2020-2021学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（b卷）

这是一份2020-2021学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（b卷），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知，，则（　　）
A．（1，3） B．（3，3） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
2．（5分）已知复数，则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）某高中共有30个班级，每班40人，每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，在此次调查活动中样本量是（　　）
A．40 B．60 C．80 D．1200
4．（5分）同时掷两枚质地均匀的硬币，则出现两枚正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，b＝2，，则B等于（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高21m，底宽34m，则塔身的表面积（精确到0.01m2）是（　　）（可能用到的参考数据：272＝729，342＝1156）

A．3674.52m2 B．2993.26m2 C．1837.26m2 D．1682.26m2
7．（5分）已知直线m，n分别在两个不同的平面α，β内，则下列结论成立的是（　　）
A．若m∥n，则α∥β
B．若m⊥n，则α⊥β
C．若m与n相交，则α与β相交
D．若α与β相交，则m与n相交
8．（5分）已知△ABC中，边AB的中线CD长为3，若对∀x∈[0，1]，恒成立，则（　　）
A．AC＝BC B．AB＝AC C．∠ACB＝90° D．∠ABC＝90°
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）袋中装有质地均匀的红、白色球各一个，每次取一个，有放回地抽取两次，设事件A＝“第一次取到红球”，事件B＝“第一次取到白球”，下列说法正确的是（　　）
A．A与B相等 B．A与B是互斥事件
C．A与B是对立事件 D．P（A）＝P（B）
（多选）10．（5分）某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（　　）

A．这1000名高中学生每天的平均学习时间为6～8小时的人数有100人
B．估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时
C．估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时
D．估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时
（多选）11．（5分）如果，是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法正确的是（　　）
A．若存在实数λ，μ使得，则λ＝μ＝0
B．对于平面α内任一向量，使的实数对（λ，μ）有无穷多个
C．若向量与共线（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），则λ1•μ2﹣λ2•μ1＝0
D．若向量与垂直（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），则λ1•λ2+μ1•μ2＝0
（多选）12．（5分）已知正四面体D﹣ABC，点E、F分别为棱CD、AC的中点，点M为线段EF上的动点，设EM＝x，则下列说法不正确的是（　　）

A．直线DA与直线MB所成角随x的增大而增大
B．直线DA与直线MB所成角随x的增大而减小
C．直线DM与平面ABD所成角随x的增大而增大
D．直线DM与平面ABD所成角随x的增大而减小
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）如图，已知梯形A'B'C'D'是水平放置的四边形ABCD斜二测画法的直观图，梯形A'B'C'D'的面积为，∠D'A'B'＝45°，则原四边形ABCD的面积为 　 　．

14．（5分）若复数，其中i为虚数单位，a∈R，则|z﹣i|的最小值为 　 　．
15．（5分）截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站AB，已知基站AB高40m，该同学在公路D、E两点处测得基站顶部A处的仰角分别为30°、45°，且∠DCE＝150°．该同学沿着公路的边缘从D处走至E处一共走了700m．则山高BC为 　 　m．（该同学的身高忽略不计）

16．（5分）已知四边形ABCD，AB∥CD，，AB＝2AD＝4，，点P在ABCD内部（包含边界），则PA•PB的最大值为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为（1，﹣2），（﹣2，1）．
（1）求的值；
（2）若z1是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD满足∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC，PD⊥底面ABCD．
（1）设点E为PA的中点，证明：BE∥平面PDC；
（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：l⊥平面PDC．

19．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，acosC+ccosA＝2．
（1）求边b的长；
（2）在①，②，③c＝2，这三个中任选一个作为补充条件，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．
20．（12分）本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元（20分钟及以内），超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按10分钟计算）．现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为、、，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为、、，三人租车时间都不会超过40分钟．
（1）求甲、乙、丙三人中恰有两人租车费用为3元的概率；
（2）求甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率．
21．（12分）已知平面向量，，满足，，．
（1）求的值；
（2）若，当取得最大值时，求以，为邻边的三角形面积．
22．（12分）如图1，△ABC是直角三角形，∠BAC是直角，AC＝3AB＝3，E是AC的中点，∠BAC的平分线交BC于点D，现沿AD将△ABC折成二面角B'﹣AD﹣C，如图2．

