2020-2021学年浙江省温州市共美联盟高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省温州市共美联盟高二（下）期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省温州市共美联盟高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（4分）函数y＝log2（﹣2x+1）的定义域为（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）设x、y∈R，则“x≥y”是“|x|≥y”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（4分）已知平面α与β平面为两个不同的平面，m与n为两条不重合的直线，则下列说法正确的是（　　）
A．若α∥β，m∥α，则m∥β B．若m∥n，n∥α，则m∥α
C．若m⊥α，α∥β，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥α，则m⊥β
4．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．7
5．（4分）若tanθ，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）圆O1：x2+y2﹣2x+6y＝0和圆O2：x2+y2﹣6x＝0的公共弦AB的垂直平分线的方程是（　　）
A．2x﹣3y+3＝0 B．2x﹣3y﹣5＝0 C．3x﹣2y﹣9＝0 D．3x﹣2y+7＝0
7．（4分）在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则（　　）
A．35 B．﹣35 C．25 D．﹣25
8．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E分别是BC，AB的中点，AB＝AP＝4，AC＝3，设异面直线PC与DE所成角为α，PD与平面ABC所成角为β，二面角P﹣BC﹣A为γ，则（　　）
A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜β＜α
9．（4分）设点P是双曲线1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2＝a2+b2在第一象限的交点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）若不等式（ax﹣2）（|x|﹣b）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则（　　）
A．a＞0， B．a＞0，ab＝2 C．a＞0，a＝2b D．a＞0，b＝2a
二、填空题：本题共7小题，共36分
11．（6分）设集合A＝{1，3}，B＝{a+2，5}，A∩B＝{3}，则a＝　 　，A∪B＝　 　．
12．（6分）已知双曲线C：1的一个焦点为（0，3），则双曲线C的离心率为 　 　，渐近线方程为 　 　．
13．（6分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 　 　，最长棱的长度为 　 　．

14．（6分）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，已知a＝3，c，sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，则A＝　 　，S△ABC＝　 　．
15．（4分）在数列{an}中，an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，则数列{an}的前20项之和为 　 　．
16．（4分）若函数f（x）＝||x||在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝　 　．
17．（4分）已知非零平面向量，，满足，的夹角为，与的夹角为，||＝2，||＝2，则•的取值范围是 　 　．
三、解答题：本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18．（14分）已知函数f（x）＝2sinx•[cos（x）+cosx]．
（1）求；
（2）当时，求f（x）的值域．
19．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PB＝2，E、O分别为PA，BD中点．
（1）求证：OE∥面PDC；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．

20．（14分）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且，，成等比数列，数列{bn}满足：2Sn＝bn+an（n∈N*）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式：
（2）设cn，求证：c1+c2+⋯+cn＜2．
21．（16分）过抛物线C：y2＝4x上一点P（除原点外）作抛物线C的切线l交y轴于点M，过M点作垂直于l的直线交抛物线C于A、B两点．
（1）若P点的坐标为（1，2），求点M坐标；
（2）若x轴上有一点D（4，0），连接PD延长交抛物线C于Q点，求的最小值．


