【解析版】沙溪中学2022年八年级上第一次月考数学试卷

这是一份【解析版】沙溪中学2022年八年级上第一次月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

福建省莆田市仙游县郊尾沙溪中学2022学年八年级上学期第一次月考数学试卷

一、选择题（每个小题4分，共32分）
1．（4分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）
A． 2cm，3cm，5cm B． 3cm，3cm，6cm C． 2cm，5cm，8cm D． 4cm，5cm，6cm

2．（4分）下列图形中有稳定性的是（）
A． 正方形 B． 长方形 C． 直角三角形 D． 平行四边形

3．（4分）下列各组图形中，是全等形的是（）
A． 两个含60°角的直角三角形
B． 腰对应相等的两个等腰直角三角形
C． 边长为3和5的两个等腰三角形
D． 一个钝角相等的两个等腰三角形

4．（4分）等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为（）
A． 50° B． 65° C． 80° D． 50°或80°

5．（4分）下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是（）
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④

6．（4分）已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）

A． ∠A与∠D互为余角 B． ∠A=∠2
C． △ABC≌△CED D． ∠1=∠2

7．（4分）已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个
（1）DA平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）△AED≌△AFD；（4）AD垂直BC．（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

8．（4分）△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）
A． 1＜AB＜29 B． 4＜AB＜24 C． 5＜AB＜19 D． 9＜AB＜19


二．填空题（每空4分，共32分）
9．（4分）在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，则∠C的度数为．

10．（4分）已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为．

11．（4分）如图，AB、CD相交于点O，AD=CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是．


12．（4分）如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=度．


13．（4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．

14．（4分）如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是．


15．（4分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是18cm2，AC=8cm，DE=2cm，则AB的长是．


16．（4分）如图用火柴摆去系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时（即n=10）时，需要的火柴棒总数为根．



三．解答题：（共86分）
17．（8分）如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°，求∠A和∠D．


18．（8分）如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，试说明△ABD与△ACE全等．


19．（8分）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=50°，求∠ACD的度数．


20．（8分）已知：如图，AB=DC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．


21．（8分）已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：BD=CE．


22．（10分）已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，
（1）求证：△BEC≌△DEA；
（2）求证：BC⊥FD．


23．（10分）如图，已知BD为△ABC的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD于F．于是小白说：“BE+BF=2BD”．你认为他的判断对吗？为什么？


24．（12分）已知，如图，AC=AD，BC=BD，O为AB上一点，
求证：OC=OD．


25．（14分）如图（1），在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发分别以每分钟1各单位的速度油B向C和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点s时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D，P处，请问：
（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？为什么？
（2）问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小有无变化？请证明你的结论．
（3）若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行，BD与AP交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了吗？若无变化，请证明．若有变化，请直接写出∠DQA的度数．




福建省莆田市仙游县郊尾沙溪中学2022学年八年级上学期第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每个小题4分，共32分）
1．（4分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）
A． 2cm，3cm，5cm B． 3cm，3cm，6cm C． 2cm，5cm，8cm D． 4cm，5cm，6cm

考点： 三角形三边关系．
专题： 计算题．
分析： 根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．
解答： 解：A、2+3=5，不能构成三角形；
B、3+3=6，不能构成三角形；
C、2+5＜8，不能构成三角形；
D、4+5＞6，能构成三角形．
故选D．
点评： 考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．

2．（4分）下列图形中有稳定性的是（）
A． 正方形 B． 长方形 C． 直角三角形 D． 平行四边形

考点： 三角形的稳定性．
分析： 稳定性是三角形的特性．
解答： 解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有直角三角形具有稳定性．
故选：C．
点评： 稳定性是三角形的特性，这一点需要记忆．

3．（4分）下列各组图形中，是全等形的是（）
A． 两个含60°角的直角三角形
B． 腰对应相等的两个等腰直角三角形
C． 边长为3和5的两个等腰三角形
D． 一个钝角相等的两个等腰三角形

考点： 全等三角形的判定．
分析： 综合运用判定方法判断．做题时根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证．
解答： 解：两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；
腰对应相等的两个等腰直角三角形，符合AAS或ASA，或SAS，是全等形；
边长为3和5的两个等腰三角形有可能是3，3，5或5，5，3不一定全等对应关系不明确不一定全等；
一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形．
故选B．
点评： 本题考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，还要找准对应关系．

