2020-2021学年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）在复平面内，复数zi对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）半径为1的球的体积为（　　）
A．π B． C．4π D．
3．（5分）已知向量．若，则m＝（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．
4．（5分）“直线a与直线b没有交点”是“直线a与直线b为异面直线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c＝2：3：4，则△ABC为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．（5分）若数据x1，x2，⋯，xn的方差为2，则2x1﹣3，2x2﹣3，…，2xn﹣3的方差为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
7．（5分）已知直线l，m和平面α，β，下列命题正确的是（　　）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l⊥m，则m∥α
D．若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β
8．（5分）已知向量满足：．设与的夹角为θ，则sinθ的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）某公司为检测某型号汽车的质量问题，需对三个批次生产的该型号汽车进行检测，三个批次产量分别为100000辆、150000辆和250000辆，公司质监部门计划从中抽取500辆进行检测，则下列说法正确的是（　　）
A．样本容量为500
B．采用简单随机抽样比分层随机抽样合适
C．应采用分层随机抽样，三个批次的汽车被抽到的概率不相等
D．应采用分层随机抽样，三个批次分别抽取100辆、150辆、250辆
（多选）10．（5分）已知非零向量，下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C． D．
（多选）11．（5分）在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝2，点D为直线BC上的点．则（　　）
A．当AD⊥BC时，
B．当时，AD⊥BC
C．当AD为∠BAC的角平分线时，
D．当时，AD为∠BAC的角平分线
（多选）12．（5分）如图，在圆锥SO中，轴截面SAB是边长为2的等边三角形，点M为高SO上一动点，圆柱MO为圆锥SO的内接圆柱（内接圆柱的两个底面的圆周都在圆锥表面上）．点P为圆锥底面的动点，且AM⊥MP．则（　　）

A．圆柱MO的侧面积的最大值为
B．圆柱MO的轴截面面积的最大值为
C．当时，点P的轨迹长度为
D．当时，直线MP与圆锥底面所成角的最大值为60°
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分
13．（5分）已知复数z＝3﹣m+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m＝　 　．
14．（5分）已知直线l与平面α所成角为30°，若直线m⊂α，则l与m所成角的最小值为 　 　．
15．（5分）某小区12户居民四月份月用水呈（单位：t）分别为：
5.4 13.6 6.8 7.7 16.8 3.5
10.5 7.1 20.5 4.9 15.2 11.1
则所给数据的第75百分位数是 　 　．
16．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝1．若对任意的t∈R，恒成立，则角A的取值范围为 　 　．
四、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位）．
（1）求|z|；
（2）若，求实数a和b的值．
18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，PC＝1．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求点P到平面ABC的距离．

19．（14分）某高中为了解全校高一学生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组：[150，160），[160，170），[170，180），[180，190]，进行统计，画出如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求高一学生身高的平均数和中位数的估计值．

20．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答．
①cosA＝cos2Bcos2C﹣sin2Bsin2C；②c（sinB+sinC）＝asinA﹣bsinB：③△ABC的面积为．
（1）求角A的大小；
（2）若点D满足，且，求4c+b的最小值．
21．（15分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD'，点A'∉平面BCFE．

（1）求证：CD'∥平面A'BE；
（2）A'，B，C，D'四点是否共面？给出结论，并给予证明；
（3）在翻折的过程中，设二面角A'﹣BC﹣E的平面角为θ，求tanθ的最大值．

