精品解析：重庆市2022届高三高考模拟调研（四）数学试题（解析版）

2022年普通高等学校招生全国统一考试

高考模拟调研卷数学（四）

数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号､姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的

“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人准考证号､姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数满足，则（    ）

A. 100 B. 10 C. 5 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的除法的运算法则和复数模的公式进行求解即可.

【详解】，

，

故选：D

2. 已知向量，则实数（    ）

A.  B.  C. 4 D. 或4

【答案】D

【解析】

【分析】先求解的坐标，转化，由数量积的坐标运算，求解即可

【详解】由题意，

故

故

解得或4

故选：D

3. 如图，是全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合在全集上的补集的公共部分和集合的交集，进行求解即可.

【详解】根据题意，阴影部分为集合分别在全集上补集的公共部分和集合的交集，

即阴影部分为.

故选：A

4. 将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面积公式进行求解即可.

【详解】边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，所以该圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为2，因此该圆锥的侧面积为，

故选：B

5. 设为空间中的四个点，则“”是“四点共面”的（    ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】由，所以直线重合或互相平行，

因此四点共面，

当是平行四边形时，显然四点共面，显然不成立，

故选：A

6. 已知两个随机变量，其中，若，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由，可得，结合正态分布的对称性，分析即得解

【详解】由题意，，

所以，

结合正态分布的对称性，

.

故选：D

7. 已知，设，若的展开式中项的系数为，则（    ）

A. 2 B. 5 C. 8 D. 11

【答案】C

【解析】

【分析】利用特例法，结合二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】令，则有；又令，则有，所以，则.

的展开式中第项为，当时，知为偶数，当，此时系数为成立，所以.

故选：C

8. 2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽､数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心､牢记使命､艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两组同心圆，每组同心圆的内外圆半径分别为1和，且每组同心圆的内圆与另一组同心圆的外圆外切（图2）.在两个“0”的区域内随机取一点，记该点取自两个内圆的概率为，取自两个外圆的公共区域的概率为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件，估算两个“0”的区域面积与两个大圆的公共部分的面积比，再利用几何概型的概率计算公式，并进行适度放缩，即可判断和选择.

【详解】设小圆与大圆的面积分别为，则，

两大圆的公共部分为两个相同的弓形，记其中一个弓形的面积为，

由两个大圆相交的弧所对应的圆心角为，知，

两个“0”的区域面积，

故，，

.

故选：.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知圆上有且仅有三个点到直线距离为1，则直线的方程可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据点到直线距离公式，结合圆的性质进行求解即可.

【详解】因为圆的半径为，圆心为，圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，

所以圆心到直线的距离为1.

A：圆心到直线的距离为，不符合题意；

B：圆心到直线的距离为，符合题意；

C：圆心到直线的距离为，符合题意；

D：圆心到直线的距离为，符合题意，

故选：BCD

10. 已知函数有唯一零点，则实数的值可以是（    ）

A.  B.  C. 0 D. 1

【答案】AD

【解析】

【分析】根据零点的定义，结合常变量分离法、导数的性质进行求解即可.

【详解】令，则有，令，则有，

所以在上单减，在上单增，当时，，，当时，故有唯一零点即或.

故选：AD

11. 已知椭圆的离心率为，短轴长为，两个焦点为，点为椭圆上一点，记，则下列结论中正确的是（    ）

A. 的周长与点的位置无关

B. 当时，的面积取到最大值

C. 的外接圆半径最小为

D. 的内切圆半径最大为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据椭圆的定义、椭圆离心率的意义，结合正弦定理和内切圆的性质逐一判断即可.

【详解】由椭圆定义知，的周长为，故A正确；显然当位于短轴端点时的面积最大，由知此时，故B错误；由正弦定理知外接圆直径，由知最大为钝角，故时取最小值，故的最小值为，故C正确；设内切圆半径为，由知，越大则越大，，故，

故选：ACD

12. 已知函数在上有且仅有两个单调递减区间，则的值可以是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】CD

【解析】

【分析】利用换元法，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.

【详解】令，因为

所以有，

由题知在有两个单减区间，

则有，即.

故选：CD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设数列的前项和为，若，且，则实数__________.

【答案】

【解析】

【分析】项和转换可得，令，可得，即，计算即得解

【详解】由题意，

故

两式相减可得：，即

令

解得：

故

解得：

故答案为：

14. 我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过__________才可驾车.

【答案】

【解析】

【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可.

【详解】当时，，

当时，函数有最大值，所以当时，饮酒后体内每血液中的酒精含量小于，

当当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时体内每血液中的酒精含量等于，

故答案为：

15. 写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式__________.