4．（4分）等腰三角形一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角可能为（）
A． 50° B． 65° C． 80° D． 50°或80°

考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
专题： 分类讨论．
分析： 分两种情况：当50°角为等腰三角形的顶角时，可得出顶角的度数；当50°角为等腰三角形的底角时，可得两底角的度数，根据三角形的内角和定理可求出此时等腰三角形的顶角，综上，得到等腰三角形顶角的所有可能值．
解答： 解：分两种情况：
当50°角为等腰三角形的顶角时，此时等腰三角形的顶角50°；
当50°角为等腰三角形的底角时，此时等腰三角形的顶角为：180°﹣50°×2=80°，
综上，等腰三角形的顶角为50°或80°．
故选D．
点评： 此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，利用了分类讨论的数学思想，是一道易错题．本题有两解，学生做题时注意不要漏解．

5．（4分）下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形的面积相等．其中正确的是（）
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④

考点： 全等三角形的性质．
分析： 根据全等三角形的性质对各小题分析判断即可得解．
解答： 解：①全等三角形的对应边相等，正确；
②面积相等的两个三角形全等，错误；
③周长相等的两个三角形全等，错误；
④全等的两个三角形的面积相等，正确；
综上所述，正确的是①④．
故选D．
点评： 本题考查了全等三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

6．（4分）已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）

A． ∠A与∠D互为余角 B． ∠A=∠2
C． △ABC≌△CED D． ∠1=∠2

考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 先根据角角边证明△ABC与△CED全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．
解答： 解：∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠B=90°，
∴∠1+∠A=90°，
∴∠A=∠2，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
故B、C选项正确；
∵∠2+∠D=90°，
∴∠A+∠D=90°，
故A选项正确；
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∠1+∠2=90°，
故D选项错误．
故选D．
点评： 本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．

7．（4分）已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个
（1）DA平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）△AED≌△AFD；（4）AD垂直BC．（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析： 在等腰三角形中，顶角的平分线即底边上的中线，垂线．利用三线合一的性质，进而可求解，得出结论．
解答： 解：（1）如图，∵AB=AC，BE=CF，
∴AE=AF．
又∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2，
∴在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴∠3=∠4，即DA平分∠EDF．故（1）正确；

∵如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，
∴△ABD≌△ACD．
又由（1）知，△AED≌△AFD，
∴△EBD≌△FCD．故（2）正确；

（3）由（1）知，△AED≌△AFD．故（3）正确；

（4）∵如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，即AD垂直BC．
故（4）正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．

点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形的性质，理解等腰三角形中线，角平分线，垂线等线段之间的区别与联系，会求一些简单的全等三角形．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．

8．（4分）△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）
A． 1＜AB＜29 B． 4＜AB＜24 C． 5＜AB＜19 D． 9＜AB＜19

考点： 三角形三边关系；平行四边形的性质．
分析： 延长AD至E，使DE=AD，连接CE，使得△ABD≌△ECD，则将AB和已知线段转化到一个三角形中，进而利用三角形的三边关系确定AB的范围即可．
解答： 解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．
在△ABD和△ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，
∴△ABD≌△ECD（SAS）．
∴AB=CE．
在△ACE中，根据三角形的三边关系，得
AE﹣AC＜CE＜AE+AC，
即9＜CE＜19．
则9＜AB＜19．
故选D．

点评： 解决此题的关键是通过倍长中线，构造全等三角形，把要求的线段和已知的线段放到一个三角形中，再根据三角形的三边关系进行计算．

二．填空题（每空4分，共32分）
9．（4分）在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，则∠C的度数为60°．

考点： 三角形内角和定理．
分析： 在△ABC中，根据三角形内角和是180度来求∠C的度数．
解答： 解：∵三角形的内角和是180°
又∠A=40°，∠B=80°
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B
=180°﹣40°﹣80°
=60°．
故答案为：60°．
点评： 本题考查了三角形内角和定理．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．

10．（4分）已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为12．

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析： 根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
解答： 解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2=12．
故答案为：12．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．

11．（4分）如图，AB、CD相交于点O，AD=CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB，你补充的条件是∠A=∠C或∠ADO=∠CBO．


考点： 全等三角形的判定．
专题： 开放型．
分析： 本题证明两三角形全等的三个条件中已经具备一边和一角，所以只要再添加一组对应角或边相等即可．
解答： 解：添加条件可以是：∠A=∠C或∠ADC=∠ABC．
∵添加∠A=∠C根据AAS判定△AOD≌△COB，
添加∠ADC=∠ABC根据ASA判定△AOD≌△COB，
故填空答案：∠A=∠C或∠ADC=∠ABC．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．

