【解析版】赣州市瑞金市2022学年七年级上期末数学试卷

江西省赣州市瑞金市2022学年七年级上学期期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共18分）

1．（3分）|﹣3|的相反数是（）

 A． 3 B． ﹣3 C．  D． ﹣

2．（3分）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（）

 A． 617×105 B． 6.17×106 C． 6.17×107 D． 0.617×108

3．（3分）下列各式中，与2a的同类项的是（）

 A． 3a B． 2ab C． ﹣3a2 D． a2b

4．（3分）将如图所示的直角三角形绕直角边AC旋转一周，所得的几何体从正面看是下图中的（）

 A．  B．  C．  D． 

5．（3分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是x km，则据题意列出的方程是（）

 A． ﹣=+ B． +=﹣

 C． ﹣=﹣ D． +10=﹣5

6．（3分）如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数的分别为﹣5和6，点E为BD的中点，那么该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段BD的中点最近的整数是（）

 A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2

二、填空题（每小题3分，共24分）

7．（3分）气温由﹣1℃上升2℃后是．

8．（3分）计算：﹣3a2﹣a2=．

9．（3分）已知3是关于x的方程2x﹣a=1的解，则a的值是．

10．（3分）点A、B、C在同一条直线上，若AB=4，BC=2，则AC等于．

11．（3分）已知|x|=3，y2=4，且x＜y，那么x+y的值是．

12．（3分）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD=150°，则∠BOC等于．

13．（3分）某种出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加0.5千米，加收0.9元（不足0.5千米按0.5千米计）．某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19.4元，则此人从甲地到乙地经过的路的最远可能值是千米．

14．（3分）在下列说法中：

①绝对值不大于3的整数有7个；

②若AC=BC，则点C为线段AB的中点；

③如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2、∠3互为补角；

④两点之间，线段最短；

⑤在等式5=0.1x的两边都除以0.1，可得等式x=0.5；

⑥方程3x﹣5=2x﹣4移项得3x﹣2x=﹣4+5．

正确的有．

三、（每小题6分，共24分）

15．（6分）计算：﹣12014﹣（1﹣1.5）2÷3×[2﹣（﹣42）]．

16．（6分）先化简，再求值：2（x2﹣+2x）﹣4（x﹣x2+1），其中x=﹣1．

17．（6分）解方程：=+1．

18．（6分）如图，点C为线段AB上一点，若线段AC=12cm，AC：CB=3：2，D、E两点分别为AC、AB的中点，求DE的长．

四、（本题共3小题，每小题8分，共24分）

19．（8分）“囧”（jiong）是最近时期网络流行语，像一个人脸郁闷的神情．如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．

（1）用含有x、y的代数式表示右图中“囧”的面积；

（2）若|x﹣8|+（y﹣4）2=0时，求此时“囧”的面积．

20．（8分）情景：试根据图中信息，解答下列问题：

（1）购买6根跳绳需元，购买12根跳绳需元．

（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有请说明理由．

21．（8分）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续向东走了1.5千米到达小红家，然后向西走了8.5千米到达小刚家，最后返回百货大楼．

（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置．（小明家用点A表示，小红家用点B表示，小刚家用点C表示）

（2）小明家与小刚家相距多远？

（3）若货车每千米耗油1.5升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？

五、（本题共2小题，每小题9分，共18分）

22．（9分）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是=ad﹣bc

例如：=1×4﹣2×3=﹣2，=（﹣1）×6﹣3×5=﹣21．按照这个规定，解答下列问题：

（1）计算的值；

（2）计算：当5x2+y=7时，的值；

（3）若=0.5，求x的值．

23．（9分）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．

（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？

（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了．

②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为元．

六、（本题共12分）

24．（12分）【问题提出】已知∠AOB=70°，∠AOD=∠AOC，∠BOD=3∠BOC（∠BOC＜45°），求∠BOC的度数．

【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决．

（1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC的度数，解答过程如下：

 设∠BOC=α，∴∠BOD=3∠BOC=3α，∴∠COD=∠BOD﹣∠BOC=2α，∴∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=2α，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，∴α=14°，∴∠BOC=14°

问：当射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数；

【问题延伸】（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数．

【问题解决】综上所述：∠BOC的度数分别是．

江西省赣州市瑞金市2022学年七年级上学期期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共18分）

1．（3分）|﹣3|的相反数是（）

 A． 3 B． ﹣3 C．  D． ﹣

考点： 绝对值；相反数．

分析： 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数．

解答： 解：|﹣3|的相反数是﹣3．

故选B．

点评： 本题考查绝对值与相反数的意义，是一道基础题．可能会混淆倒数、相反数和绝对值的概念，错误地认为﹣3的绝对值等于，或认为﹣|﹣3|=3，把绝对值符号等同于括号．

