【解析版】利川市长顺中学2022年九年级上期中数学试卷

这是一份【解析版】利川市长顺中学2022年九年级上期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022学年湖北省恩施州利川市长顺中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1． 下列方程是一元二次方程的是（ ）
　 A． ax2+bx+c=0 B． ﹣m+1=0 C． x2﹣2x+5=x（x﹣1）D． ﹣﹣1=0

2． 下列图形中，中心对称图形有（ ）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

3． 方程x2=x的解是（ ）
　 A． x=1 B． x=0 C． x=±1 D． x=1或0

4． 关于抛物线y=x2﹣2x﹣3，下列说法错误的是（ ）
　 A． 其顶点坐标是（1，4） B． 与y轴的交点是（0，﹣3）
　 C． 对称轴是直线x=1 D． x轴的交点是（﹣1，0）和（3，0）

5． 要得到抛物线y=2（x﹣4）2﹣1，可以将抛物线y=2x2（ ）
　 A． 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
　 B． 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
　 C． 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
　 D． 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度

6． 已知如图，正方形ABCD中，P是内部一点，且点P到A、B、C三点的距离分别是1、2、3，则图中∠APB的度数是（ ）

　 A． 120˚ B． 125˚ C． 135˚ D． 150˚

7 如图，已知直径MN⊥弦AB，垂足为C，下列结论：①AC=BC；②=；③=；④AM=BM．其中正确的个数为（ ）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

8． 如图，已知A、B、C是半径为1的⊙O上三点，且四边形AOBC是平行四边形，则弦AB的长是（ ）

　 A． 2 B． C． D． 2

9． 已知抛物线y=（m﹣1）x2+4x﹣3（m为常数）与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
　 A． m B． m＜ C． m D． m，且m≠1

10． 小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程时，小明在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是8和2；小红在化简过程中写错了一次项系数，因而得到的两个根是﹣9和﹣1，你知道原来方程可以是下列哪个方程吗？（ ）
　 A． x2﹣10x+16=0 B． x2+10x+9=0 C． x2﹣10x+9=0 D． x2+10x﹣16=0

11． 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
　 A． 200（1+x）2=1000 B． 200+200×2x=1000
　 C． 200+200×3x=1000 D． 200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000

12． 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2﹣4ac＞0
其中正确的结论有（ ）

　 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个


二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13． 平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是 ．

14． 如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ．


15． 如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，当管道中水深为0.4米时，水面宽为 ．


16． 将正整数按如图所示的数阵进行排列，若用（m，n）表示第m行第n列的数，如（4，3）表示的数是9，则（10，7）表示的数是 ．



三、解答题（共8小题，满分72分）
17． 解方程
（1）3x2+4x﹣1=0
（2）（3x﹣1）2=2x（3x﹣1）
（6分）（2014秋•利川市校级期中）如图，在方格纸中A点的坐标是（3，﹣1），现将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，请你作出旋转后的图形，并写出A、B、C三点的对应点的坐标．


19． 已知关于x的方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足（x1+x2）2=1，求k的值．

20． 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？


21． 如图，已知AB是⊙O的直径，C是上半圆上异于A、B的点，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，连接BD，若∠A=30°，BC=1，求AC、BD的长．


22． 某水果经销商销售一种新上市的水果平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克经过市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间满足一次函数关系y=kx+b，且当x=5时，y=4000；x=7时，y=2000．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知该种水果本月成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润达到最大，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？最大利润是多少？（利润=售价﹣成本）

23． 如图，A、P、B、C是⊙O上四点，且∠APC=∠CPB=60˚．连接CP、BP、AP，
（1）试判断△ABC的形状，并给予证明；
（2）求证：CP=BP+AP．


24． 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，交y轴于C，顶点为D．
（1）求如图1该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图2，若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点（不与B、C重合），过E作EF与x轴垂直，交线段BC于F，设E点横坐标为x．EF的长度为L，求L关于x的函数关系式？并写出x的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标．




2022学年湖北省恩施州利川市长顺中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1． 下列方程是一元二次方程的是（ ）
　 A． ax2+bx+c=0 B． ﹣m+1=0 C． x2﹣2x+5=x（x﹣1） D． ﹣﹣1=0