（1）若折成直二面角B'﹣AD﹣C，求B'E的长度；
（2）若∠B'DC＝90°，求直线DE与平面B'AC所成角的正弦值．

2020-2021学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知，，则（　　）
A．（1，3） B．（3，3） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【解答】解：由，，得（1+2，0+3）＝（3，3）．
故选：B．
2．（5分）已知复数，则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：，
则z的虚部为：．
故选：D．
3．（5分）某高中共有30个班级，每班40人，每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，在此次调查活动中样本量是（　　）
A．40 B．60 C．80 D．1200
【解答】解：某高中共有30个班级，每班40人，每班选派2人参加反诈骗知识调查活动，
在此次调查活动中样本量是：
n＝2×30＝60．
故选：B．
4．（5分）同时掷两枚质地均匀的硬币，则出现两枚正面朝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：同时掷两枚质地均匀的硬币，
基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种，
出现两枚正面朝上包含的基本事件只有1种：（正，正），
则出现两枚正面朝上的概率P．
故选：A．
5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，b＝2，，则B等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，b＝2，，
∴由正弦定理得：，即，
解得：sinB，
又由0＜B，
故B，
故选：B．
6．（5分）法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高21m，底宽34m，则塔身的表面积（精确到0.01m2）是（　　）（可能用到的参考数据：272＝729，342＝1156）

A．3674.52m2 B．2993.26m2 C．1837.26m2 D．1682.26m2
【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD，PO⊥底面ABCD，PO＝21m，AB＝34m，
则AOAB＝17，所以AP，
作PE⊥AB，则PE
所以该四棱锥的表面积S＝4AB×PE＝681837.26
故选：C．

7．（5分）已知直线m，n分别在两个不同的平面α，β内，则下列结论成立的是（　　）
A．若m∥n，则α∥β
B．若m⊥n，则α⊥β
C．若m与n相交，则α与β相交
D．若α与β相交，则m与n相交
【解答】解：m⊂α，n⊂β，
若m∥n，则α∥β或α与β相交，故A错误；
若m⊥n，则α∥β或α与β相交，相交也不一定平行，故B错误；
若m与n相交，则α与β必有交点，得α与β相交，故C正确；
若α与β相交，则m与n平行、相交或异面，故D错误．
故选：C．
8．（5分）已知△ABC中，边AB的中线CD长为3，若对∀x∈[0，1]，恒成立，则（　　）
A．AC＝BC B．AB＝AC C．∠ACB＝90° D．∠ABC＝90°
【解答】解：设P为边AB上一点，则依题意有，，
如图，设B（a，0），P（b，0）（b∈[0，a]），，
∴，则，
∴恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立，即恒成立，
∴，即，
∴CD⊥AB，
又D为AB中点，
∴CA＝CB．
故选：A．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）袋中装有质地均匀的红、白色球各一个，每次取一个，有放回地抽取两次，设事件A＝“第一次取到红球”，事件B＝“第一次取到白球”，下列说法正确的是（　　）
A．A与B相等 B．A与B是互斥事件
C．A与B是对立事件 D．P（A）＝P（B）
【解答】解：因为事件A与事件B是两个不同的事件，故选项A错误；
因为事件A与事件B不同时发生，所以A与B是互斥事件，故选项B正确；
因为事件A与B两个事件中必有一个发生，所以A与B是对立事件，故选项C正确；
因为，故选项D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（　　）

A．这1000名高中学生每天的平均学习时间为6～8小时的人数有100人
B．估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时
C．估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时
D．估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时
【解答】解：由图可得，每天的平均学习时间为6～8小时的频率为0.1×2＝0.2，
这1000名高中学生每天的平均学习时间为6～8小时的人数有1000×0.2＝200，故A选项错误，
每天的平均学习时间为8～10小时的频率为0.25×2＝0.05×2+0.1×2+0.1×2，即该时段的频率最大，
故估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为小时，故选项B正确，
每天的平均学习时间为4～6小时的频率为0.05×2＝0.1，即0.1×1000＝100人，
每天的平均学习时间为6～8小时的频率为0.1×2＝0.2，即0.2×1000＝200人，
每天的平均学习时间为8～9.2小时的频率为0.25×0.12＝0.3，即0.3×1000＝300人，
即该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时，故选项C正确，
每天的平均学习时间为10～12小时的频率为0.1×2＝0.2，．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）如果，是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法正确的是（　　）
A．若存在实数λ，μ使得，则λ＝μ＝0
B．对于平面α内任一向量，使的实数对（λ，μ）有无穷多个
C．若向量与共线（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），则λ1•μ2﹣λ2•μ1＝0
D．若向量与垂直（λ1，λ2，μ1，μ2∈R），则λ1•λ2+μ1•μ2＝0
【解答】解：A：若λ，μ有一个不为0，不妨设λ不等于0，则，
∴与共线，这与，不共线矛盾，∴λ＝μ＝0，∴A正确，
B：根据平面向量基本定理可知，
如果一个平面的基底确定，那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，∴B错误，
C：∵与共线，∴λ（），
∴，∴λ1μ2﹣λ2μ1＝0，∴C正确，
D：∵与垂直，∴（）•（）＝0，
∴λ1λ2μ2μ1（λ1μ2）+λ2μ1）•（•）＝0，∴λ1λ2+μ2μ1＝0不一定成立，∴D错误．
故选：AC．
（多选）12．（5分）已知正四面体D﹣ABC，点E、F分别为棱CD、AC的中点，点M为线段EF上的动点，设EM＝x，则下列说法不正确的是（　　）

