【解析版】镇赉县胜利中学2022年九年级上期中数学试卷

这是一份【解析版】镇赉县胜利中学2022年九年级上期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2022学年吉林省白城市镇赉县胜利中学九年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．方程x2=16的解是（　　）
　 A． x=±4 B． x=4 C． x=﹣4 D． x=16
　
2．下列图形中，是圆周角的是（　　）
　 A． B． C． D．
　
3．永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（　　）
　 A． B． C． D．
　
4．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　）
　 A． （2，4） B． （﹣2，﹣4） C． （﹣4，2） D． （4，﹣2）
　
5．如图，在一幅长为60cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是3500cm2，设纸边的宽为x（cm），则x满足的方程是（　　）

　 A． （60+x）（40+x）=3500 B． （60+2x）（40+2x）=3500
　 C． （60﹣x）（40﹣x）=3500 D． （60﹣2x）（40﹣2x）=3500
　
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB边的中点，将Rt△ABC绕点M旋转，使点A与点C重合得到△CED，连接MD．若∠B=25°，则∠BMD等于（　　）

　 A． 50° B． 80° C． 90° D． 100°
　
　
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：　　　　　　．（答案不唯一）
　
8．如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k=　　　　　　．
　
9．若二次函数y=x2+mx﹣3的对称轴是x=1，则m=　　　　　　．
　
10．如图，在⊙O中，将△OAB绕点O顺时针方向旋转85°，得到△OCD．若∠BOA=45°，则∠BOC的度数为　　　　　　．

　
11．如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是　　　　　　．

　
12．如图，AB是半圆的直径，点C在半圆周上，连接AC，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动．则∠ACP的度数可以是　　　　　　．

　
13．如图，⊙O的直径为10，点A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分线AD交⊙O于点D．若∠CAB=60°，则BD的长为　　　　　　．

　
14．某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：　　　　　　．
x 0 1 2 3 4
y 3 0 ﹣2 0 3
　
　
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2﹣8x﹣1=0．
　
16．解方程：2x2+7x﹣1=6x+2．
　
17．如图，OA、OB是⊙O的半径，点C为弧AB上一点，连接OC．点D、E分别是OA、OB上的点，且AD=BE，连接CD、CE．若CD=CE．求证：∠AOC=∠BOC．

　
18．若二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2），且通过点（1，10），求这个二次函数的解析式．
　
　
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．分别在下图中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°和180°后的图形．

　
20．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
　
21．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．求平均每次下调的百分率．
　
22．如图，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接EC，AE．若AB=8，CD=2，求CE的长．

　
　
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．某商场以每件20元购进一批衬衫，若以每件40元出售，则每天可售出60件，经调查发现，如果每件衬衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，若设每件衬衫涨价x元，所获得的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求每件衬衫涨价多少元时，商场所获得的利润最多，最多是多少元？
　
24．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，3）、（1，0），连接AB将线段AB绕点B旋转90°得到线段CB．抛物线y=x2+bx﹣的图象经过点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若将线段AB向右平移，使点B恰好落在抛物线上，求线段AB扫过的面积．

　
　
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图①，点A、B、C在⊙O上，且AB=AC，P是弧AC上的一点，（点P不与点A、C重合），连接AP、BP、CP，在BP上截取BD=AP，连接CD．若∠APB=60°，解答下列问题：
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求证：△CDP是等边三角形；
（3）如图②，若点D和圆心O重合，AB=2，则PC的长为　　　　　　．
　
26．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值．

　
　

2022学年吉林省白城市镇赉县胜利中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2009•清远）方程x2=16的解是（　　）
　 A． x=±4 B． x=4 C． x=﹣4 D． x=16

