A，将横坐标缩短到原来的，可得：；
将向右平移个单位长度，可得：，A正确；
对于B，的最小正周期为，B错误；
对于C，当时，，在上不单调，C错误；
对于D，当时，，此时，是的一个对称中心，D正确.
故选：AD.
11. 已知实数，，．则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A、D利用换元整理，，，再结合基本不等式；对于B根据，代入整理；对于C，结合计算处理．
【详解】∵，则
∴，当且仅当即时等号成立
A正确；
令，则
，当且仅当即时等号成立
D正确；
∵，即，则，当且仅当时等号成立，B正确；
∵，当且仅当时等号成立
，C不正确；
故选：ABD．
12. 在正方体中，，为中点，点在线段上运动，点在棱上运动，为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ）
A. 直线平面
B. 异面直线与所成角的取值范围是
C. 的最小值为
D. 当时，三棱锥体积最大时其外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正方体的性质及线面垂直的判定定理可判断A，由题可得与所成角即为异面直线与所成角进而可判断B，利用展开图可判断C，利用椭圆的定义，多面体的外接球的性质可判断D.
【详解】连接，则，
由平面，可得，又，
∴平面，
∴，同理可得，又，
∴直线平面，故A正确；
由题可知，
故四边形为平行四边形，
故，
∴与所成角即为异面直线与所成角，
又点在线段上运动，为等边三角形，
故与所成角的取值范围是，
即异面直线与所成角的取值范围是，故B错误；
如图展开平面使共面，过作，分别交于，
则此时最小，由题可知，
即的最小值为，故C正确；
因为，所以当共面时，点的轨迹为以为焦点的椭圆，
又，故椭圆的长轴长为4，短轴长为，
故点的轨迹是以为焦点的椭球表面，
设的中点为，要使三棱锥体积最大，则点到平面的距离最大，
故当点平面，且时，三棱锥体积最大，
此时为等边三角形，设其中心为，三棱锥外接球的球心为，的外心为，连接，
则，
故，
∴三棱锥体积最大时其外接球的表面积为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 圆的圆心到直线的距离为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先得到圆的圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】圆的圆心为：，
所以圆心到直线的距离为.
故答案为：
14. 已知四边形菱形，，，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由平面向量的线性运算可将所求数量积化为，利用向量数量积的定义和运算律可求得结果.
【详解】，为中点，
.
故答案为：.
15. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则__________．
【答案】1122
【解析】
【分析】根据题意可知，当时，由可求出；当时，可证出为一个以2为首项，2为公差的等差数列，最后利用等差数列的前项和，即可求出结果.
【详解】由于数列的各项均为正数，即，
当时，，即，∴，
当时，由，可得，
两式相减得，
又∵，∴，
∴为一个以2为首项，2为公差的等差数列，
∴.
故
故答案为：1122
16. 已知函数（），若函数的极值为0，则实数__________；若函数有且仅有四个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】讨论、，利用导函数研究的单调性，结合极值求a值；由已知可得为偶函数，转化为研究在上有两个零点，应用导数研究零点和极值符号即可求范围.
【详解】当时，，即递增，无极值；
当时，，
若时，，即递减，无极值；
若时，时，递减，时，递增，此时有极小值；
综上，在且时，，可得；
由题设，，显然即为偶函数，
要有且仅有四个不同的零点，则在上有两个零点，即存在变号零点，
所以时，，故递增；
而趋向正无穷时趋于正无穷，故，即，而，存在使得，
即，且在上递减，在上递增，
由，趋向时趋于，故，只需，则或（舍），
而，则，即递增，所以.
综上，的取值范围.
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：注意分类讨论的单调性，根据极值求参数；另外写出解析式，注意其奇偶性，将问题转化为研究在上有2个不同零点情况下参数范围.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，在中，，点D在AB边上，且．
（1）求；
（2）求BC的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，结合则，准确运算，即可求解；
（2）在中，利用正弦定理求得，再利用余弦定理，即可求解.
【小问1详解】
解：由三角形的性质，可得，
因为，所以，
则
.
