2020-2021学年浙江省金华市十校高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年浙江省金华市十校高二（下）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省金华市十校高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，Q＝{x|3x≥1}，则P∩Q＝（　　）
A．{x|﹣1≤x≤0} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0≤x≤6} D．{x|﹣6≤x≤0}
2．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点（﹣3，4），则cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中U表示鲑鱼的耗氧量的单位数，则当鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，鲑鱼的游速是（　　）
A． B．1m/s C． D．2m/s
4．（4分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）设m，n是两条直线，α是平面，已知m∥α，则n⊥m是n⊥α的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（4分）函数f（x）＝ln|x|•sinx的部分图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）设a，b∈R，且a2+b2＝1，a≠±b，则（　　）
A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
8．（4分）已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，a3n+2＝an+2，a3n+1＝a3n＝an，则a2021＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（4分）如图，矩形ABCD中，，，EF∩BD＝O．将梯形ADEF沿着EF翻折成梯形A'D'EF，则A'C与平面BOD'所成角可以是（　　）

A．90° B．75° C．45° D．30°
10．（4分）如图，∠POQ＝60°，等边△ABC的边长为2，M为BC中点，G为△ABC的重心，B，C分别在射线OP，OQ上运动，记M的轨迹为C1，G的轨迹为C2，则（　　）

A．C1为部分圆，C2为部分椭圆
B．C1为部分圆，C2为线段
C．C1为部分椭圆，C2为线段
D．C1为部分椭圆，C2也为部分椭圆
二、填空题：本大题有7小题，满分36分多空题每题6分，单空题每题4分，把答案填在答题卷的相应位置
11．（6分）已知直线l：y＝kx+1，圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝12．则直线l恒过定点 　 　，直线l被圆C截得的最大弦长为 　 　．
12．（6分）2020年新冠疫情暴发肆虐期间，江苏某定点医院每天因患疑似新冠肺炎而入院进行核酸检测的人数依次构成数列{an}，其前n项的和为Sn满足Sn＝2an﹣8，n∈N*，则该医院在前3天内因患疑似新冠肺炎核酸检测就诊的总人数共 　 　人，数列{an}的通项公式为 　 　．
13．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 　 　，最长的棱长为 　 　．

14．（6分）若实数x，y满足约束条件则可行域面积为 　 　，z＝x﹣2y的取值范围是 　 　．
15．（4分）若将函数f（x）＝|sin（ωx）|（ω＞0）的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数ω的最小值是　 　．
16．（4分）已知平面向量，（，），与的夹角为，且|t|＝|t|（t＞0），则t的最小值是 　 　．
17．（4分）若关于x的不等式（ex﹣a﹣1）（x+a+b）≤0在（a，b）上恒成立，则a+2b的最大值是 　 　．
三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18．（14分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，asinbsinA．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）证明：a+c不可能等于3．
19．（15分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝3，AC＝2，，面A1BC1⊥面BB1C1C．
（Ⅰ）证明：A1B⊥B1C；
（Ⅱ）求直线B1C与面ABC所成角的正弦值．

20．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，（n+1）Sn+1﹣（n+3）Sn＝n+1．
（Ⅰ）求证：{an}为等差数列；
（Ⅱ）求证：．
21．（15分）已知抛物线x2＝2py（p＞0）上一点P（2，y0）到其焦点F的距离为2，过点T（t，0）（t＞0）作两条斜率为k1，k2的直线l1，l2分别与该抛物线交于A，B与C，D两点，且k1+k2＝0，S△FAB＝S△FCD．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求实数t的取值范围．

22．（15分）已知函数f（x）＝e2x+（a﹣2e）x﹣2ax2．
（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间内存在零点，求实数a的取值范围．