A．直线DA与直线MB所成角随x的增大而增大
B．直线DA与直线MB所成角随x的增大而减小
C．直线DM与平面ABD所成角随x的增大而增大
D．直线DM与平面ABD所成角随x的增大而减小
【解答】解：因为E，F分别为DC，AC的中点，所以EF∥DA，所以直线DA与直线MB所成角等于直线EF与BM所成角．
在等腰△BEF中，直线EF与BM所成角随着x的增大先增大，再减小，当M运动到EF中点时取到最大值，故A，B选项说法错误．
设M点到平面ABD的距离为d，直线DM与平面ABD所成角为α，则sinα．
因为EF∥平面ABD，所以随着x的增大，d保持不变，|MD|在增大，所以sinα的值在减少，即α随着x的增大而减小，故C选项说法错误，D说法正确．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）如图，已知梯形A'B'C'D'是水平放置的四边形ABCD斜二测画法的直观图，梯形A'B'C'D'的面积为，∠D'A'B'＝45°，则原四边形ABCD的面积为 　2　．

【解答】解：因为水平放置的平面直观图形A'B'C'D'的面积为，
所以原四边形ABCD的面积为S＝2S′＝22．
故答案为：2．
14．（5分）若复数，其中i为虚数单位，a∈R，则|z﹣i|的最小值为 　　．
【解答】解：因为，
所以，
所以|z﹣i|的最小值为．
故答案为：．
15．（5分）截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站AB，已知基站AB高40m，该同学在公路D、E两点处测得基站顶部A处的仰角分别为30°、45°，且∠DCE＝150°．该同学沿着公路的边缘从D处走至E处一共走了700m．则山高BC为 　10040　m．（该同学的身高忽略不计）

【解答】解：如图，设BC＝x，则AC＝40+x，又由已知得△ACD，△ACE为直角三角形，且∠ADC＝30°，∠AEC＝45°，
所以由△ACD，△ACE为直角三角形得，，
，
解得，CE＝x+40，
在三角形CDE中，又∠DCE＝150°，DE＝700，由余弦定理得：DE2＝CD2+CE2﹣2CD•CEcos∠DCE，
即（x+40）2+3（x+40）27002，
解得x＝100．
故答案为：．

16．（5分）已知四边形ABCD，AB∥CD，，AB＝2AD＝4，，点P在ABCD内部（包含边界），则PA•PB的最大值为 　7　．
【解答】解：因为PA•PB，当且仅当PA＝PB时取等号，
所以当PA＝PB时，PA•PB最大，
所以如图，当P在CD边，且在过AB边的中点F所作的垂直于AB的直线上时，PA•PB能取最大值，
因为AD＝2，∠DAB，所以DE，
所以PA＝PB，
所以PA•PB＝7．
故答案为：7．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为（1，﹣2），（﹣2，1）．
（1）求的值；
（2）若z1是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值．
【解答】解：（1）∵复数z1，z2对应的点分别为（1，﹣2），（﹣2，1），
∴z1＝1﹣2i，z2＝﹣2+i，
∴，
∴（1﹣2i）（﹣2﹣i）＝﹣2﹣i+4i+2i2＝﹣4+3i．
（2）∵z1是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根
易知也为方程x2+px+q＝0的一个根，
∴，，
∴p＝﹣2，q＝5．
18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD满足∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC，PD⊥底面ABCD．
（1）设点E为PA的中点，证明：BE∥平面PDC；
（2）设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明：l⊥平面PDC．

【解答】证明：（1）取AD中点F，连接EF，BF，
∵AD＝2BC，点E为PA的中点，
∴EF∥PD，BF∥CD，
∵EF∩BF＝F，PD∩CD＝D，
∴平面BEF∥平面CDP，
∵BE⊂平面BEF，∴BE∥平面PDC．
（2）∵四棱锥P﹣ABCD满足∠ADC＝∠BCD＝90°，∴AD∥BC，AD⊥DC，
∵PD⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，
∵PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PDC，∴AD⊥平面PDC，
∵AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，平面PAD与平面PBC的交线为l，
∴l∥AD，
∴l⊥平面PDC．