2．（3分）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（）

 A． 617×105 B． 6.17×106 C． 6.17×107 D． 0.617×108

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答： 解：将61700000用科学记数法表示为6.17×107．

故选C．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）下列各式中，与2a的同类项的是（）

 A． 3a B． 2ab C． ﹣3a2 D． a2b

考点： 同类项．

分析： 本题是同类项的定义的考查，同类项是所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的项．中的字母是a，a的指数为1，

解答： 解：2a中的字母是a，a的指数为1，

A、3a中的字母是a，a的指数为1，故A选项正确；

B、2ab中字母为a、b，故B选项错误；

C、中字母a的指数为2，故C选项错误；

D、字母与字母指数都不同，故D选项错误，

故选：A．

点评： 考查了同类项的定义．同类项一定要记住两个相同：同类项是所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同．

4．（3分）将如图所示的直角三角形绕直角边AC旋转一周，所得的几何体从正面看是下图中的（）

 A．  B．  C．  D． 

考点： 点、线、面、体．

分析： 根据直角三角形绕直角边旋转一周得到的图形是圆锥，再根据圆锥体的主视图解答．

解答： 解：Rt△ABC绕直角边AC旋转一周得到一圆锥体，

圆锥体的主视图是等腰三角形．

故选：D．

点评： 本题考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．

5．（3分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是x km，则据题意列出的方程是（）

 A． ﹣=+ B． +=﹣

 C． ﹣=﹣ D． +10=﹣5

考点： 由实际问题抽象出一元一次方程．

分析： 设他家到学校的路程是x km，根据每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟，列方程即可．

解答： 解：设他家到学校的路程是x km，

由题意得，+=﹣．

故选B．

点评： 本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．

6．（3分）如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数的分别为﹣5和6，点E为BD的中点，那么该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段BD的中点最近的整数是（）