2020-2021学年浙江省金华市十校高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，Q＝{x|3x≥1}，则P∩Q＝（　　）
A．{x|﹣1≤x≤0} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0≤x≤6} D．{x|﹣6≤x≤0}
【解答】解：集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x|﹣1≤x≤6}，
Q＝{x|3x≥1}＝{x|x≥0}，
∴P∩Q＝{x|0≤x≤6}．
故选：C．
2．（4分）在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点（﹣3，4），则cosθ＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为角θ以Ox为始边，终边经过点（﹣3，4），
所以cosθ．
故选：C．
3．（4分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m/s，其中U表示鲑鱼的耗氧量的单位数，则当鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，鲑鱼的游速是（　　）
A． B．1m/s C． D．2m/s
【解答】将U＝2700代入，得，所以鲑鱼的游速是m/s．
故选：C．
4．（4分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c＝4，则c＝2，渐近线方程为，即，
由c2＝a2+b2，解得：a＝1，b，
∴双曲线的标准方程为：．
故选：C．
5．（4分）设m，n是两条直线，α是平面，已知m∥α，则n⊥m是n⊥α的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：根据题意，若m∥α，且n⊥m，则直线n可能与平面α平行，则n⊥m不是n⊥α的充分条件，
反之，若n⊥α，必有m∥n，则有n⊥m，则n⊥m是n⊥α的必要条件，
故n⊥m是n⊥α的必要不充分条件．
故选：B．
6．（4分）函数f（x）＝ln|x|•sinx的部分图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数f（x）＝ln|x|•sinx，
则f（﹣x）＝ln|﹣x|•sin（﹣x）＝﹣ln|x|•sinx＝﹣f（x），
所以函数f（x）为奇函数，则函数f（x）的图象关于坐标原点对称，
故选项B，D错误；
当0＜x＜1时，f（x）＝ln|x|•sinx＜0，
故选项A正确，选项C错误．
故选：A．
7．（4分）设a，b∈R，且a2+b2＝1，a≠±b，则（　　）
A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值
C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
【解答】解：由a2+b2＝1，可得2a2+2b2+2ab﹣2ab＝2，
∴（a+b）2+（a﹣b）2＝2，
令x＝（a+b）2，y＝（a﹣b）2，则x+y＝2，
∴
2，
当且仅当时取等号，
∴a＝0或b＝0时取最小值，最小值为2，无最大值．
故选：C．
8．（4分）已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，a3n+2＝an+2，a3n+1＝a3n＝an，则a2021＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：因为a1＝1，a2＝2，a3n+2＝an+2，a3n+1＝a3n＝an，
所以a2021＝a3×673+2＝a673+2＝a3×224+1+2
＝a224+2＝a3×74+2+2＝a74+2+2＝a3×24+2+2+2
＝a24+2+2+2＝a3×8+6＝a8+6
＝a3×2+2+6＝a2+8＝10．
故选：D．
9．（4分）如图，矩形ABCD中，，，EF∩BD＝O．将梯形ADEF沿着EF翻折成梯形A'D'EF，则A'C与平面BOD'所成角可以是（　　）

A．90° B．75° C．45° D．30°
【解答】解：如图所示，取BF，D'E的中点G，H，
令BC，则AB＝3，AF＝FG＝GB＝1，BE＝BF＝DE＝DF＝2，
因为BEDF为菱形，则EF⊥BD，故EF⊥OD'，
又BD∩OD'＝O，BD，OD'⊂平面BOD'，
所以EF⊥平面BOD'，
由题意可知，A'H∥EF∥CG，
A'H⊥平面BOD'，CG⊥平面OD'，
则A'C在平面BOD'内的投影为JK，且JK与A'C交于O'，
所以∠JO'C即为所求的线面角，
设∠DOD'＝θ，OJ＝JB＝OK，CG＝2，JG，
JC＝CG﹣JG，JO'＝JO•，
tan∠JO'C，
所以∠JO'C，
故A'C与平面BOD'所成角可以75°．
故选：B．

