【解析版】津南区东南学区2022年八年级上期中数学试卷

2022学年天津市津南区东南学区八年级（上）期中数学试卷

一.选择题（每题3分，共36分）

1．n边形的每个外角都为24°，则边数n为（　　）

　 A． 13 B． 14 C． 15 D． 16

2．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　）

　 A． 13cm B． 6cm C． 5cm D． 4cm

3．已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　）

　 A． 50° B． 80° C． 50°或80° D． 40°或65°

4．张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（　　）

　 A． 带Ⅰ去 B． 带Ⅱ去 C． 带Ⅲ去 D． 三块全带去

5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（　　）

　 A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形

6．在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据（　　）

　 A． 两点之间线段最短 B． 两点确定一条直线

　 C． 三角形的稳定性 D． 矩形的四个角都是直角

7．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（　　）

　 A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （2，﹣1）

8．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（　　）厘米．

　 A． 16 B． 18 C． 26 D． 28

9．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　）

　 A． 1处 B． 2处 C． 3处 D． 4处

10．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（　　）

　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

11．△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（　　）

　 A． 1＜AB＜29 B． 4＜AB＜24 C． 5＜AB＜19 D． 9＜AB＜19

12．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个

（1）DA平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）△AED≌△AFD；（4）AD垂直BC．（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

二、填空题（每题3分，共24分）

13．等腰三角形的一个底角为30°，则顶角的度数是　　　　　　度．

14．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是　　　　　　．

15．如图，已知∠A=∠D，AB=CD，则△　　　　　　≌△　　　　　　，依据是　　　　　　（用简写形式表示）．

16．当m=　　　　　　时，点P（n﹣4，3m﹣5）与Q（2n，2m﹣10）关于x轴对称．

17．如图，直角三角形ABC，AC=3，BC=4，BA=5，CD是斜边AB上的高线，则CD=　　　　　　．

18．一个等腰三角形的两边长分别是6cm和9cm，则它的周长是　　　　　　．

19．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12cm和15cm两部分，则此三角形的底边长为　　　　　　．

20．七边形的内角和是　　　　　　．

三.作图题（每题5分，共10分）

21．已知点A和直线m，用尺规作图作出点A关于直线m的轴对称点．

22．已知：如图，△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2．

四.解答题（共6题，50分）

23．如图，已知AE⊥BC，AD平分∠BAE，∠ADB=110°，∠CAE=20°．求∠B的度数．

24．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，求证：BD=DE．

25．已知：AB=CD，AB∥DC，求证：△ABC≌△CDA．

26．已知：DA⊥AB，CA⊥AE，AB=AE，AC=AD，求证：DE=BC．

27．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，则AD与EF垂直吗？证明你的结论．

28．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．

2022学年天津市津南区东南学区八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（每题3分，共36分）