考点： 解一元二次方程-直接开平方法．
分析： 用直接开方法求一元二次方程x2=16的解．
解答： 解：x2=16，
∴x=±4．
故选：A．
点评： （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
　
2．（2014秋•渭源县期末）下列图形中，是圆周角的是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 圆周角定理．
分析： 根据圆周角的定义对各选项进行判断．
解答： 解：A图中的角为圆内角，B图中的角为圆周角，C图中的角为圆心角，D图中的角为弦切角．
故选B．
点评： 本题考查了圆周角：顶点在圆周上，且两边与圆相交的角叫圆周角．
　
3．（2014•永州）永州的文化底蕴深厚，永州人民的生活健康向上，如瑶族长鼓舞，东安武术，宁远举重等，下面的四幅简笔画是从永州的文化活动中抽象出来的，其中是轴对称图形的是（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 利用轴对称设计图案．
分析： 根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，即可作出判断．
解答： 解：轴对称图形的只有C．
故选：C．
点评： 本题考查了轴对称图形的定义，解答此题要明确：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，对称轴是折痕所在的这条直线叫做对称轴．
　
4．（2013•丽水）若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　）
　 A． （2，4） B． （﹣2，﹣4） C． （﹣4，2） D． （4，﹣2）

考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
分析： 先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
解答： 解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．
　
5．（2014秋•镇赉县校级期中）如图，在一幅长为60cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是3500cm2，设纸边的宽为x（cm），则x满足的方程是（　　）

　 A． （60+x）（40+x）=3500 B． （60+2x）（40+2x）=3500
　 C． （60﹣x）（40﹣x）=3500 D． （60﹣2x）（40﹣2x）=3500

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
专题： 几何图形问题．
分析： 如果设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（40+2x）和（60+2x），根据总面积即可列出方程．
解答： 解：设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）和（40+2x），
根据题意可得出方程为：（60+2x）（40+2x）=3500，
故选B．
点评： 考查了一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．
　
6．（2013秋•孝南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB边的中点，将Rt△ABC绕点M旋转，使点A与点C重合得到△CED，连接MD．若∠B=25°，则∠BMD等于（　　）

　 A． 50° B． 80° C． 90° D． 100°

考点： 旋转的性质；直角三角形斜边上的中线．
专题： 计算题．
分析： 由∠B=25°，则∠A=65°，根据旋转的性质得MA=MC，则∠AMC=50°，从而得出∠BMD的度数．
解答： 解：∵∠B=25°，∴∠A=65°，
∵∠ACB=90°，M为AB边的中点，
∴MA=MC，
∴∠ACM=65°，
∴∠AMC=50°，
∴∠AMD=100°，
∴∠BMD=80°，
故选B．
点评： 本题考查了旋转的性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
　
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（2009•山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程：　x2=1　．（答案不唯一）

考点： 一元二次方程的解．
专题： 开放型．
分析： 可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可．
解答： 解：根据题意x=1得方程式x2=1．故本题答案不唯一，如x2=1等．
点评： 本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（y﹣1）（y+2）=0，后化为一般形式为y2+y﹣2=0．
　
8．（2014秋•镇赉县校级期中）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k=　1　．

考点： 根的判别式．
专题： 计算题．
分析： 根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4k=0，然后解一元一次方程即可．
解答： 解：根据题意得△=（﹣2）2﹣4k=0，
解得k=1．
故答案为1．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
　
9．（2014秋•渭源县期末）若二次函数y=x2+mx﹣3的对称轴是x=1，则m=　﹣2　．

考点： 二次函数的性质．
分析： 根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．
解答： 解：对称轴为直线x=﹣=﹣=1，
解得m=﹣2．
故答案为：﹣2；
点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记．
　
10．（2014秋•镇赉县校级期中）如图，在⊙O中，将△OAB绕点O顺时针方向旋转85°，得到△OCD．若∠BOA=45°，则∠BOC的度数为　40°　．


考点： 旋转的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据旋转的性质得∠AOC=85°，然后利用∠BOC=∠AOC﹣∠BOA进行计算即可．
解答： 解：∵△OAB绕点O顺时针方向旋转85°得到△OCD，
∴∠AOC=85°，
∵∠BOA=45°，
∴∠BOC=∠AOC﹣∠BOA=85°﹣45°=40°．
故答案为40°．
点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
　
11．（2014•益阳）如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是　60°　．