 A． ﹣1 B． 0 C． 1 D． 2

考点： 比较线段的长短；数轴．

专题： 数形结合．

分析： 根据A、D两点在数轴上所表示的数，求得AD的长度，然后根据2AB=BC=3CD，求得AB、BD的长度，从而找到BD的中点E所表示的数．

解答： 解：∵|AD|=|6﹣（﹣5）|=11，

2AB=BC=3CD，

∴AB=1.5CD，

∴1.5CD+3CD+CD=11，

∴CD=2，

∴AB=3，

∴BD=8，

∴ED=BD=4，

∴|6﹣E|=4，

∴点E所表示的数是：6﹣4=2．

∴离线段BD的中点最近的整数是2．

故选D．

点评： 本题考查了数轴、比较线段的长短．灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．

二、填空题（每小题3分，共24分）

7．（3分）气温由﹣1℃上升2℃后是1℃．

考点： 有理数的加法．

分析： 根据上升2℃即是比原来的温度高了2℃，就是把原来的温度加上2℃即可．

解答： 解：∵气温由﹣1℃上升2℃，

∴﹣1+2=1℃．

故答案为：1℃．

点评： 此题考查了有理数的加法，要先判断正负号的意义：上升为正，下降为负，再根据有理数加法运算法则进行计算．

8．（3分）计算：﹣3a2﹣a2=﹣4a2．

考点： 合并同类项．

分析： 根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得答案．

解答： 解：原式=[﹣3+（﹣1）]a2

=﹣4a2，

故答案为：﹣4a2．

点评： 本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母部分不变．

9．（3分）已知3是关于x的方程2x﹣a=1的解，则a的值是5．

考点： 一元一次方程的解．

专题： 计算题．

分析： 由3为已知方程的解，将x=3代入方程计算，即可求出a的值．

解答： 解：由题意将x=3代入方程得：6﹣a=1，

解得：a=5．

故答案为：5

点评： 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

10．（3分）点A、B、C在同一条直线上，若AB=4，BC=2，则AC等于2或6．

考点： 两点间的距离．

分析： 分类讨论：C在线段AB上；C在线段AB的延长线上；根据线段的和差，可得答案．

解答： 解：当C在线段AB上时，由线段的和差，得AC=AB﹣BC=4﹣2=2；

当C在线段AB的延长线上时，由线段的和差，得AC=AB+BC=4+2=6．

故答案为：2或6．

点评： 本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键．

11．（3分）已知|x|=3，y2=4，且x＜y，那么x+y的值是1或7．

考点： 有理数的乘方；绝对值；有理数的加法．

分析： 根据绝对值的性质和有理数的乘方求出x、y，然后相加计算即可得解．

解答： 解：∵|x|=3，y2=4，

∴x=±3，y=±4，

∵x＜y，

∴x=±3，y=4，

当x=3，y=4时，x+y=3+4=7，

当x=﹣3，y=4时，x+y=﹣3+4=1，

所以，x+y的值是1或7．

故答案为：1或7．

点评： 本题考查了有理数的乘方，绝对值的性质，有理数的加法，解题的关键在于判断出x、y的值．

12．（3分）如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若∠AOD=150°，则∠BOC等于30°．

考点： 余角和补角．

分析： 从图可以看出，∠BOC的度数正好是两直角相加减去∠AOD的度数，从而问题可解．

解答： 解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=150°，

∴∠BOC=∠AOB+∠COD﹣∠AOD=90°+90°﹣150°=30°．

故答案为：30°．

点评： 此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．

13．（3分）某种出租车的收费标准是：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加0.5千米，加收0.9元（不足0.5千米按0.5千米计）．某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19.4元，则此人从甲地到乙地经过的路的最远可能值是11千米．

考点： 一元一次方程的应用．

分析： 根据起步价与超过3千米以后的车费的和是支付的车费，设出未知数，列出方程解答即可．

解答： 解：设从甲地到乙地的路程为x千米，根据题意列方程得，

5+（x﹣3）÷0.5×0.9=19.4，

5+1.8（x﹣3）=19.4，

5+1.8x﹣5.4=19.4，

解得x=11．

答：此人从甲地到乙地经过的路的最远是11千米．

故答案为：11．

点评： 此题主要考查分段计费问题：不超过3千米的收费与超过3千米的收费，在解答时要注意分析数据．

14．（3分）在下列说法中：

①绝对值不大于3的整数有7个；

②若AC=BC，则点C为线段AB的中点；

③如果∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2、∠3互为补角；

④两点之间，线段最短；

⑤在等式5=0.1x的两边都除以0.1，可得等式x=0.5；

⑥方程3x﹣5=2x﹣4移项得3x﹣2x=﹣4+5．

正确的有①④⑥．

考点： 余角和补角；绝对值；解一元一次方程；线段的性质：两点之间线段最短；两点间的距离．

分析： ①根据绝对值的性质即可作出判断；

②根据中点的定义即可作出判断；

③根据补角的定义即可作出判断；

④根据线段的性质即可作出判断；

⑤根据等式的性质即可作出判断；

⑥根据解一元一次方程的步骤即可作出判断．

解答： 解：①绝对值不大于3的整数有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，一共7个，原题说法正确；

②若AC=BC，则点C为线段AB垂直平分线上的点，原题说法错误；

③∠1、∠2、∠3有3个角，不符合补角的定义，原题说法错误；

④两点之间，线段最短是正确的；

⑤在等式5=0.1x的两边都除以0.1，可得等式x=50，原题说法错误；

⑥方程3x﹣5=2x﹣4移项得3x﹣2x=﹣4+5，原题说法正确．

故答案为：①④⑥．

点评： 考查了绝对值的性质，中点的定义，补角的定义，线段的性质，等式的性质，解一元一次方程，综合性较强，难度一般．

三、（每小题6分，共24分）

15．（6分）计算：﹣12014﹣（1﹣1.5）2÷3×[2﹣（﹣42）]．

考点： 有理数的混合运算．

专题： 计算题．

分析： 原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．

解答： 解：原式=﹣1﹣××18=﹣1﹣=﹣．

点评： 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．（6分）先化简，再求值：2（x2﹣+2x）﹣4（x﹣x2+1），其中x=﹣1．

考点： 整式的加减—化简求值．

专题： 计算题．

分析： 原式去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

解答： 解：原式=2x2﹣1+4x﹣4x+4x2﹣4=6x2﹣5，

当x=﹣1时，原式=6﹣5=1．

点评： 此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．（6分）解方程：=+1．

考点： 解一元一次方程．

专题： 计算题．

分析： 方程去分母，去括号，移项合并，把k系数化为1，即可求出解．

解答： 解：去分母得：2（k+1）=3（3k+1）+6，

去括号得：2k+2=9k+3+6，

移项合并得：﹣7k=7，

解得：k=﹣1．

点评： 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．

18．（6分）如图，点C为线段AB上一点，若线段AC=12cm，AC：CB=3：2，D、E两点分别为AC、AB的中点，求DE的长．

考点： 两点间的距离．

分析： 根据AC：CB=3：2，可得CB的长，根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得AD、AE的长，再根据线段的和差，可得答案．