10．（4分）如图，∠POQ＝60°，等边△ABC的边长为2，M为BC中点，G为△ABC的重心，B，C分别在射线OP，OQ上运动，记M的轨迹为C1，G的轨迹为C2，则（　　）

A．C1为部分圆，C2为部分椭圆
B．C1为部分圆，C2为线段
C．C1为部分椭圆，C2为线段
D．C1为部分椭圆，C2也为部分椭圆
【解答】解：以O为原点，∠POQ的角平分线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则B，C 分别落在直线 和 上，
设点B，C的坐标为，
则中点M坐标为，
，
代入可得，
化简得，故C1为部分椭圆．
△ABC是等边三角形，，
设向量所对应的复数为，则，设argz1＝θ，
所以，解得，
设向量所对应的复数为，则，
所以，

所以，则，所以，
因为G是△ABC的重心，所以，
故G点在直线y＝0上运动，故C2为部分直线．
[另解]前面求A点坐标我们用了复数的三角表示，我们下面再用三等全等模型来求 A 点坐标，

如图所示，过A点作一条直线与直线OP的夹角为60°，交射线OP，OQ分别为T，S，
交x轴于点L，过A点作y轴的垂线，垂足为H，
，因为△OBC≌△QCA≌△PAB，
所以OB＝CQ＝PA，OC＝AQ＝PB，故 ，
所以，即xA＝a+b，
当A点在x轴左侧时，

所以，所以．
同理，当A点在x轴右侧时，．
故选：C．


二、填空题：本大题有7小题，满分36分多空题每题6分，单空题每题4分，把答案填在答题卷的相应位置
11．（6分）已知直线l：y＝kx+1，圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝12．则直线l恒过定点 　（0，1）　，直线l被圆C截得的最大弦长为 　　．
【解答】解：直线l：y＝kx+1，当x＝0时，y＝1，
故直线l恒过定点（0，1）；
圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝12，
直线l被圆C截得的最大弦长为直径．
故答案为：（0，1）；．
12．（6分）2020年新冠疫情暴发肆虐期间，江苏某定点医院每天因患疑似新冠肺炎而入院进行核酸检测的人数依次构成数列{an}，其前n项的和为Sn满足Sn＝2an﹣8，n∈N*，则该医院在前3天内因患疑似新冠肺炎核酸检测就诊的总人数共 　56　人，数列{an}的通项公式为 　an＝2n+2，n∈N*　．
【解答】解：∵Sn＝2an﹣8，
∴当n＝1时，a1＝2a1﹣8，则a1＝8，
∴当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣8﹣（2an﹣1﹣8），
∴an＝2an﹣1，即，
∴数列{an}是以首项为8，公比为2的等比数列，
∴，
当n＝1时，也满足上式，故，n∈N*，
故前3天内因患疑似新冠肺炎核酸检测就诊的总人数：．
故答案为：56，，n∈N*．
13．（6分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 　20　，最长的棱长为 　　．

【解答】解：如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，AD＝3，AB＝4，AA1＝5，
则三视图所对应的几何体的直观图为四棱锥D1﹣ABCD，

其体积：，
其最长的棱为．
故答案为：．
14．（6分）若实数x，y满足约束条件则可行域面积为 　　，z＝x﹣2y的取值范围是 　　．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（﹣3，﹣2），
联立，解得B，
联立，解得C，
∴可行域的面积S，
画出直线x﹣2y＝0，平移该直线过点C，点B时取最小值和最大值，
，
，
所以取值范围为，
故答案为：；．
15．（4分）若将函数f（x）＝|sin（ωx）|（ω＞0）的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数ω的最小值是　　．
【解答】解：f（x）＝|sin[ω（x）]|＝|sin[ωx+（）]|
∵当kπ时，即ω时，f（x）为偶函数．
∴当k＝0时，正数ω有最小值．
当ω时，f（x）＝|sin（x）|，向左平移个单位后，可得：y＝|sin[（x）]|＝|sinx|，为偶函数，
故答案为：．
16．（4分）已知平面向量，（，），与的夹角为，且|t|＝|t|（t＞0），则t的最小值是 　　．
【解答】解：设，
因为与的夹角为，所以与的夹角为，所以，
，
设，
则，
在△OAB中，由正弦定理可得，
因为，，
所以，
于是
，
当，即时，不等式等号成立．
所以t的最小值为．
故答案为：．