2020-2021学年浙江省台州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．（5分）在复平面内，复数zi对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：复数对应的点为（，1），位于第二象限，
故选：B．
2．（5分）半径为1的球的体积为（　　）
A．π B． C．4π D．
【解答】解：球的体积V，
故选：D．
3．（5分）已知向量．若，则m＝（　　）
A．6 B．﹣6 C． D．
【解答】解：∵，且，
∴m﹣6＝0，∴m＝6．
故选：A．
4．（5分）“直线a与直线b没有交点”是“直线a与直线b为异面直线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①若直线a与直线b没有交点，则直线a与直线b为异面直线或平行直线，∴充分性不成立，
②若a，b是异面直线，则直线a与直线b没有交点，∴必要性成立，
∴直线a与直线b没有交点是直线a与直线b为异面直线的必要不充分条件．
故选：B．
5．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c＝2：3：4，则△ABC为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
利用余弦定理：cosC0，
故．
故三角形为钝角三角形．
故选：C．
6．（5分）若数据x1，x2，⋯，xn的方差为2，则2x1﹣3，2x2﹣3，…，2xn﹣3的方差为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：∵数据x1，x2，⋯，xn的方差为2，
∴2x1﹣3，2x2﹣3，…，2xn﹣3的方差为：
22×2＝8．
故选：D．
7．（5分）已知直线l，m和平面α，β，下列命题正确的是（　　）
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l⊥m，则m∥α
D．若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β
【解答】解：直线l，m和平面α，β，
对于A，若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；
对于B，若l⊥α，l⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故B正确；
对于C，若l⊥α，l⊥m，则m∥α或m⊂α，故C错误；
对于D，若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．
故选：B．
8．（5分）已知向量满足：．设与的夹角为θ，则sinθ的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设向量夹角为α，||＝t，则||＝2t，
若||＝3，则2﹣2•2＝5t2﹣4t2cosα＝9，变形可得cosα，
则有﹣11，解可得1≤t≤3，
||22+2•2＝5t2+4t2cosα＝10t2﹣9，则||，
则cosθ，
分析可得：当即t时，coaθ取得最小值，
又由sinθ≥0，则sinθ，
故当cosθ取得最小值时，sinθ取得最大值，且其最大值为，
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）某公司为检测某型号汽车的质量问题，需对三个批次生产的该型号汽车进行检测，三个批次产量分别为100000辆、150000辆和250000辆，公司质监部门计划从中抽取500辆进行检测，则下列说法正确的是（　　）
A．样本容量为500
B．采用简单随机抽样比分层随机抽样合适
C．应采用分层随机抽样，三个批次的汽车被抽到的概率不相等
D．应采用分层随机抽样，三个批次分别抽取100辆、150辆、250辆
【解答】解：因为抽取500辆进行检测，所以样本容量为500，故选项A正确；
因为汽车分为三个型号，故应该采用分层抽样比较合适，故选项B错误；
由分层抽样的定义可知，三个批次的汽车被抽到的概率都是相同的，故选项C错误；
设三种型号的车依次抽取x，y，z辆，
则有，解得x＝100，y＝150，z＝250，
所以三个批次分别抽取100辆、150辆、250辆，故选项D正确．
故选：AD．
（多选）10．（5分）已知非零向量，下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C． D．
【解答】解：非零向量，
对于A：若，则，故A正确；
对于B：若0，即，，故和不一定相等，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确．
故选：AD．
（多选）11．（5分）在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AB＝2，点D为直线BC上的点．则（　　）
A．当AD⊥BC时，
B．当时，AD⊥BC
C．当AD为∠BAC的角平分线时，
D．当时，AD为∠BAC的角平分线
【解答】解：对于A，因为在△ABD中，AD⊥BC，可得∠ADB＝90°，
又∠B＝45°，AB＝2，
由正弦定理，可得，可得AD，故A正确；
对于B，当时，又∠B＝45°，AB＝2，
在△ABD中，由正弦定理，可得，解得sin∠ADB＝1，
因为∠ADB∈（0，180°），
所以∠ADB＝90°，可得AD⊥BC，故B正确；
对于C，因为当AD为∠BAC的角平分线时，可得∠BAD∠BAC＝30°，
又∠B＝45°，
可得∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝105°，
又AB＝2，
在△ABD中，由正弦定理，可得，可得AD22，故C正确；
对于D，当时，
在△ABD中，由正弦定理，可得，可得sin∠ADB，
因为∠ADB∈（0，180°），
所以∠ADB＝105°，或75°，可得∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝30°，或60°，
又∠BAC＝60°，可得∠CAD＝30°，或0°，矛盾，故D错误．
故选：ABC．