考点： 旋转的性质；等边三角形的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出∠EAF的度数．
解答： 解：∵将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，
∴旋转角为60°，E，F是对应点，
则∠EAF的度数为：60°．
故答案为：60°．
点评： 此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键．
　
12．（2014秋•渭源县期末）如图，AB是半圆的直径，点C在半圆周上，连接AC，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动．则∠ACP的度数可以是　60°　．


考点： 圆周角定理．
专题： 开放型．
分析： 分类讨论：当点P在点O处时，根据等腰三角形的性质易得∠ACP=30°；当点P在点B处时，根据圆周角定理易得∠ACP=90°，所以30°≤∠ACP的度数≤90°，然后在此范围内任意取一个角度即可．
解答： 解：当点P在点O处时，PC=PA，此时∠ACP=30°；
当点P在点B处时，AB为直径，此时∠ACP=90°，
所以30°≤∠ACP的度数≤90°，
故答案为60°．
点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
　
13．（2014秋•镇赉县校级期中）如图，⊙O的直径为10，点A、B、C在⊙O上，∠CAB的平分线AD交⊙O于点D．若∠CAB=60°，则BD的长为　5　．


考点： 圆周角定理；等边三角形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 连接OB、OD，如图，先根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAB=30°，再根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BAD=60°，于是可判断△OBD为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
解答： 解：连接OB、OD，如图，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠CAB=×60°=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
而OB=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴BD=OB=×10=5．
故答案为5．

点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．
　
14．（2010•莆田）某同学利用描点法画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：　y=x2﹣4x+3　．
x 0 1 2 3 4
y 3 0 ﹣2 0 3

考点： 待定系数法求二次函数解析式．
专题： 压轴题；图表型．
分析： 由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，﹣2）；可选取其他四组数据中的任意三组，用待定系数法求出抛物线的解析式．
解答： 解：选取（0，3）、（1，0）、（3，0）；
设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），则有：
a（0﹣1）（0﹣3）=3，a=1；
∴y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．
点评： 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，能够正确的判断出错误的一组数据是解答此题的关键．
　
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（2014秋•镇赉县校级期中）解方程：x2﹣8x﹣1=0．

考点： 解一元二次方程-配方法．
分析： 移项，方程两边都加上16，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解答： 解：x2﹣8x﹣1=0，
x2﹣8x=1，
x2﹣8x+16=1+16，
（x﹣4）2=17，
x﹣4=±
，．
点评： 本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方．
　
16．（2014秋•镇赉县校级期中）解方程：2x2+7x﹣1=6x+2．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．
分析： 利用因式分解法即可得（2x+3）（x﹣1）=0，继而求得答案．
解答： 解：由原方程得 2x2+x﹣3=0，
整理得（x﹣1）（2x+3）=0，
解得：x1=1，．
点评： 此题考查了因式分解法解一元二次方程的知识．此题难度不大，注意掌握十字相乘法分解因式的知识是解此题的关键．
　
17．（2014秋•镇赉县校级期中）如图，OA、OB是⊙O的半径，点C为弧AB上一点，连接OC．点D、E分别是OA、OB上的点，且AD=BE，连接CD、CE．若CD=CE．求证：∠AOC=∠BOC．


考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 证明∠AOC和∠BOC所在的三角形全等即可．
解答： 证明：∵OA=OB AD=BE，
∴OA﹣AD=OB﹣BE，
即OD=OE，
在△ODC和△OEC中，
，
∴△ODC≌△OEC（SSS）．
∴∠AOC=∠BOC．
点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质以及和圆有关的性质，两条线段或两个角在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．
　
18．（2014秋•渭源县期末）若二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2），且通过点（1，10），求这个二次函数的解析式．