【小问2详解】
解：由，可得，
在中，利用正弦定理可得：，
即，
在中，，
由余弦定理可得，所以．
18. 已知等差数列的前项和为，且，，公比为2的等比数列满足．
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前项和，及使得对恒成立的最大正整数．
【答案】（1），；
（2）2022
【解析】
【分析】（1）根据基本量法求解即可；
（2）错位相减求得，再根据恒成立的方法分析的最小值即可
【小问1详解】
设等差数列的公差为，则，解得，
所以，
∵，则．
【小问2详解】
因为，
则，①
，②
①-②得
，
因此，．
对恒成立，即，
又因为，所以单调递增，
所以的最小值为，
即，，，
所以最大正整数为2022．
19. 在正四棱锥中，，，、分别是、的中点，过直线的平面分别与侧棱、交于点、．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）﹒
【解析】
【分析】(1)根据线面平行的性质即可证明；
(2)以正方形ABCD中心O为原点，OE、OP分别为x、z轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量方法即可求直线与平面所成角的正弦值．
【小问1详解】
在中，∵、分别是、的中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面，
又∵平面，平面平面，
∴，∴；
【小问2详解】
由，可得，，
取中点，以正方形的中心为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，
∵PB=，，∴OB=，∴，
则，，，，，
则，，，，
，．
设平面的法向量为，
则，取，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
20. 因新冠肺炎疫情线上学习期间，儿童及青少年电子产品的使用增多、户外活动减少，进而增加了近视发生和进展的风险．2022年春季由于奥密克戎及其变异株传染能力强、感染后缺乏特异性症状等特点，让奥密克戎防控难上加难．某市也受到了奥密克戎病毒的影响，全市中小学生又一次居家线上学习，该市某部门为了了解全市中学生的视力情况，采用分层抽样方法随机抽取了该市120名中学生，已知该市中学生男女人数比例为，统计了他们的视力情况，结果如表：
（1）请把表格补充完整，并判断是否有的把握认为近视与性别有关？
附：，其中．
（2）如果用这120名中学生男生和女生近视的频率分别代替该市中学生男生和女生近视的概率，且每名同学是否近视相互独立．现从该市中学生中任选4人，设随机变量表示4人中近视的人数，试求的分布列及其数学期望．
【答案】（1）表格见解析，有的把握认为近视与性别有关；
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）根据已知条件即可完成的列联表，根据表中数据计算观测值，对照临界值即可求解；
（2）根据已知条件得出随机变量服从二项分布，进而可以得出随机变量的分布列，再结合二项分布随机变量的期望公式即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，因为从该市随机抽取了120名中学生并且该市中学生男女人数比例为，所以该市男生人数为70人，女生人数为50人.
所以的列联表如下：
因为．
所以有的把握认为近视与性别有关．
【小问2详解】
由图表可知，男生近视的概率为，女生近视的概率为．
由该市中学生男女人数比例为，设该市共有中学生人数，可得，其中男生人数约，近视男生人数约，女生人数约，近视女生人数约，所以任取一名中学生其近视的概率为．
由题意可知，随机变量，且的所有可能取值为0、1、2、3、4，
，
，
，
，
，
．
随机变量的分布列为：
所以随机变量的数学期望．
21. 已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．
（1）求实数的值；
（2）设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，定点，为定值1
【解析】
【分析】（1）根据抛物线和过焦点的直线联立方程，根据焦点弦的计算，即可求解.
（2）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段为直径的圆经过点，转化成，可得直线过定点，再由，根据直角三角形的特征即可找到的位置，即可求解.
【小问1详解】
抛物线：化为标准方程为：，其焦点，因为斜率一定存在，设其方程为，
联立方程得：，整理得：，恒成立．
其中，，，，
因为焦点弦长，所以当时，弦长．
所以，实数的值为．
小问2详解】
由题意可知直线的斜率存在，设其方程为．
联立方程得：，整理得：，．
其中，，，，
因为以为直径的圆经过点，所以．
又因为，
∵，∴．
所以直线过定点，
又因为，所以为直角三角形，
所以当为斜边中点时，为定值，
此时．
所以定点为，为定值1．
22. 已知函数．
（1）若函数在上单调递增，求实数；
（2）从下面两个问题中选一个作答，若两个都作答，则按照作答的第一个给分．
①当时，，求实数．
②当时，，求实数．
【答案】（1）
（2）选①，；选②，.
【解析】
【分析】（1）将问题转化为恒成立且不恒为零；分别在、和的情况下，采用分离变量法即可求得的值；
（2）若选条件①，令，将问题转化为；求导后，结合零点存在定理可确定，使得，变形可得，，结合导函数正负可得最小值为，将、代入整理可得，由此可得的范围；
若选条件②，方法一：令，当时，由知不合题意；当时，求导后，结合零点存在定理可求得，由此可得；令，利用导数可求得，可知，由此可得结果；
方法二：化简得：当时，；令，可将不等式转化为，求导后可求得，由此可得；令，利用导数可求得，可知，由此可得结果.
【小问1详解】
由题意得：；
在上单调递增，恒成立且不恒为零；
当时，，则，，；
当时，；
当时，，则，，；
综上所述：实数的值为.
【小问2详解】
若选条件①，当时，，
；
令，则；
令，则，上单调递增，
又，，，使得；
则当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，；
由得：，则，
，又在上单调递增，
，，，
，解得：，即实数的取值范围为.
若选条件②，
方法一：当时，，
令，则；
i.当时，，不合题意；
ii.当时，；
令，则，在上单调递增，
又，，，使得；
则当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
；
由得：，则，
，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，即；近视
不近视
合计
男生
30
女生
40
合计
120
2.706
3.841
6.635
0.10
0.05
0.01
近视
不近视
合计
男生
30
40
70
女生
10
40
50
合计
40
80
120
0
1
2
3
4