（多选）12．（5分）如图，在圆锥SO中，轴截面SAB是边长为2的等边三角形，点M为高SO上一动点，圆柱MO为圆锥SO的内接圆柱（内接圆柱的两个底面的圆周都在圆锥表面上）．点P为圆锥底面的动点，且AM⊥MP．则（　　）

A．圆柱MO的侧面积的最大值为
B．圆柱MO的轴截面面积的最大值为
C．当时，点P的轨迹长度为
D．当时，直线MP与圆锥底面所成角的最大值为60°
【解答】解：设内接圆柱MO的底面半径为r（0＜r＜1），高MO＝h，则，即h（1﹣r），
圆柱MO的侧面积S1＝2πrh＝2πr（1﹣r）≤2π•（）²，当仅当r时取等号，故A正确；
圆柱MO的轴截面面积S2＝2rh＝2r（1﹣r）≤2•（）²，当仅当r时取等号，故B错误；
在AB上取一点H，使得AM⊥MH，因为AM⊥MP，且MP∩MH＝M，所以AM⊥平面MPH，
则AM⊥PH，又因为PH⊥MO，且AM∩MO＝M，所以PH⊥平面AMH，则PH⊥AH，
所以点P的轨迹是过点H且垂直AB的弦，
当MO时，由OM²＝OA•OH，得OH，此时，该弦的长度为2，故C正确；
当OM时，由OM²＝OA•OH，得OH，则当点P与点H重合时，直线MP与圆锥底面所成角的最大值为∠MHA＝60°，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分
13．（5分）已知复数z＝3﹣m+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m＝　3　．
【解答】解：∵复数z＝3﹣m+（m+1）i（i为虚数单位）为纯虚数，
∴3﹣m＝0，且m+1≠0，求得m＝3，
故答案为：3．
14．（5分）已知直线l与平面α所成角为30°，若直线m⊂α，则l与m所成角的最小值为 　30°　．
【解答】解：根据最小角定理：直线与平面所成角是直线与平面内所有直线成角中最小的角，
则可得则l与m所成角最小的角为30°，
故答案为：30°．
15．（5分）某小区12户居民四月份月用水呈（单位：t）分别为：
5.4 13.6 6.8 7.7 16.8 3.5
10.5 7.1 20.5 4.9 15.2 11.1
则所给数据的第75百分位数是 　14.4　．
【解答】解：所给数据从小到大排列为：
3.5，4.9，5.4，6.8，7.1，7.7，10.5，11.1，13.6，15.2，16.8，20.5，
因为12×75%＝9，所以这组数据的75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，
即14.4，
故答案为：14.4．
16．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝1．若对任意的t∈R，恒成立，则角A的取值范围为 　　．
【解答】解：设A（0，0），B（2，0），∠A＝θ，（0＜θ＜π），
则C（cosθ，sinθ），（2，0），（cosθ，sinθ），
因为||，
即t²+4tcosθ+1≥0，
∵对任意的t∈R恒成立，
∴Δ＝16cos²θ﹣4≤0，解得cosθ，
则θ∈[，]，
故答案为：[，]．
四、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位）．
（1）求|z|；
（2）若，求实数a和b的值．
【解答】解：（1）∵z＝1﹣i，
∴．
（2）∵
∴a+bi＝﹣i，即a＝0，b＝﹣1．
18．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，PC＝1．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求点P到平面ABC的距离．

【解答】证明：（1）取AB中点D，连接PD，CD，
因为PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2
所以AB⊥PD，AB⊥CD，
又因为PD∩CD＝D，
所以AB⊥平面PCD，
又因为PC⊂平面PCD，
所以PC⊥AB；
解：（2）过点P作PK⊥CD，垂足K，
由（1）可知AB⊥平面PCD，又因为AB⊂平面ABC
所以平面PCD⊥平面ABC，所以PK⊥平面ABC，
所以PK即为点P到平面ABC的距离，
在△PDC中，，
所以，
即点P到平面ABC的距离为．