考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+1）2﹣2，然后把（1，10）代入计算出a的值即可．
解答： y=3（x+1）2﹣2解：根据题意，设二次函数的解析式为y=a（x+1）2﹣2，
把（1，10）代入得a（1+1）2﹣2=10，
解得a=3，
所以二次函数的解析式为y=3（x+1）2﹣2．
点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
　
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（2014秋•镇赉县校级期中）分别在下图中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°和180°后的图形．


考点： 作图-旋转变换．
分析： 利用旋转的性质分别得出对应点位置进而得出答案．
解答： 解：如图所示：△ABC绕点O顺时针旋转90°和180°后的图形分别为：△A′B′C′，△A″B″C″．

点评： 此题主要考查了旋转变换，得出旋转后对应点位置是解题关键．
　
20．（2010•南充）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．

考点： 根的判别式；解一元二次方程-公式法．
专题： 开放型．
分析： （1）因为方程有两个不相等的实数根，△＞0，由此可求k的取值范围；
（2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．
解答： 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0，
即4k＞﹣9，解得；

（2）若k是负整数，k只能为﹣1或﹣2；
如果k=﹣1，原方程为x2﹣3x+1=0，
解得，，．
（如果k=﹣2，原方程为x2﹣3x+2=0，解得，x1=1，x2=2）
点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
　
21．（2011秋•东莞期末）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．求平均每次下调的百分率．

考点： 一元二次方程的应用．
专题： 增长率问题．
分析： 设出平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可．
解答： 解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，
6000（1﹣x）2=4860，
解得：x1=10%，x2=（不合题意，舍去）；
答：平均每次降价的百分率为10%．
点评： 此题考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2=开盘每平方米销售价格．
　
22．（2014秋•镇赉县校级期中）如图，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接EC，AE．若AB=8，CD=2，求CE的长．


考点： 垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理．
分析： 先根据垂径定理求出AC=BC，再设OB=r，则OC=r﹣CD=r﹣2，在△OBC中根据勾股定理求出r的值，进而得出OC的长，根据三角形中位线定理求出AE的长，由勾股定理即可得出结论．
解答： 解：∵AB⊥OD，AB=8，
∴AC=BC=4，
设OB=r，则OC=r﹣CD=r﹣2，
在△OBC中，OB2=OC2+BC2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5，
∴OC=5﹣2=3．
∵BE是⊙O的直径，
∵∠A=90°，
∴AE∥OD，
∵O是AB的中点，
∴OC是△ABE的中位线，
∴AE=2OC=6，
∴CE===2．
点评： 本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
　
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（2014•始兴县校级模拟）某商场以每件20元购进一批衬衫，若以每件40元出售，则每天可售出60件，经调查发现，如果每件衬衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，若设每件衬衫涨价x元，所获得的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求每件衬衫涨价多少元时，商场所获得的利润最多，最多是多少元？

考点： 二次函数的应用．
分析： （1）商场涨价后每天盈利=每件的利润×卖出的件数=（40﹣20+涨的价格）×（60﹣减少的件数），把相关数值代入即可求解；
（2）直接利用配方法求出二次函数最值即可．
解答： 解：（1）由题意可得：
y=（40﹣20+x）（60﹣2x）=﹣2x2+20x+1200；

（2）y=﹣2x2+20x+1200=﹣2（x﹣5）2+1250，
即每件衬衫涨价5元时，商场所获得的利润最多，最多是1250元．
点评： 此题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是找到销售利润的等量关系，难点是得到涨价后减少的销售量．
　
24．（2014秋•镇赉县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，3）、（1，0），连接AB将线段AB绕点B旋转90°得到线段CB．抛物线y=x2+bx﹣的图象经过点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若将线段AB向右平移，使点B恰好落在抛物线上，求线段AB扫过的面积．