考点： 一元二次方程的定义．版权所有
分析： 根据一元二次方程的定义进行判断．
解答： 解：A、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、由原方程得到：﹣x+5=0，不含二次项，属于一元一次方程，故本选项错误；
D、该方程属于分式方程，故本选项错误；
故选：B．
点评： 本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2． 下列图形中，中心对称图形有（ ）

　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 中心对称图形．版权所有
分析： 根据中心对称图形的概念求解．
解答： 解：第一个图形是中心对称图形；
第二个图形是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形；
第四个图形不是中心对称图形．
故共3个中心对称图形．
故选C．
点评： 掌握好中心对称图形的概念．中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3． 方程x2=x的解是（ ）
　 A． x=1 B． x=0 C． x=±1 D． x=1或0

考点： 解一元二次方程-因式分解法．版权所有
专题： 计算题．
分析： 方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
解答： 解：方程变形得：x2﹣x=0，即x（x﹣1）=0，
解得：x1=0，x2=1，
故选D
点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

4． 关于抛物线y=x2﹣2x﹣3，下列说法错误的是（ ）
　 A． 其顶点坐标是（1，4） B． 与y轴的交点是（0，﹣3）
　 C． 对称轴是直线x=1 D． x轴的交点是（﹣1，0）和（3，0）

考点： 二次函数的性质．版权所有
分析： 将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，即可判断A；
把x=0代入y=x2﹣2x﹣3，求出y的值，即可判断B；
根据二次函数的性质求出对称轴，即可判断C；
把y=0代入y=x2﹣2x﹣3，求出x的值，即可判断D．
解答： 解：A、∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标是（1，﹣4），故说法错误；
B、∵当x=0时，y=02﹣2×0﹣3=﹣3，∴与y轴的交点是（0，﹣3），故说法正确；
C、∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴对称轴是直线x=1，故说法正确；
D、∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或3，∴与x轴的交点是（﹣1，0）和（3，0），故说法正确．
故选A．
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x+）2+，顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣．同时考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法．

5． 要得到抛物线y=2（x﹣4）2﹣1，可以将抛物线y=2x2（ ）
　 A． 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
　 B． 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
C． 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
　 D． 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度

考点： 二次函数图象与几何变换．版权所有
分析： 找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
解答： 解：∵y=2（x﹣4）2﹣1的顶点坐标为（4，﹣1），y=2x2的顶点坐标为（0，0），源:学|科|网]
∴将抛物线y=2x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y=2（x﹣4）2﹣1．
故选A．
点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．

6． 已知如图，正方形ABCD中，P是内部一点，且点P到A、B、C三点的距离分别是1、2、3，则图中∠APB的度数是（ ）

　 A． 120˚ B． 125˚ C． 135˚ D． 150˚

考点： 旋转的性质；勾股定理的逆定理．版权所有
分析： 将三角形APB绕B点旋转90°得三角形CQB，连接PQ，由旋转的性质得到∠APB=∠BQC，CQ=AP=1，∠PBQ=90°，PB=QB=2，则∠PQB=∠BPQ=45°，PQ=2，所以PC2=CQ2+PQ2，根据勾股定理的逆定理得到△PQC为直角三角形，得到∠CQB的大小，即可得到∠APB的大小．
解答： 解：将三角形APB绕B点旋转90°得△CQB，连接PQ，如图，
则△CPQ≌△APB，
∴∠APB=∠BQC，CQ=AP=1，
∵∠PBQ=90°，PB=QB=2，
∴∠PQB=∠BPQ=45°，PQ=2，
而PC=3，
∴PC2=CQ2+PQ2，
∴∠PQC=90°
∴∠APB=∠CQB=∠PQB+∠PQC=135°．
故选C．

点评： 本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及勾股定理的逆定理．注意旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．

7． 如图，已知直径MN⊥弦AB，垂足为C，下列结论：①AC=BC；②=；③=；④AM=BM．其中正确的个数为（ ）

　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．版权所有
分析： 根据垂径定理得出AC=BC，弧AN=弧BN，弧AM=弧BM，推出AM=BM即可．
解答： 解：∵直径MN⊥弦AB，
∴AC=BC，弧AN=弧BN，弧AM=弧BM，
∴AM=BM，
即①②③④都正确，
故选D．
点评： 本题考查了垂径定理和圆心角、弧、弦之间的关系的应用，主要考查学生的推理能力．