12．（4分）如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=20度．


考点： 三角形内角和定理；平行线的性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据平行线的性质和三角形的内角和定理求得．
解答： 解：∵AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，
∴∠CBD=∠1=130°．
∵∠BDC=∠2，
∴∠BDC=30°．
在△BCD中，∠CBD=130°，∠BDC=30°，
∴∠C=180°﹣130°﹣30°=20°．
点评： 本题应用的知识点为：三角形的外角与内角的关系及两直线平行，同位角相等．

13．（4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6．

考点： 多边形内角与外角．
专题： 计算题．
分析： 利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
解答： 解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．

14．（4分）如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是6．


考点： 三角形的面积．
专题： 计算题．
分析： 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答．
解答： 解：∵AD是BC上的中线，
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴S△ABE=S△BED=S△ABD，
∴S△ABE=S△ABC，
∵△ABC的面积是24，
∴S△ABE=×24=6．
故答案为：6．
点评： 本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．

15．（4分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是18cm2，AC=8cm，DE=2cm，则AB的长是10cm．


考点： 角平分线的性质．
分析： 根据角平分线性质求出DE=DF=2cm，根据三角形面积公式得出方程AB×2+×8×2=18，求出即可．
解答： 解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE=2cm，
∴DF=DE=2cm，
∵△ABC面积是18cm2，
∴S△ABD+S△ACD=S△ABC=18cm2，
∵AC=8cm，DE=DF=2cm，
∴AB×2+×8×2=18，
∴AB=10（cm），
故答案为：10cm．
点评： 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出DF长和得出关于AB的方程．

16．（4分）如图用火柴摆去系列图案，按这种方式摆下去，当每边摆10根时（即n=10）时，需要的火柴棒总数为165根．


考点： 规律型：图形的变化类．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 本题根据图形可知：第一个图形用3根火柴，即3×1，第二个图形用9根火柴，即3×（1+2），第三个图形用18根火柴，即3（1+2+3），当n=10的时候，即3×（1+2+3+…+9+10）
解答： 解：通过图形变化可知：
n=1时 火柴棒总数为 3×1
n=2时 火柴棒总数为 3×（1+2），
n=3时 火柴棒总数为 3（1+2+3），
∴n=10时 火柴棒总数为 3×（1+2+3+…+9+10）
故答案为165
点评： 主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

三．解答题：（共86分）
17．（8分）如图所示，直线AD和BC相交于O，AB∥CD，∠AOC=95°，∠B=50°，求∠A和∠D．


考点： 三角形的外角性质；平行线的性质．
专题： 计算题．
分析： 先根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠A，再根据两直线平行，内错角相等得到∠D等于∠A．
解答： 解：在△ABO中，∵∠AOC=95°，∠B=50°，
∴∠A=∠AOC﹣∠B=95°﹣50°=45°；
∵AB∥CD，
∴∠D=∠A=45°．
点评： 本题主要考查三角形的外角性质和两直线平行，内错角相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

18．（8分）如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，试说明△ABD与△ACE全等．


考点： 全等三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： 由∠1=∠2，可得∠CAE=∠BAD，进而利用两边夹一角，证明全等．
解答： 证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
点评： 本题考查了全等三角形的判定；能够熟练掌握三角形的判定方法来证明三角形的全等问题，由∠1=∠2得∠CAE=∠BAD是解决本题的关键．

19．（8分）如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠D=50°，求∠ACD的度数．


考点： 三角形的外角性质；直角三角形的性质．
分析： 先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
解答： 解：∵DF⊥AB于点F，
∴∠BFD=90°．
∵△BDF中，∠D=50°，
∴∠B=90°﹣50°=40°．
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B=35°+40°=75°．
点评： 本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．

20．（8分）已知：如图，AB=DC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．


考点： 全等三角形的判定与性质；平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 求出AC=BD，根据SSS证出△AEC≌△BFD，推出∠A=∠FBD，根据全等三角形的判定推出即可．
解答： 证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=BD，
在△AEC和△BFD中，
，
∴△AEC≌△BFD（SSS），
∴∠A=∠FBD，
∴AE∥BF．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解此题的关键是推出△AEC≌△BFD，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