解答： 解：由AC=12cm，AC：CB=3：2，得CB=8cm，

由线段的和差，得BA=AC+BC=12+8=20cm，

由D、E两点分别为AC、AB的中点，得

AD=0.5AC=6cm，AE=0.5AB=10cm，

由线段的和差，得DE=AE﹣AD=10﹣6=4cm．

点评： 本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．

四、（本题共3小题，每小题8分，共24分）

19．（8分）“囧”（jiong）是最近时期网络流行语，像一个人脸郁闷的神情．如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分）．设剪去的小长方形长和宽分别为x、y，剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．

（1）用含有x、y的代数式表示右图中“囧”的面积；

（2）若|x﹣8|+（y﹣4）2=0时，求此时“囧”的面积．

考点： 列代数式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；代数式求值．

分析： （1）根据图形，用正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积，列式整理即可；

（2）利用非负数的性质得出x、y的值，代入代数式进行计算即可得解．

解答： 解：（1）“囧”的面积：

20×20﹣xy×2﹣xy

=400﹣xy﹣xy

=400﹣2xy；

（2）∵|x﹣8|+（y﹣4）2=0，

∴x=8，y=4，

当x=8，y=4时，

“囧”的面积=400﹣2×8×4

=400﹣64

=336．

点评： 本题考查了列代数式和代数式求值，主要利用了正方形的面积，长方形的面积和三角形的面积公式，准确识图是解题的关键．

20．（8分）情景：试根据图中信息，解答下列问题：

（1）购买6根跳绳需150元，购买12根跳绳需240元．

（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有请说明理由．

考点： 一元一次方程的应用．

专题： 图表型．

分析： （1）根据总价=单价×数量，现价=原价×0.8，列式计算即可求解；

（2）设小红购买跳绳x根，根据等量关系：小红比小明多买2跟，付款时小红反而比小明少5元；即可列出方程求解即可．

解答： 解：（1）25×6=150（元），

25×12×0.8

=300×0.8

=240（元）．

答：购买6根跳绳需150元，购买12根跳绳需240元．

（2）有这种可能．

设小红购买跳绳x根，则

25×0.8x=25（x﹣2）﹣5，

解得x=11．

故小红购买跳绳11根．

点评： 考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

21．（8分）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了4千米到达小明家，继续向东走了1.5千米到达小红家，然后向西走了8.5千米到达小刚家，最后返回百货大楼．

（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置．（小明家用点A表示，小红家用点B表示，小刚家用点C表示）

（2）小明家与小刚家相距多远？

（3）若货车每千米耗油1.5升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？

考点： 数轴．

分析： （1）根据已知，以百货大楼为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米一辆货车从百货大楼出发，向东走了4千米，到达小明家，继续向东走了1.5千米到达小红家，然后西走了8.5千米，到达小刚家，最后返回百货大楼，则小明家、小红家和小刚家在数轴上的位置可知．

（2）用小明家的坐标减去与小刚家的坐标即可．

（3）这辆货车一共行走的路程，实际上就是4+1.5+8.5+3=17（千米），货车从出发到结束行程共耗油量=货车行驶每千米耗油量×货车行驶所走的总路程．

解答： 解：（1）如图所示：

（2）小明家与小刚家相距：4﹣（﹣3）=7（千米）；

（3）这辆货车此次送货共耗油：（4+1.5+8.5+3）×1.5=25.5（升）．

答：小明家与小刚家相距7千米，这辆货车此次送货共耗油25.5升．

点评： 本题是一道典型的有理数混合运算的应用题，同学们一定要掌握能够将应用问题转化为有理数的混合运算的能力，数轴正是表示这一问题的最好工具．如工程问题、行程问题等都是这类．