8． 如图，已知A、B、C是半径为1的⊙O上三点，且四边形AOBC是平行四边形，则弦AB的长是（ ）

　 A． 2 B． C． D． 2

考点： 菱形的判定与性质；垂径定理．版权所有
分析： 如图，连接CO交AB于点E，在圆O上取一点D，连接AD、BD．由“平行四边形的对角相等”推知∠AOB=∠C；然后根据“圆内接四边形的对角互补”求得∠D+∠C=180°；最后由圆周角定理、等量代换求得∠AOB+∠AOB=180°．
解答： 解：如图，连接CO交AB于点E，在圆O上取一点D，连接AD、BD．
∵四边形AOBC是平行四边形，OA=OB，
∴平行四边形AOBC为菱形，
∴AB⊥OC．
∵OC是半径，
∴BE=AB．
又∠D=∠AOB，∠ACB+∠D=180°，
∴∠AOB+∠AOB=180°，
∴∠AOB=120°，
∴∠BOE=60°，
在Rt△BOE中，BE=OB•sin60°=1×=，
则AB=2BE=．
故选：B．

点评： 本题考查了菱形的判定与性质，垂径定理．解题时，借用了圆内接四边形的性质．

9． 已知抛物线y=（m﹣1）x2+4x﹣3（m为常数）与x轴有两个交点，则m的取值范围是（ ）
　 A． m B． m＜ C． m D． m，且m≠1

考点： 抛物线与x轴的交点．版权所有
分析： 根据b2﹣4ac与0的关系即可判断出二次函数y=（m+1）x2+4mx+4m﹣3的图象与x轴交点的个数．
解答： 解：∵y=（m﹣1）x2+4x﹣3（m为常数）与x轴有两个交点，
∴△=16﹣4（m﹣1）（﹣3）＞0，且m﹣1≠0
解得m，且m≠1．
故选：D．
点评： 本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断：
（1）当b2﹣4ac＞0时，二次函数ax2+bx+c+2=0的图象与x轴有两个交点；
（2）当b2﹣4ac=0时，二次函数ax2+bx+c+2=0的图象与x轴有一个交点；
（3）当b2﹣4ac＜时，二次函数ax2+bx+c+2=0的图象与x轴没有交点．

10 而得到方程的两个根是8和2；小红在化简过程中写错了一次项系数，因而得到的两个根是﹣9和﹣1，你知道原来方程可以是下列哪个方程吗？（ ）
　 A． x2﹣10x+16=0 B． x2+10x+9=0 C． x2﹣10x+9=0 D． x2+10x﹣16=0

考点： 根与系数的关系．版权所有
分析： 先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是8和2和两个根是﹣9和﹣1，得出α+β=﹣=10，αβ==9，从而得出符合题意的方程．
解答： 解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：
α+β=﹣=10，αβ==9，
则以α、β为根的一元二次方程是x2﹣10x+9=0．
故选C．
点评： 本题主要考查了根与系数的关系及用配方法解一元二次方程，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．

11． 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）
　 A． 200（1+x）2=1000 B． 200+200×2x=1000
　 C． 200+200×3x=1000 D． 200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有
专题： 增长率问题．
分析： 先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
解答： 解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为200×（1+x），
∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，
∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，
即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．
故选：D．
点评： 考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．

12． 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2﹣4ac＞0
其中正确的结论有（ ）

　 A．2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

考点： 二次函数图象与系数的关系．版权所有
分析： 首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据x=﹣1的函数值可以确定a+c＞b是否成立，根据图象和x=2的函数值可确定4a+2b+c的取值范围，根据对称轴为x=1=﹣可确定2a+b与0的大小，根据抛物线与x轴的交点个数确定b2﹣4ac的取值范围．
解答： 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=1=﹣，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
根据图象知道当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故②错误；
∵x=0时y＞0，对称轴为x=1，
∴x=2时y＞0，即4a+2b+c＞0，故③正确；
∵对称轴x=1=﹣，
∴2a=﹣b，
∴2a+b=0，故④正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故⑤正确．
正确的有3个，
故选C．
点评： 此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．

二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13． 平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是 （2，﹣3） ．

考点： 关于原点对称的点的坐标．版权所有
专题： 计算题．
分析： 平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案．
解答： 解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
点评： 本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．