1．n边形的每个外角都为24°，则边数n为（　　）

　 A． 13 B． 14 C． 15 D． 16

考点： 多边形内角与外角．

专题： 计算题．

分析： 多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．

解答： 解：∵一个多边形的每个外角都等于24°，

∴多边形的边数为360°÷24°=15．

故选C．

点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．

2．已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（　　）

　 A． 13cm B． 6cm C． 5cm D． 4cm

考点： 三角形三边关系．

分析： 此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值．

解答： 解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小于两边之和，

即9﹣4=5，9+4=13．

∴第三边取值范围应该为：5＜第三边长度＜13，

故只有B选项符合条件．

故选：B．

点评： 本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．

3．已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　　）

　 A． 50° B． 80° C． 50°或80° D． 40°或65°

考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．

专题： 分类讨论．

分析： 因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．

解答： 解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2=80°；

②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．

故选：C．

点评： 根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论．

4．张师傅不小心将一块三角形玻璃打破成如图中的三块，他准备去店里重新配置一块与原来一模一样的，最省事的做法是（　　）

　 A． 带Ⅰ去 B． 带Ⅱ去 C． 带Ⅲ去 D． 三块全带去

考点： 全等三角形的应用．

分析： 根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带Ⅱ去．

解答： 解：由图形可知，Ⅱ有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，

所以，最省事的做法是带Ⅱ去．

故选：B．

点评： 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

5．在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（　　）

　 A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等腰三角形

考点： 三角形内角和定理．

分析： 用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．

解答： 解：∵∠A=∠B=∠C，

∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A+2∠A+3∠A=180°，

解得∠A=30°，

所以，∠B=2×30°=60°，

∠C=3×30°=90°，

所以，此三角形是直角三角形．

故选B．

点评： 本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A列出方程是解题的关键．

6．在建筑工地我们常可看见如图所示，用木条EF固定矩形门框ABCD的情形．这种做法根据（　　）

　 A． 两点之间线段最短 B． 两点确定一条直线

　 C． 三角形的稳定性 D． 矩形的四个角都是直角

考点： 三角形的稳定性．

分析： 加上EF后，原图形中具有△DEF了，故这种做法根据的是三角形的稳定性．

解答： 解：这种做法根据的是三角形的稳定性．故选C．

点评： 本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．

7．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（　　）

　 A． （﹣1，2） B． （﹣1，﹣2） C． （1，﹣2） D． （2，﹣1）

考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．

专题： 常规题型．

分析： 根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答．

解答： 解：点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）．

故选A．

点评： 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

8．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（　　）厘米．

　 A． 16 B． 18 C． 26 D． 28

考点： 线段垂直平分线的性质．

分析： 利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．

解答： 解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，

∴AE=CE，

∴AE+BE=CE+BE=10，

∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10厘米+8厘米=18厘米，

故选B．

点评： 本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

9．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（　　）

　 A． 1处 B． 2处 C． 3处 D． 4处

考点： 角平分线的性质．

专题： 应用题．

分析： 到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．

解答： 解：满足条件的有：

（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；

（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．

故选：D．

点评： 本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．

10．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（　　）

　 A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个

考点： 等边三角形的判定．

分析： 根据等边三角形的判定：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，分析并作答．

解答： 解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，

那么可由（1），（2），（4）推出等边三角形，

而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．

故选B．

点评： 本题主要考查等边三角形的判定，利用三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形这一知识点．

11．△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（　　）

　 A． 1＜AB＜29 B． 4＜AB＜24 C． 5＜AB＜19 D． 9＜AB＜19

考点： 三角形三边关系；平行四边形的性质．

分析： 延长AD至E，使DE=AD，连接CE，使得△ABD≌△ECD，则将AB和已知线段转化到一个三角形中，进而利用三角形的三边关系确定AB的范围即可．

解答： 解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．

在△ABD和△ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，

∴△ABD≌△ECD（SAS）．

∴AB=CE．

在△ACE中，根据三角形的三边关系，得

AE﹣AC＜CE＜AE+AC，

即9＜CE＜19．

则9＜AB＜19．

故选D．

点评： 解决此题的关键是通过倍长中线，构造全等三角形，把要求的线段和已知的线段放到一个三角形中，再根据三角形的三边关系进行计算．

12．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个

（1）DA平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）△AED≌△AFD；（4）AD垂直BC．（　　）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

分析： 在等腰三角形中，顶角的平分线即底边上的中线，垂线．利用三线合一的性质，进而可求解，得出结论．

解答： 解：（1）如图，∵AB=AC，BE=CF，

∴AE=AF．

又∵AD是角平分线，

∴∠1=∠2，

∴在△AED和△AFD中，，

∴△AED≌△AFD（SAS），

∴∠3=∠4，即DA平分∠EDF．故（1）正确；

∵如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，

∴△ABD≌△ACD．

又由（1）知，△AED≌△AFD，

∴△EBD≌△FCD．故（2）正确；

（3）由（1）知，△AED≌△AFD．故（3）正确；

（4）∵如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，

∴AD⊥BC，即AD垂直BC．

故（4）正确．

综上所述，正确的结论有4个．

故选：D．

点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形的性质，理解等腰三角形中线，角平分线，垂线等线段之间的区别与联系，会求一些简单的全等三角形．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．

二、填空题（每题3分，共24分）

13．等腰三角形的一个底角为30°，则顶角的度数是　120　度．

考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．

分析： 知道一个底角，由等腰三角形的性质得到另一个底角的度数，再利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题．