①的定义域为，值域为；

②；

③在上单调递减.

【答案】

【解析】

【分析】根据②判断函数对称性，结合①③的性质选择函数即可.

【详解】因为，

所以函数的对称轴为：，该函数可以是二次函数，

又因为的定义域为，值域为，在上单调递减，

所以该二次函数为：，

故答案为：

16. 已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为__________.

【答案】##0.75

【解析】

【分析】根据题意，记线段的中点为，由且，可得点到直线的距离为，由，根据向量的运算代入求解即可.

【详解】记线段的中点为，点到直线的距离为，

则有，解得，

由极化恒等式可得：

.

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求使得的的最大值.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的定义，结合数列第项与前项和的关系进行求解即可；

（2）运用裂项相消法进行求解即可.

【小问1详解】

由题意知，

解得，又，

所以是公差为的等差数列，则；

【小问2详解】

由题知，则，

由得，解得，所以的最大值为.

18. 在中，角的对边分别为为边的中点.

（1）用表示的长度；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用平面向量加法的几何意义，根据平面向量模的公式、平面向量数量积的运算性质、余弦定理进行求解即可；

（2）根据（1）的结论，利用三角形面积公式进行求解即可.

【小问1详解】

由知，由余弦定理知，故；

【小问2详解】

由（1）知，故，，

所以.

19. 甲､乙两人进行投篮比赛，每局比赛，甲先投，投两次，每次投中得1分，未投中不得分；接下来乙投两次，两次均投中得3分，恰有一次投中得1分，两次均末投中得分；已知甲､乙每次投篮投中的概率分别为和，且两人各次投篮是否投中相互独立.

（1）求一局比赛中，甲的得分低于乙的得分的概率；

（2）若进行两局比赛，求甲､乙的累计得分相同的概率.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】根据独立事件概率公式，结合和事件的概率公式对（1）（2）分别进行求解即可；

【小问1详解】

设一局比赛中，甲的得分为，乙的得分为，则，

，，，

，，，

则甲得分低于乙得分的概率为；

【小问2详解】

两局比赛甲的累计得分可能为，乙的累计得分可能为，故两人累计得分相同的情况有：分､分､分，两人累计均得分的概率为，

两人累计均得分的概率为，两人累计均得分的概率为，故两人累计得分相同的概率为.

20. 如图，在三棱锥中，.

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）根据二面角和线面角的定义，结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可.

【小问1详解】

设点在面内的射影为点，由知，又为直角三角形，故点为线段的中点，则面，又平面，

平面平面；

【小问2详解】

过点作的平行线交于点，则，连接，

因为面，面，

所以平面，所以面，

而面，

所以 ，所以即为二面角的平面角，故，

，则，，，

过点作于，连接，

由面面，

因为平面平面，，平面，

所以面，

即为直线与平面所成角，.

21. 已知椭圆和双曲线有相同的左右焦点，且离心率互为倒数，双曲线的渐近线与椭圆的一个交点为.

（1）求的方程；

（2）直线过与椭圆交于两点，与双曲线的左右两支分别交于两点，，求直线的方程.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据双曲线的渐近线上一点为，所以，从而可得双曲线离心率，由椭圆离心率，所以，再由椭圆的一个点，即可求得，进而求得；

（2）设直线，联立椭圆方程，利用韦达定理结合条件，即可求得参数.

【小问1详解】

由题意知，则双曲线离心率，则椭圆离心率，所以，

又，解得，所以椭圆方程为；

又，，解得，所以双曲线方程为；

【小问2详解】

由题知直线斜率，设直线，由得，

且，，

由得，

且，，

由得，解得或，

又与双曲线交于左右两支，故，

，所以直线方程为.

22. 已知为曲线上两点，且曲线在两点处的切线相互平行.

（1）若直线的斜率均为3，求的取值范围；

（2）若直线的纵截距之差恒大于，求的取值范围.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求得，根据导数几何意义，将问题转化为一元二次方程在区间上有两根，从而列出关于的不等式，进而求得其取值范围；

（2）根据，求得关于表达式，结合的范围，初步求得的范围，再结合题意，构造函数，求得的进一步范围，即可求得结果.

【小问1详解】

因为，令，解得，

即在上存在两个不等实根，

又抛物线恒过点，故有

，解得.

【小问2详解】

由题知，即，整理得，

显然，

切线的方程为，令，得纵截距为：

，同理的纵截距为，

由题知，

即，代入得，

即，令，则有，

令，则，

故在单增，又，