14． 如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 ﹣1＜x＜3 ．


考点： 二次函数与不等式（组）．版权所有
专题： 计算题．
分析： 利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＜0的解集．
解答： 解：由图象得：对称轴是x=1，其中一个点的坐标为（3，0）
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）
利用图象可知：
ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，
∴﹣1＜x＜3
故填：﹣1＜x＜3
点评： 此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型．

15． 如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，当管道中水深为0.4米时，水面宽为 1.6米 ．


考点： 垂径定理的应用；勾股定理．版权所有
分析： 过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，由垂径定理可知AD=AB，再OA=1米，则OD=0.6米，再在Rt△OAD中利用勾股定理即可求出AD的值，进而求出AB=2AD
解答： 解：过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，则AD=AB．
∵⊙O的直径为2米，
∴OE=1米．
又∵DE=0.4米，
∴OD=OE﹣DE=0.6米，
在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2，即12=AD2+0.62，
解得AD=0.8米，
故此输水管道的直径=2AD=1.6米．
故答案是：1.6米．

点评： 本题考查的是垂径定理的应用，根据题意画出图形，作出辅助线，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解是解答此题的关键．

16． 将正整数按如图所示的数阵进行排列，若用（m，n）表示第m行第n列的数，如（4，3）表示的数是9，则（10，7）表示的数是 52 ．


考点： 规律型：数字的变化类．版权所有
分析： 根据（4，3）表示整数9，对图中给出的有序数对进行分析，可以发现：对所有数对（m，n）[n≤m]有：（m，n）=（1+2+3+…+m﹣1）+n=+n，然后代入即可得出答案．
解答： 解：若用有序数对（m，n）表示从上到下第m排，从左到右第n个数，
对如图中给出的有序数对和（4，3）表示整数9可得，
（4，3）=+3=8；
（3，1）=+1=4；
（…，
由此可以发现，对所有数对（m，n）[n≤m]有：
（m，n）=（1+2+3+…+m﹣1）+n=++n，
则（10，7）表示整数是：（1+2+3+…+9）+7=52．
故答案为：52．
点评： 此题主要考查数字的变化规律，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形、数值、数列等已知条件，认真分析，找出规律解决问题．

三、解答题（共8小题，满分72分）
17． 解方程
（1）3x2+4x﹣1=0
（2）（3x﹣1）2=2x（3x﹣1）

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．版权所有
分析： （1）先根据方程确定二次项系数，一次项系数，常数项，即a=3，b=4，c=﹣1，再代入求根公式x=即可求解．
（2）先移项、把（3x﹣1）看作一个整体，因式分解即可求解．
解答： 解：（1）∵a=3，b=4，c=﹣1，
∴b2﹣4ac=28，
∴x==，即x1=，x2=；

（2）（3x﹣1）2=2x（3x﹣1），
（3x﹣1）2﹣2x（3x﹣1）=0，
（3x﹣1）（3x﹣1﹣2x）=0，
（3x﹣1）（x﹣1）=0，
解得x1=，x2=1．
点评： 此题考查了一元二次方程的解法．此题难度不大，注意解题时选择适当的解题方法，注意整体思想的运用．

18． 如图，在方格纸中A点的坐标是（3，﹣1），现将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1，请你作出旋转后的图形，并写出A、B、C三点的对应点的坐标．


考点： 作图-旋转变换．版权所有
专题： 网格型．
分析： 根据旋转角度、旋转中心、旋转方向找到各点的对应点，顺次连接可得△A1B1C1，结合直角坐标系可得对应点的坐标．
解答： 解：建立直角坐标系，画出图形如下：

点A1（1，3），B1（4，2），C1（2，5）．
点评： 本题考查了旋转作图的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到旋转三要素及对应点位置．
19． 已知关于x的方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根x1，x2，且满足（x1+x2）2=1，求k的值．

考点： 根与系数的关系；一元二次方程的定义；根的判别式．版权所有
分析： 根据一元二次方程的根与系数的关系来求出k的值，并用根的判别式确定k的取值范围．
解答： 解：∵a=k，b=2，c=﹣1，
又方程有实数根，
∴，，
∴（x1+x2）2===1，
解得k=±2．
∵△=b2﹣4ac=4+4k＞0，
∴k＞﹣1且k≠0，
故k=﹣2舍去，
∴k值为2．
点评： 本题考查一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系．