解答： 解：因为其底角为30°，所以顶角=180°﹣30°×2=120°．

故填120．

点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；利用三角形内角和求三角形的内角是一种很 重要的方法，要熟练掌握．

14．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，则斜边的长是　4cm　．

考点： 含30度角的直角三角形．

专题： 计算题．

分析： 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．

解答： 解：∵直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm，

∴斜边的长=2×2=4cm．

故答案为：4cm．

点评： 本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．

15．如图，已知∠A=∠D，AB=CD，则△　ABO　≌△　DCO　，依据是　AAS　（用简写形式表示）．

考点： 全等三角形的判定．菁优网版权所有

分析： 题目中已有条件∠A=∠D，AB=CD，根据图形可知对顶角∠AOB=DOC，可以根据AAS定理判定△ABO≌△DCO．

解答： 解：在△ABO和△DCO中，

∵，

∴△ABO≌△DCO（AAS），

故答案为：ABO；DCO；AAS．

点评： 此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

16．当m=　3　时，点P（n﹣4，3m﹣5）与Q（2n，2m﹣10）关于x轴对称．

考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．

分析： 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得n﹣4=2n，3m﹣5+2m﹣10=0，再计算可得m的值．

解答： 解：∵点P（n﹣4，3m﹣5）与Q（2n，2m﹣10）关于x轴对称，

∴n﹣4=2n，3m﹣5+2m﹣10=0，

解得：n=﹣4，m=3．

故答案为：3．

点评： 此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

17．如图，直角三角形ABC，AC=3，BC=4，BA=5，CD是斜边AB上的高线，则CD=　　．

考点： 三角形的面积．

分析： 首先利用勾股定理的逆定理得出△ABC为Rt△ABC，再利用S△ABC=AC×BC=AB×CD联立方程解答即可．

解答： 解：∵AC=3，BC=4，BA=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC为Rt△ABC，

∵CD是Rt△ABC斜边上的高，

∴S△ABC=AC×BC=AB×CD，

∴AB×CD=AC×BC，

即5×CD=3×4，

∴CD=2.4．

故答案为2.4．

点评： 本题考查了三角形的面积计算公式以及勾股定理，利用这些知识点解决实际问题．

18．一个等腰三角形的两边长分别是6cm和9cm，则它的周长是　21cm或24cm　．

考点： 等腰三角形的性质．

分析： 等腰三角形两边的长为6m和9m，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．

解答： 解：①当腰是6cm，底边是9cm时，能构成三角形，

则其周长=6+6+9=21cm；

②当底边是6cm，腰长是9cm时，能构成三角形，

则其周长=6+9+9=24cm．

故答案为：21cm或24cm．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调．

19．（3分）（2014秋•津南区校级期中）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12cm和15cm两部分，则此三角形的底边长为　7cm或11cm　．

考点： 等腰三角形的性质．

专题： 分类讨论．

分析： 根据题意画出图形，分情况讨论当AB+AD为15cm，BC+CD为12cm时，AB+AD为12cm，BC+CD为15cm时，设腰长为xcm，底边长为ycm，根据等腰三角形的性质列出方程组，求出值后检验是否可以组成三角形．

解答： 解：①当AB+AD为15cm，BC+CD为12cm时，

设腰AB长为xcm，底边CB长为ycm，则：

，

解得：，

经检验符合题意；

②AB+AD为12cm，BC+CD为15cm时，

设腰AB长为xcm，底边CB长为ycm，则：

，

解得：，

经检验符合题意．

故答案为：11cm或7cm．

点评： 此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．列出方程组是正确解答本题的关键．

20．七边形的内角和是　900°　．

考点： 多边形内角与外角．

分析： 由n边形的内角和是：180°（n﹣2），将n=7代入即可求得答案．

解答： 解：七边形的内角和是：180°×（7﹣2）=900°．

故答案为：900°．

点评： 此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式：n边形的内角和为180°（n﹣2）实际此题的关键．