2020-2021学年浙江省温州市共美联盟高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（4分）函数y＝log2（﹣2x+1）的定义域为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：要使原函数有意义，则﹣2x+1＞0，解得，
∴原函数的定义域为：．
故选：D．
2．（4分）设x、y∈R，则“x≥y”是“|x|≥y”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①若x≥y，∵|x|≥x，∴|x|≥y成立，∴充分性成立，
②当x＝﹣3，y＝2时，|x|≥y成立，但x≥y不成立，∴必要性不成立，
∴x≥y是|x|≥y的充分不必要条件，
故选：A．
3．（4分）已知平面α与β平面为两个不同的平面，m与n为两条不重合的直线，则下列说法正确的是（　　）
A．若α∥β，m∥α，则m∥β B．若m∥n，n∥α，则m∥α
C．若m⊥α，α∥β，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥α，则m⊥β
【解答】解：若α∥β，m∥α，则m∥β或m⊂β，故A错误；
若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α，故B错误；
若m⊥α，α∥β，由直线与平面垂直的性质可得，m⊥β，故C正确；
若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故D错误．
故选：C．
4．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．7
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，A（2，0），
化z＝x+2y为y，由图可知，当直线y过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2．
故选：B．
5．（4分）若tanθ，则等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵sin2θ＝2sinθcosθ，cos2θ＝2cos2θ﹣1，tanθ，
∴．
故选：A．
6．（4分）圆O1：x2+y2﹣2x+6y＝0和圆O2：x2+y2﹣6x＝0的公共弦AB的垂直平分线的方程是（　　）
A．2x﹣3y+3＝0 B．2x﹣3y﹣5＝0 C．3x﹣2y﹣9＝0 D．3x﹣2y+7＝0
【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x+6y＝0的圆心O1（1，﹣3），
圆O2：x2+y2﹣6x＝0的圆心O2（3，0），
所以O1O2的中点坐标为（，），即（2，），
k
所以两圆的公共弦AB的垂直平分线即是圆心O1O2所在的直线：y（x﹣2），即3x﹣2y﹣9＝0，
故选：C．
7．（4分）在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则（　　）
A．35 B．﹣35 C．25 D．﹣25
【解答】解：在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
则||||cos（π﹣B）+||||cos（π﹣C）+09﹣16＝﹣25．
故选：D．
8．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E分别是BC，AB的中点，AB＝AP＝4，AC＝3，设异面直线PC与DE所成角为α，PD与平面ABC所成角为β，二面角P﹣BC﹣A为γ，则（　　）
A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β C．β＜α＜γ D．γ＜β＜α
【解答】解：因为D，E分别是BC，AB的中点，所以DE∥AC，则∠PCA＝α，
因为PA⊥平面ABC，则PD在平面ABC内的射影为AD，则∠PAD＝β，
在平面ABC内过点A作AF⊥BC，垂足为F，连接PF，则PF⊥BC，则∠PFA＝γ，
在Rt△PAC中，tan∠PCA＝tanα，
在Rt△PAD中，tan∠PDA＝tanβ，
在Rt△PAF中，tan∠PFA＝tanγ，
因为AC≠AB，所以必有AF＜AC，AF＜AD，
又AC＞AD，
所以，即tanα＜tanβ＜tanγ，
又α，β，γ，
所以α＜β＜γ．
故选：A．

9．（4分）设点P是双曲线1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2＝a2+b2在第一象限的交点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得：点P到原点的距离，∴∠F1PF2＝90°，
∵|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|＝|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
∴16a2+4a2＝4c2，∴，∴．
故选：A．
10．（4分）若不等式（ax﹣2）（|x|﹣b）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则（　　）
A．a＞0， B．a＞0，ab＝2 C．a＞0，a＝2b D．a＞0，b＝2a
【解答】解：由选项可知a＞0，故原不等式等价于，
当b≤0时，显然不满足题意，故b＞0，
由二次函数的性质可知，此时必有，即ab＝2．
故选：B．
二、填空题：本题共7小题，共36分
11．（6分）设集合A＝{1，3}，B＝{a+2，5}，A∩B＝{3}，则a＝　1　，A∪B＝　{1，3，5}　．
【解答】解：∵集合A＝{1，3}，B＝{a+2，5}，A∩B＝{3}，
∴a+2＝3，解得a＝1，
A∪B＝{1，3，5}．
故答案为：1，{1，3，5}．
12．（6分）已知双曲线C：1的一个焦点为（0，3），则双曲线C的离心率为 　　，渐近线方程为 　y＝±x　．
【解答】解：双曲线C：1的一个焦点为（0，3），可得m2+4＝9，解得|m|，
双曲线C的离心率为：．
渐近线方程为：y＝±x．
故答案为：；y＝±x．
13．（6分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 　　，最长棱的长度为 　2　．