五、（本题共2小题，每小题9分，共18分）

22．（9分）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是=ad﹣bc

例如：=1×4﹣2×3=﹣2，=（﹣1）×6﹣3×5=﹣21．按照这个规定，解答下列问题：

（1）计算的值；

（2）计算：当5x2+y=7时，的值；

（3）若=0.5，求x的值．

考点： 解一元一次方程；有理数的混合运算；整式的加减—化简求值．

专题： 阅读型；新定义．

分析： （1）利用题中的新定义计算即可得到结果；

（2）原式利用新定义变形，整理后把已知等式代入计算即可求出值；

（3）已知等式利用新定义化简，计算即可求出x的值．

解答： 解：（1）根据题中的新定义得：原式=﹣40+42=2；

（2）根据题中的新定义得：原式=﹣3x2﹣3y﹣2x2+2y+2=﹣5x2﹣y+2，

把5x2+y=7代入得：原式=﹣7+2=﹣5；

（3）已知等式整理得：﹣3x﹣6﹣6x+2=0.5，

移项合并得：﹣9x=4.5，

解得：x=﹣0.5．

点评： 此题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，以及整式的加减﹣化简求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．

23．（9分）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．

（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？

（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了．

②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为2或6元．

考点： 二元一次方程的应用；一元一次方程的应用．

分析： （1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．根据买钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元建立方程，求出其解即可；

（2）①根据第一问的结论设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，求出方程的解不是整数则说明算错了；

②设单价为21元的钢笔为z支，单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，签字笔的单价为a元，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．

解答： 解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．由题意得：

30x+45（x+4）=1755，

解得：x=21，

∴毛笔的单价为：x+4=25．

答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元．

（2）①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．根据题意，得

21y+25（105﹣y）=2447．

解之得：y=44.5 （不符合题意）．

∴陈老师肯定搞错了．

②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，则根据题意，得

21z+25（105﹣z）=2447﹣a．

∴4z=178+a，

∵a、z都是整数，

∴178+a应被4整除，

∴a为偶数，又因为a为小于10元的整数，

∴a可能为2、4、6、8．

当a=2时，4z=180，z=45，符合题意；

当a=4时，4z=182，z=45.5，不符合题意；

当a=6时，4z=184，z=46，符合题意；

当a=8时，4z=186，z=46.5，不符合题意．

所以签字笔的单价可能2元或6元．

故答案为：2元或6．

点评： 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的运用及二元一次不定方程的运用，在解答时根据题意等量关系建立方程是关键．

六、（本题共12分）

24．（12分）【问题提出】已知∠AOB=70°，∠AOD=∠AOC，∠BOD=3∠BOC（∠BOC＜45°），求∠BOC的度数．

【问题思考】聪明的小明用分类讨论的方法解决．

（1）当射线OC在∠AOB的内部时，①若射线OD在∠AOC内部，如图1，可求∠BOC的度数，解答过程如下：

 设∠BOC=α，∴∠BOD=3∠BOC=3α，∴∠COD=∠BOD﹣∠BOC=2α，∴∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=2α，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2α+3α=5α=70°，∴α=14°，∴∠BOC=14°

问：当射线OC在∠AOB的内部时，②若射线OD在∠AOB外部，如图2，请你求出∠BOC的度数；

【问题延伸】（2）当射线OC在∠AOB的外部时，请你画出图形，并求∠BOC的度数．

【问题解决】综上所述：∠BOC的度数分别是14°，30°，10°，42°．

考点： 角的计算．

专题： 分类讨论．

分析： （1）②由已知条件得出∠COD、∠AOD、∠AOB与∠BOC的关系，求出∠BOC的度数；

（2）分类讨论，根据∠AOD、∠BOD．∠AOB与∠BOC的关系，得出∠BOC的度数．

解答： 解：（1）②设∠BOC=α，则∠BOD=3α，②若射线OD在∠AOB外部，

如图2：∠COD=∠BOD﹣∠BOC=2α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=，

∴∠AOB=∠BOD﹣∠AOD=3α﹣==70°，

∴α=30°．

∴∠BOC=30°；

（2）当射线OC在∠AOB外部时，根据题意，此时射线OC靠近射线OB，

∵∠BOC＜45°，∠AOD=∠AOC，

∴射线OD的位置也只有两种可能；

①若射线OD在∠AOB内部，如图3所示，

则∠COD=∠BOC+∠COD=4α，

∴∠AOB=∠BOD+∠AOD=3α+4α=7α=70°，

∴α=10°，

∴∠BOC=10°；

②若射线OD在∠AOB外部，如图4，

则∠COD=∠BOC+∠BOD=4α，

∵∠AOD=∠AOC，

∴∠AOD=∠COD=α，

∴∠AOB=∠BOD﹣∠AOD=3α﹣==70°，

∴α=42°，

∴∠BOC=42°；

综上所述：∠BOC的度数分别是14°，30°，10°，42°．

点评： 根据OC、OD的不同位置分类讨论∠BOC的计算方法；分类讨论是关键．