三.作图题（每题5分，共10分）

21．已知点A和直线m，用尺规作图作出点A关于直线m的轴对称点．

考点： 作图-轴对称变换．

分析： 首先过点A作垂直于直线m的垂线，进而截取得出A的对称点．

解答： 解：如图所示：对称点A′即为所求．

点评： 此题主要考查了轴对称变换，作出过点A与直线m垂直的直线是解题关键．

22．已知：如图，△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2．

考点： 作图-轴对称变换．

分析： 根据题意作出△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2即可．

解答： 解：如图所示：

点评： 本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．

四.解答题（共6题，50分）

23．如图，已知AE⊥BC，AD平分∠BAE，∠ADB=110°，∠CAE=20°．求∠B的度数．

考点： 三角形内角和定理．

分析： 先根据AE⊥BC，∠CAE=20°求出∠C的度数，再根据∠ADB=110°求出∠DAE的度数，由AD平分∠BAE可得出∠BAD的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠B度数．

解答： 解：∵AE⊥BC，∠CAE=20°，

∴∠C=90°﹣20°=70°．

∵∠ADB是△ACD的外角，且∠ADB=110°，

∴∠ADB=∠C+∠DAC，即110°=70°+∠DAC，解得∠DAC=110°﹣70°=40°，

∴∠DAE=∠DAC﹣∠CAE=40°20°=20°．

∵AD平分∠BAE，

∴∠DAE=∠BAD=20°．

在△ABD中，

∵∠BAD=20°，∠ADB=110°，

∴∠B=180°﹣20°﹣110°=50°．

点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

24．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，求证：BD=DE．

考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的性质．

专题： 证明题．

分析： 根据等边三角形的性质可得BD平分∠ABC，求出∠CBD=30°，再根据CE=CD，利用等边对等角以及三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠E=30°，即可求出答案．

解答： 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是高，

∴∠ACB=∠ABC=60°，BD平分∠ABC，

∴∠CBD=30°，∠E+∠EDC=∠ACB=60°，

∵CD=CE，

∴∠E=∠EDC，

∴∠E=30°=∠CBD，

∴BD=DE．

点评： 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，主要考查学生的推理闹能力，解此题的关键是求出∠E=∠DBC=30°．

25．已知：AB=CD，AB∥DC，求证：△ABC≌△CDA．

考点： 全等三角形的判定．

专题： 证明题．

分析： 由平行可得∠1=∠2，加上AB=CD，且AC为公共边可证得结论．

解答： 证明：∵AB∥CD，

∴∠1=∠2，

在△ABC和△CDA中，

，

∴△ABC≌△CDA（SAS）．

点评： 本题主要考查三角形全等的判定，正确掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

26．已知：DA⊥AB，CA⊥AE，AB=AE，AC=AD，求证：DE=BC．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 根据垂直定义得出∠EAC=∠BAD=90°，求出∠EAD=∠BAC，根据SAS推出△EAD≌△BAC即可．

解答： 证明：∵DA⊥AB，CA⊥AE，

∴∠EAC=∠BAD=90°，

∴∠EAC+∠CAD=∠BAD+∠CAD，

∴∠EAD=∠BAC，

在△EAD和△BAC中

∴△EAD≌△BAC，

∴DE=BC．

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．

27．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，则AD与EF垂直吗？证明你的结论．

考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

专题： 探究型．

分析： 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△AED和Rt△AFD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后根据等腰三角形三线合一的性质解答即可．

解答： 解：AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF（角平分线的性质定理），

在Rt△AED和Rt△AFD中，，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE=AF，

又∵AD平分∠BAC，

∴AD⊥EF（等腰三角形的三线合一）．

点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键．

28．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．

解答： 证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG．

∵AD是BC边上的中线（已知），

∴DC=DB，

在△ADC和△GDB中，

∴△ADC≌△GDB（SAS），

∴∠CAD=∠G，BG=AC

又∵BE=AC，

∴BE=BG，

∴∠BED=∠G，

∵∠BED=∠AEF，

∴∠AEF=∠CAD，

即：∠AEF=∠FAE，

∴AF=EF．

点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线得到全等三角形，利用全等三角形的性质，得到对应的角相等，然后证明两线段相等．