考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： （1）如图，连接AC，利用勾股定理进行解答；
（2）把点C的坐标代入函数解析式，通过方程来求系数b的值；
（3）所扫过的部分平行四边形，根据平行四边形的面积公式进行解答．
解答： 解：（1）如图，连接AC．
设C（x，y）（x、y＞0）．则
，
解得 ．
故C（4，1）．

（2）由（1）知，C（4，1）．将其代入y=x2+bx﹣，得
×42+4b﹣=1，
解得 b=﹣．
则该函数的解析式为：．

（3）令y=0，则x2﹣x﹣=0，整理，得
（x+1）（x﹣3）=0，
则x1=﹣1，x2=3，
故D（3，0）．
∵B（1，0），
∴DB=2，
则S平行四边形ABDE=BD•OA=2×3=6，即线段AB扫过的面积是6．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换．此题利用待定系数法来求二次函数的解析式，这是中学阶段经常考核的知识点之一．
　
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（2014秋•镇赉县校级期中）如图①，点A、B、C在⊙O上，且AB=AC，P是弧AC上的一点，（点P不与点A、C重合），连接AP、BP、CP，在BP上截取BD=AP，连接CD．若∠APB=60°，解答下列问题：
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求证：△CDP是等边三角形；
（3）如图②，若点D和圆心O重合，AB=2，则PC的长为　　．

考点： 圆的综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）如图①，根据圆周角定理得到∠ACB=∠APB=60°，然后根据等边三角形的判定方法易得△ABC是等边三角形；
（2）如图①，由△ABC是等边三角形得BC=AC，再利用“SAS”证明△BCD≌△APC，得到CD=CP，∠BCD=∠ACP，接着证明∠DCP=60°，然后根据等边三角形的判定方法易得△CDP是等边三角形；
（3）如图②，由BP为直径，根据圆周角定理得∠PCB=90°，再利用△CDP是等边三角形得到∠OPC=60°，则∠PBC=30°；由于△ABC是等边三角形，则BC=AB=2，然后在Rt△PBC中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出PC的长．
解答： （1）证明：如图①，
∵∠ACB=∠APB=60°，
而AB=AC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）证明：如图①，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
在△BCD和△APC中，
，
∴△BCD≌△APC（SAS），
∴CD=CP，∠BCD=∠ACP，
∵∠BCD+∠ACD=60°，
∴∠ACP+∠ACD=60°，即∠DCP=60°，
∴△CDP是等边三角形；
（3）解：如图②，
∵点D和圆心O重合，即BP为直径，
∴∠PCB=90°，
∵△CDP是等边三角形，
∴∠OPC=60°，
∴∠PBC=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2，
在Rt△PBC中，∵∠PBC=30°，
∴PC=BC=．
故答案为．


点评： 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判定与性质；会运用三角形全等证明线段相等或角相等；会运用含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．
　
26．（2014•始兴县校级模拟）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；
（3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值．


考点： 二次函数综合题．
分析： （1）把点A，点C的坐标代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得出抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，令﹣x2+2x+3=0，得点B的坐标（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得出直线BC的解析式为y=﹣x+3．
（2）由△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形，得出CM∥x轴，即点M的纵坐标为3，把y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x=0或2，由PM⊥x轴，得出点P的横坐标为m=2．
（3）由抛物线的解析式可得出M（m，﹣m2+2m+3），由直线BC的解析式可得N（m，﹣m+3），由以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形，可得MN=OC=3，由方程﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，即可得无解．
解答： 解：（1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得，解得
所以抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，得点B的坐标（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得，解得
所以直线BC的解析式为y=﹣x+3．
（2）∵△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形，
∴CM∥x轴，即点M的纵坐标为3，
把y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x=0或2，
∵PM⊥x轴，
∴点P的横坐标为m=2．
（3）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，P的横坐标为m
∴M（m，﹣m2+2m+3），
∵直线BC的解析式为y=﹣x+3．
∴N（m，﹣m+3），
∵以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形，
∴MN=OC=3，
∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，化简得m2﹣3m+3=0，无解，
不存在m这样的值．
点评： 本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．