【解答】解：由三视图可得直观图，几何体的体积为：2×2×2．
再四棱锥P﹣ABCD中，
最长的棱为PA，
即PA2 ，
故答案为：；2．

14．（6分）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，已知a＝3，c，sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，则A＝　　，S△ABC＝　　．
【解答】解：∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，即sin（A+C）+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，
∴sinAcosC+sinCcosA+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，
∴sinCcosA+sinAsinC＝0，
∵0＜C＜π，sinC≠0，
可得：cosA＝﹣sinA，即tanA＝﹣1，
∵0＜A＜π，
∴A，
∵a＝3，c，
∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得9＝b2+2﹣2，整理可得b2+2b﹣7＝0，
∴解得b＝21，（负值舍去），
∴S△ABCbcsinA（21）．
故答案为：，．
15．（4分）在数列{an}中，an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，则数列{an}的前20项之和为 　210　．
【解答】解：∵在数列{an}中，an+1+（﹣1）nan＝2n﹣1，
∴a2﹣a1＝2×1﹣1＝1，
a3+a2＝2×2﹣1＝3；
a4﹣a3＝2×3﹣1＝5；
a5+a4＝2×4﹣1＝7；
…
从而可得：a1+a3＝2；a2+a4＝8；a5+a7＝2；a6+a8＝24；
…
所以从第一项起，依次取相邻两个奇数项的和为2；
从第二项起，依次取相邻两个偶数项的和构成以8为首项，16为公差的等差数列；
故其前20项的和为：2×5+（8×516）＝210．
故答案为：210．
16．（4分）若函数f（x）＝||x||在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝　5　．
【解答】解：，又f（2）＝0，所以f（x）min＝0，即m＝0；
，
当 ，即x＝﹣1或x＝﹣4时不等式取等号，
所以f（x）max＝5，即M＝5．
所以M﹣m＝5﹣0＝5，
故答案为：5．
17．（4分）已知非零平面向量，，满足，的夹角为，与的夹角为，||＝2，||＝2，则•的取值范围是 　（0，6+4]　．
【解答】解：如图：取BC中点D，以点O为起点作向量，，，

则，，，
由，的夹角为，与的夹角为可知：四点O、A、B、C共圆，设半径为r．
在△OAB中：2r，∴r＝2．
由图可得：•（）•（）＝（）•（）1∈（0，6+4]．
故答案为：（0，6+4]．
三、解答题：本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18．（14分）已知函数f（x）＝2sinx•[cos（x）+cosx]．
（1）求；
（2）当时，求f（x）的值域．
【解答】解：（1）∵
，
∴．
（2））∵，
∴，
∴，
∴，
∴f（x）的值域为．
19．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，PB＝2，E、O分别为PA，BD中点．
（1）求证：OE∥面PDC；
（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．

【解答】解：（1）证明：连接 AC，可得 O 为 AC 中点，故 OE∥PC，
OE⊄面 PDC，PC⊂面 PDC，即 OE∥面 PDC．
（2）AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，过点A且垂直底面ABCD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
设P（a，b，c），
由，
即⇒，
故点，
设平面PAB的法向量为：（x，y，z），
由
即可得：，
设直线PC与平面PAB所成角为α，
即．

20．（14分）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且，，成等比数列，数列{bn}满足：2Sn＝bn+an（n∈N*）．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式：
（2）设cn，求证：c1+c2+⋯+cn＜2．
【解答】（1）解：因为，，成等比数列，所以，
则，所以，
又a1＝1，所以d＝1或d＝0（舍），
则an＝n，
因为2Sn＝bn+an，则n（n+1）＝bn+n，
故bn＝n2；
（2）证明：由题意，cn，
所以c1+c2+⋯+cn，
故c1+c2+⋯+cn＜2．
21．（16分）过抛物线C：y2＝4x上一点P（除原点外）作抛物线C的切线l交y轴于点M，过M点作垂直于l的直线交抛物线C于A、B两点．
（1）若P点的坐标为（1，2），求点M坐标；
（2）若x轴上有一点D（4，0），连接PD延长交抛物线C于Q点，求的最小值．

【解答】解：（1）∵抛物线C为y2＝4x，
∴y，
不妨取y＝f（x）＝2，求导可得，
∵切点P的坐标为（1，2），
∴直线，
∴直线MP的方程为y﹣2＝（x﹣1），即y＝x+1，
又∵M为直线MP与y轴的交点，
∴M的坐标为（0，1）．
（2）设切点为P（x0，y0），则切线l为，y0y＝2（x+x0），
∵M为切线l与轴的交点，
∴当xM＝0 时，，
∴M的坐标为（0，），
∵P（x0，y0），D（4，0），
∴直线PD方程为，
∵直线BM与直线MP垂直，
又∵，M的坐标为（0，），
∴直线BM的方程为，
又∵A，B，M三点共线，
∴直线AB的方程也为，
设A（xA，yA），B（xB，yB），
联立直线AB与抛物线方程，可得，
由韦达定理可得，，yA•yB＝﹣4，
，
设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），
联立直线PD与抛物线方程，可得，
，yP•yQ＝﹣16，
，
∵直线BM的方程为，
∴直线BM与x轴的交点N的坐标为（1，0），
∴ND＝3，
，当且仅当 时，即 等号成立，
∴的最小值为．

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