19．（14分）某高中为了解全校高一学生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组：[150，160），[160，170），[170，180），[180，190]，进行统计，画出如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求高一学生身高的平均数和中位数的估计值．

【解答】解：（1）由图可知[150，160），[170，180），[180，190]三组的频率分别为0.275，0.225，0.05，
所以身高在[160，170）内的频率1﹣0.275﹣0.225﹣0.05＝0.45，
所以；
（2）平均数0.275×155+0.45×165+0.225×175+0.05×185＝165.5．
设中位数x，由0.0275×10+0.045×（x﹣160）＝0.5
解得x＝165．
20．（15分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答．
①cosA＝cos2Bcos2C﹣sin2Bsin2C；②c（sinB+sinC）＝asinA﹣bsinB：③△ABC的面积为．
（1）求角A的大小；
（2）若点D满足，且，求4c+b的最小值．
【解答】解：（1）若选①，
由已知得cosA＝cos2（B+C）＝cos2A，
∴2cos2A﹣cosA﹣1＝0，即，或cosA＝1（舍去），
又0＜A＜π，
∴．
若选②，
由已知得c（b+c）＝a2﹣b2，
∴bc＝﹣2bccosA，即，
又0＜A＜π，
∴．
若选③，
由已知得，
∴，
又0＜A＜π，
∴．
（2）∵，
∴，即，
∴（b2c22bc），即，
∴bc＝b+c，即，
∴，当且仅当，
即b＝2c时，4c+b有最小值9．
21．（15分）在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点E，F分别在AB，CD上，且AE＝2，CF＝1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形A'EFD'，点A'∉平面BCFE．

（1）求证：CD'∥平面A'BE；
（2）A'，B，C，D'四点是否共面？给出结论，并给予证明；
（3）在翻折的过程中，设二面角A'﹣BC﹣E的平面角为θ，求tanθ的最大值．
【解答】解：（1）证明：因为D'F∥A'E，D'F⊄平面A'EB，A'E⊂平面A'EB，
所以D'F∥平面A'EB，
因为FC∥EB，FC⊂平面A'EB，EB⊂平面A'EB．
所以D'F∥平面A'EB，
又因为FC∩D'F＝F，所以平面D'FC∥平面A'EB，
因为CD'⊂面D'FC，所以CD′∥平面A'EB．
（2）A'，B，C，D'四点不共面．
证明：假设A'，D'，B，C四点共面，则A'D'∥BC或A'D'∩BC＝Q．
若A'D'∥BC，又因为A'D'⊄平再BCFE，所以A'D'∥平面BCFE，
所以A'D'∥EF（与已知矛盾，舍去），
若A'D'∩BC＝Q，所以Q∈平面A'EFD'，Q∈平面BCFE，
根据基本事实3，所以Q∈EF，
所以A'D'，BC，EF交于一点（与已知矛盾，舍去）；
综上所述，A'，B，C，D'四点不共面．
（3）如图，在面AC内作AO⊥EF于点O，作A'M⊥AO于M，作MN⊥BC于N，

由题意可得点M为点A'在平面BCFE的射影，所以A'M⊥平面BCFE，
所以A'M⊥BC，又因为MN⊥BC，MN∩A'M＝M，
所以BC⊥平面A'MN，所以BC⊥A'N，
所以∠A'NM为二面角A'﹣BC﹣E的平面角θ，
因为AO⊥EF，A'O⊥EF，所以∠A'OM为二面角A'﹣EF﹣B的平面角，
设∠A'OM＝α，α∈（0，π）
当时，点O与点M重合，由，
可得，.时，
因为，所以，
所以，故，
所以
同理当时，
所以，故．
所以，
设，所以．所以，
由解得﹣1≤y≤1，
所以，当时．tanθ取到的最大值为1．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/26 10:16:05；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983