山东省菏泽市成武县2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

山东省菏泽市成武县2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 下列命题中，正确的是

A. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 两条对角线相等的四边形是矩形

2. 如图，在▱中，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

3. 一个正方形的面积是，估计它的边长的大小在

A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间

4. 的平方根是

A.  B.  C.  D.

5. 若，则下列各式中错误的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，数轴上点、、分别表示数、、，则下列不等式中错误的是

A.  B.  C.  D.

7. 在中，自变量的取值范围是

A.  B.  C.  D. 且

8. 使二次根式有意义的的取值范围是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

9. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为______．
   
    

10. 一个正方形的对角线长为，则其面积为______ ．
11. 如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外部画半圆，若，，则______．
    
    
    
     

12. 与的和的倍不大于，列出的不等式是______．
13. 如果关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集为______ ．
14. 比较大小： ______选填“”、“”或“”

三．解答题（本题共9小题，共78分）

15. 如图，在中，是边的中点，，分别是及其延长线上的点，，连结，．
    求证：四边形是平行四边形；
    当边、满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．

16. 如图，在中，，，是上一点，，．
    求证：；
    求长．
    
    
     

17. 计算：
    ；
    
    
    
    
    
    
    
     
18. 印度数学家什迦逻年年曾提出过“荷花问题”：
    “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
    出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
    渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
    能算诸君请解题，湖水如何知深浅”
    请用学过的数学知识回答这个问题．
    
    
    
    
    
    
     
19. ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 某学校计划从商店购买、两种商品，购买一个种商品比购买一个种商品多用元，且购买个种商品和个种商品共需元．
    求购买一个种商品、一个种商品各需要多少元；
    根据学校实际情况，该学校需要购买种商品的个数是购买种商品个数的倍还多个，经与商店洽谈，商店决定在该学校购买种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买、两种商品的总费用不超过元，那么该学校最多可购买多少个种商品？
    
    
    
    
    
    
     
21. 解不等式组．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，、分别为的边、的中点，延长至点，使得，连接、、．
    求证：四边形是平行四边形．
     

23.阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
Ⅰ．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
Ⅱ还可以用以下方法化简
．
请用不同的方法化简．
参照Ⅰ式，化简______；
参照Ⅱ式，化简______；
化简：．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，
故选A．
利用平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理及矩形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理及矩形的判定定理，属于基础题，比较简单．
 

2.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，，即可求的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：正方形的面积是，
它的边长是，
，
，
即，
即它的边长的大小在与之间，
故选：．
根据正方形的面积计算方法得出边长为，再估算无理数的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
的平方根为．
故选：．
先根据有理数的乘方法则化简，再求出平方根．
本题考查平方根，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、将不等式两边都乘以可得，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由两边都减去可得，原变形错误，故此选项符合题意；
C、将不等式两边都除以可得，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、将不等式两边都加上可得：，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的基本性质逐一判断可得．
本题主要考查不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于进行分类讨论．
 

6.【答案】
 

【解析】解：根据数轴，可得．
，
即，故A选项正确，
选项A不符合题意；
，
即，故B选项正确，
选项B不符合题意；
，，，
，
即，故C选项不正确，
选项C符合题意；
，，，
，
即，故D选项正确，
选项D不符合题意．
故选：．
由数轴可得，根据不等式的定义逐选项进行判断即可．
本题考查不等式的定义、数学运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，，
解得：且，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】
解：由题意得，，
解得，
故选D．  

9.【答案】
 

【解析】解：是的中位线，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，，根据等腰三角形的判定定理求出，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：方法一：四边形是正方形，
，，
由勾股定理得，，
．
方法二：因为正方形的对角线长为，
所以面积为：．
故答案为：．
方法一：根据正方形边长求出面积；方法二根据正方形是特殊的菱形，所以正方形面积等于对角线乘积的一半．
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
 

11.【答案】
 

【解析】解：设面积为的半圆的直径为，面积为的半圆的直径为，面积为的半圆的直径为，
由勾股定理得：，
由题意得：，，
则，，
，
，
故答案为：．
根据勾股定理得到，根据圆的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

12.【答案】
 

【解析】解：根据题意，得．
故答案是：．
关系式为：与的和的倍．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键字找到相应的关系式是解决问题的关键；注意“不大于”表示“小于或等于”．
 

13.【答案】
 

【解析】解：表示的点是空心圆点，表示的点是实心圆点，
该不等式组的解集为．
故答案为：．
根据在数轴上表示不等式组解集的方法得出该不等式组的解集即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组解集的方法，熟知实心与空心圆点的区别是解答此题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，
故答案为：．
求出，再比较即可．
本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
 

15.【答案】证明：在中，是边的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：当时，四边形是菱形；理由如下：
，是边的中点，
，
，
四边形是菱形．
 

【解析】由已知各件，据很容易证得：≌；
连接、，由，是边的中点，可知，易证得≌，可得；又因为中≌得，所以、互相垂直平分，根据菱形的性质，可得四边形是菱形．
本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的判定方法或等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

16.【答案】证明：，，，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

17.【答案】解：

；



．
 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

18.【答案】解：设湖水深为尺，则红莲总长为尺，
根据勾股定理得：
，
得：，
即湖水深尺．
 

【解析】红莲在水中的长度，花离原位的长度和花的总长可构成直角三角形，设出湖水的深度为，根据勾股定理列出方程可求出．
本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行求解．
 

19.【答案】解：方程变形得：，
开方得：；
方程开立方得：，
解得：．
 

【解析】方程变形后，利用平方根定义计算即可求出解；
方程利用立方根定义计算即可求出解．
此题考查了平方根，立方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
 

20.【答案】解：设购买一个种商品需要元，购买一个种商品需要元，依题意有
，
解得．
答：购买一个种商品需要元，购买一个种商品需要元．
设该学校可购买个种商品，依题意有
，
解得．
故该学校最多可购买个种商品．
 

【解析】设购买一个种商品需要元，购买一个种商品需要元，根据等量关系：购买一个种商品比购买一个种商品多用元；购买个种商品和个种商品共需元；建立方程组求出其解即可；
设该学校可购买个种商品，根据该学校本次购买、两种商品的总费用不超过元列出不等式，然后求解即可．
本题考查了二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
 

21.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为．
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

22.【答案】证明：、分别为的边、的中点，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】由已知可得：是的中位线，则可得，，又由，易得，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
此题考查了平行四边形的判定有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及三角形中位线的性质三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半解题的关键是仔细分析图形，注意数形结合思想的应用．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：，
故答案为：；
，
故答案为：；




．
仿照Ⅰ式，分母利用平方差公式可以将式子化简；
仿照Ⅱ式，分子利用平方差公式可以将式子化简；
根据平方差公式先将题目中的式子变形，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、分母有理化，解答本题的关键是明确题意，利用平方差公式解答．