20． 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？


考点： 一元二次方程的应用．版权所有
专题： 几何图形问题．
分析： 本题有多种解法．设的对象不同则列的一元二次方程不同．设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．
解答： 解：解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）=288，
∴2（x﹣2）2=288，
∴（x﹣2）2=144，
∴x﹣2=±12，
解得：x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14，
所以x=14，2x=2×14=28．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．

解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为xm．根据题意，得（x﹣2）•（x﹣4）=288．
解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．
所以x=28，x=×28=14．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
点评： 解答此题，要运用含x的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关系列方程．

21． 如图，已知AB是⊙O的直径，C是上半圆上异于A、B的点，CD平分∠ACB，交⊙O于点D，连接BD，若∠A=30°，BC=1，求AC、BD的长．


考点： 圆周角定理；勾股定理；等腰直角三角形．版权所有
分析： 利用圆周角定理可得∠ACB=90°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB长，再利用勾股定理可得AC长；连接AD、BD，根据圆周角定理可得AD=BD，再利用勾股定理计算出BD长即可．
解答： 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，
∴BC=AB，
∵BC=1，
∴AB=2，
∴AC==，
连接AD、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∵AD2+BD2=AB2，
∴AD=．

点评： 此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

22． 某水果经销商销售一种新上市的水果平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克经过市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间满足一次函数关系y=kx+b，且当x=5时，y=4000；x=7时，y=2000．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知该种水果本月成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润达到最大，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？最大利润是多少？（利润=售价﹣成本）

考点： 二次函数的应用．版权所有
分析： （1）由待定系数法把x=5时，y=4000；x=7时，y=2000代入解析式y=kx+b求出k、b的值即可；
（2）设总利润为W元，由利润=售价﹣成本，表示出W与x之间的函数关系式，根据二次函数的解析式的性质就可以求出结论．
解答： 解：（1）由题意，得
，
解得：，
∴y=﹣1000x+9000．
答：y与x'之间的函数关系式为：y=﹣1000x+9000；
（2）总利润为W元，由题意，得
W=（﹣1000x+9000）×（x﹣4），
W=﹣1000x2+13000x﹣36000，
W=﹣1000（x﹣6.5）2+6250
∴a=﹣1000＜0，
∴x=6.5时，W最大=6250．
∴水果价格每千克应调低至6.5元，最大利润是6250元．
点评： 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，销售问题的数量关系利润=售价﹣成本的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

23． 如图，A、P、B、C是⊙O上四点，且∠APC=∠CPB=60˚．连接CP、BP、AP，
（1）试判断△ABC的形状，并给予证明；
（2）求证：CP=BP+AP．


考点： 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．版权所有
分析： （1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得．
解答： 证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．

点评： 本题考查了圆周角定理以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．

24． 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，交y轴于C，顶点为D．
（1）求如图1该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图2，若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点（不与B、C重合），过E作EF与x轴垂直，交线段BC于F，设E点横坐标为x．EF的长度为L，求L关于x的函数关系式？并写出x的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标．


考点： 二次函数综合题．版权所有
分析： （1）根据待定系数法求函数解析式的方法，将点A、B代入函数解析式，列出方程组即可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）令x=0时，可得C的坐标，令y=0时，可求得A，B的坐标，再利用S△ABC=AB•OC即可求出答案，
（3）先求出BC的解析式，得出点F的坐标，由L=点E的纵坐标﹣点F的纵坐标求解可得出L关于x的函数关系式，即可求出线段EF的最大值及此时E点的坐标．
解答： 解：（1）∵将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得，，
解得，
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，
∴D的坐标为（﹣1，4）．
（2）∵抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，
∴令x=0时，得y=3，即C（0，3），
令y=0时，0=﹣x2﹣2x+3，解得x1=﹣3，x2=1，即B（﹣3，0），A（1，0）．
∴S△ABC=AB•OC=×4×3=6，
（3）设BC的解析式为y=kx+b，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入求得BC的解析式为y=x+3，
∵E点横坐标为x，EF与x轴垂直，
∴E（x，﹣x2﹣2x+3），F（x，x+3），
∴L=﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣3x （﹣3＜x＜0），
∵L=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，
∴线段EF的值最大是，此时E点的坐标（﹣，）．
点评： 此题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，解题的关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识．