21．（8分）已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：BD=CE．


考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 由两角和夹边即可得出△ABE≌△ACD，由全等三角形的性质可到AE=AD，进而可得出结论BD=CE．
解答： 证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE=AD，
∵BD=AB﹣AD，CE=AC﹣AE，
∴BD=CE．
点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握，也是2015届中考常见题型．

22．（10分）已知：BE⊥CD于E，BE=DE，BC=DA，
（1）求证：△BEC≌△DEA；
（2）求证：BC⊥FD．


考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据已知利用HL即可判定△BEC≌△DEA；
（2）根据第（1）问的结论，利用全等三角形的对应角相等可得到∠B=∠D，从而不难求得DF⊥BC．
解答： 证明：（1）∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEA=90°，
∴在Rt△BEC与Rt△DEA中，
，
∴△BEC≌△DEA（HL）；

（2）∵由（1）知，△BEC≌△DEA，
∴∠B=∠D．
∵∠D+∠DAE=90°，∠DAE=∠BAF，
∴∠BAF+∠B=90°，即DF⊥BC．
点评： 此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

23．（10分）如图，已知BD为△ABC的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD于F．于是小白说：“BE+BF=2BD”．你认为他的判断对吗？为什么？


考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： 根据BD是中线得AD=CD，再根据CE⊥BD，AF⊥BD可以得到∠F=∠CED=90°，然后证明△AFD和△CED全等，再根据全等三角形对应边相等得DE=DE，再根据线段的和差关系即可证明．
解答： 解：对．理由如下：
∵BD为△ABC的中线，
∴AD=CD，
∵CE⊥BD于E，AF⊥BD于F，
∴∠F=∠CED=90°，
在△AFD和△CED中，，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴DE=DF，
∵BE+BF=（BD﹣DE）+（BD+DF），
∴BE+BF=2BD．
点评： 本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

24．（12分）已知，如图，AC=AD，BC=BD，O为AB上一点，
求证：OC=OD．


考点： 全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 利用“边边边”证明△ABC和△ABD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAC=∠BAD，再利用“边角边”证明△AOC和△AOD全等，根据全等三角形对应边相等可得OC=OD．
解答： 证明：在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴∠BAC=∠BAD，
在△AOC和△AOD中，
，
∴△AOC≌△AOD（SAS），
∴OC=OD．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于二次证明三角形全等．

25．（14分）如图（1），在等边△ABC的顶点B、C处各有一只蜗牛，它们同时出发分别以每分钟1各单位的速度油B向C和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点s时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D，P处，请问：
（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等吗？为什么？
（2）问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小有无变化？请证明你的结论．
（3）若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行，BD与AP交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了吗？若无变化，请证明．若有变化，请直接写出∠DQA的度数．


考点： 全等三角形的判定与性质．
分析： （1）根据等边三角形性质得出∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，根据SAS推出△BDC≌△APB即可．
（2）根据△BDC≌△APB得出∠CBD=∠BAP，根据三角形外角性质求出∠DQA=∠ABC，即可求出答案．
（3）求出CP=AD，∠ACP=∠BAD，根据SAS推出△ABD≌△ACP，求出∠CAP=∠ABD，求出∠AQD=∠CAP+∠QAB=180°﹣∠CAB，即可求出答案．
解答： 解：（1）在爬行过程中，BD和AP始终相等，
理由是：∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
在△BDC和△APB中，
，
∴△BDC≌△APB（SAS），
∴BD=AP．

（2）蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，
理由：∵△BDC≌△APB，
∴∠CBD=∠BAP，
∴∠DQA=∠DBA+∠BAP=∠DBA+∠CBD=∠ABC=60°，
即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化，始终是60°．

（3）蜗牛爬行过程中的∠DQA大小无变化，
理由是：根据题意得：BP=CD，
∵BC=AC，
∴CP=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=∠ACB=60°，
∵∠ACP+∠ACB=180°，∠DAB+∠CAB=180°，
∴∠ACP=∠BAD，
在△ABD和△ACP中，
，
∴△ABD≌△ACP（SAS），
∴∠CAP=∠ABD，
∴∠AQD=∠ABD+∠BAQ=∠CAP+∠QAB
=180°﹣∠CAB
=180°﹣60°
=120°，
即蜗牛爬行过程中的∠DQA无变化，等于120°．
点评： 本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的对应边相等，对应角相等．