19．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，acosC+ccosA＝2．
（1）求边b的长；
（2）在①，②，③c＝2，这三个中任选一个作为补充条件，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．
【解答】解：（1）由余弦定理和acosC+ccosA＝2，知a•c•2，
化简得2，
∴b＝2．
（2）选择条件①：
由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bccosA，
∴7＝4+c2﹣2×2×c，即c2﹣2c﹣3＝0，
解得c＝3或﹣1（舍负），
∴SbcsinA2×32，
故△ABC的面积S＞2成立．
选择条件②：
由余弦定理知，b2＝a2+c2﹣2accosB，
∴4＝7+c2﹣2c•，化简得c2﹣2c+3＝0，
∴c，
而sinB，
∴SacsinB2，
故△ABC的面积S＞2不成立．
选择条件③：
由余弦定理知，cosA，
∵A∈（0，π），
∴sinA，
∴SbcsinA2×22，
故△ABC的面积S＞2不成立．
20．（12分）本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元（20分钟及以内），超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按10分钟计算）．现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为、、，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为、、，三人租车时间都不会超过40分钟．
（1）求甲、乙、丙三人中恰有两人租车费用为3元的概率；
（2）求甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率．
【解答】解：（1）甲、乙、丙两人的租车费用恰有两个费用为3元，则有三种可能，
①甲、乙两人租车费用为3元，丙不是3元，概率为，
②甲、丙两人租车费用为3元，乙不是3元，概率为，
③乙、丙两人租车费用为3元，甲不是3元，概率为，
则、乙、丙三人中恰有两人租车费用为3元的概率为P．
（2）由题意可得，甲、乙、丙30分钟以上且不超过40分钟还车的概率分别为，
甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率为P，
甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率为1．
21．（12分）已知平面向量，，满足，，．
（1）求的值；
（2）若，当取得最大值时，求以，为邻边的三角形面积．
【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∴，则；
（2）设，则依题意，，
∴点C在以AB为直径的圆周上运动，
显然，当经过圆的圆心即AB的中点D时，取得最大值，此时，
则，
∴，
∴△BCD为等边三角形，以为邻边的三角形为△BOC，
∴．

22．（12分）如图1，△ABC是直角三角形，∠BAC是直角，AC＝3AB＝3，E是AC的中点，∠BAC的平分线交BC于点D，现沿AD将△ABC折成二面角B'﹣AD﹣C，如图2．

（1）若折成直二面角B'﹣AD﹣C，求B'E的长度；
（2）若∠B'DC＝90°，求直线DE与平面B'AC所成角的正弦值．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BO⊥AD于点O，交AC于点F，
因为AD是直角∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠DAC＝45°，
又AB，则BO＝AO＝1，
连结OE，在△AOE中，，
在图2中，因为直二面角B'﹣AD﹣C，则∠B'OF＝90°，
又B'O⊥AD，AD∩OF＝O，AD，OF⊂平面ACD，
所以B'O⊥平面ACD，又OE⊂平面ACD，
所以B'O⊥OE，

在Rt△B'OE中，，
故B'E；
（2）在图1中，过点D作DH⊥DC交AC于点H，交OF于点G，
由于翻折前后在折线同侧的不变性可知，在图2中也有DC⊥DH，
又∠B'DC＝90°，即DC⊥B'D，
因为B'D∩DH＝D，B'D，DH⊂平面B'DH，
所以DC⊥平面B'DH，
则点B'在平面ABC上的射影在DH上，
又点B'在平面ABC的射影在OF上，
所以B'在平面ABC上的射影即为点G，则B'G⊥平面ADC，
又∠BAC是直角，AC＝3AB，
所以sin∠ABC，cos∠ABC，
则sin∠BDA，
在△ABD中，由正弦定理可得，，解得，
在Rt△BDG中，由直角三角形的射影定理可得，，
在Rt△B'OG中，B'G，
在Rt△DHC中，DH，所以GH，B'H，，
在△B'HD中，过D作DM⊥B'H交B'H于点M，连结CM，
因为DC⊥平面B'DH，所以DC⊥B'H，则B'H⊥平面CDM，
所以平面B'CH⊥平面CDM，交线为CM，
在△DMC中，过D作DN⊥CM交CM于点N，则DN⊥平面CB'H，
故∠DEN即为直线DE与平面B'AC所成的角，
因为，所以，
在Rt△CDM中，CM•DN＝DC•DM，则，
又DE，所以sin∠DEN，
所以直线DE与平面B'AC所成角的正弦值为．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/26 10:14:59；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983