17．（4分）若关于x的不等式（ex﹣a﹣1）（x+a+b）≤0在（a，b）上恒成立，则a+2b的最大值是 　0　．
【解答】解：在（a，b）上，由于ex﹣a﹣1＞ea﹣a﹣1，
由ex≥x+1 恒成立可得ea﹣a﹣1≥0，
结合题意可知：x+a+b≤0恒成立，
由一次函数的性质可知，当x＝b时x+a+b＝a+2b≤0，
即a+2b的最大值是 0．
故答案为：0．
三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18．（14分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，asinbsinA．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）证明：a+c不可能等于3．
【解答】解：（I）∵asinbsinA，
∴，即，
由正弦定理可得，
∵，
∴sinA≠0，∴，
∵锐角△ABC，∴，
∴，∴，故．
（Ⅱ）证明：∵，，
∵，即2R＝2，∴R＝1，
∴

，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
故a+c不可能等于3，即得证．
19．（15分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝3，AC＝2，，面A1BC1⊥面BB1C1C．
（Ⅰ）证明：A1B⊥B1C；
（Ⅱ）求直线B1C与面ABC所成角的正弦值．

【解答】（I）证明：∵BC＝B1B＝AA1＝3，∴四边形BB1C1C2是菱形．
∴B1C⊥BC1．
又面A1BC1⊥面BB1C1C，面A1BC1∩面BB1C1C＝BC1．
∴B1C⊥面A1BC1．
又∵A1B⊂面A1BC1，∴B1C⊥A1B，即A1B⊥B1C．
（Ⅱ）解：B1C∩BC1＝O，连接A1O．由（Ⅰ）的结论B1C⊥面A1BC1，得B1C⊥A1O，
∴，
又，
而A1C1＝2，∴A1O⊥C1O，∴A1O⊥面BCC1B1．
以OA，OB，OA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，∴，．
设面A1B1C1的法向量为，
得．
记直线B1C与面ABC（即面A1B1C1）所成角为θ．
∵，∴．
直线B1C与面ABC所成角的正弦值：．
20．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，（n+1）Sn+1﹣（n+3）Sn＝n+1．
（Ⅰ）求证：{an}为等差数列；
（Ⅱ）求证：．
【解答】证明：（I）∵（n+1）Sn+1﹣（n+3）Sn＝n+1，
∴nSn﹣（n+2）Sn﹣1＝n，
两式做差得：（n+1）Sn+1﹣（2n+3）Sn+（n+2）Sn﹣1＝1，
∴（n+1）Sn+1﹣（n+1）Sn+（n+2）Sn﹣1﹣（n+2）Sn＝1，
∴（n+1）an+1﹣（n+2）an＝1
∴nan﹣（n+1）an﹣1＝1，
两式做差得：（n+1）an+1﹣（2n+2）an+（n+1）an﹣1＝0，
∴an+1﹣2an+an﹣1＝0，
即：2an＝an﹣1+an+1，
∴{an}为等差数列．
（Ⅱ）{an}为等差数列．a1＝1，a2＝2，得an＝n，
所以，
∴
∴．
21．（15分）已知抛物线x2＝2py（p＞0）上一点P（2，y0）到其焦点F的距离为2，过点T（t，0）（t＞0）作两条斜率为k1，k2的直线l1，l2分别与该抛物线交于A，B与C，D两点，且k1+k2＝0，S△FAB＝S△FCD．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求实数t的取值范围．

【解答】解：（I）由抛物线x2＝2py（p＞0）上一点P（2，y0）到其焦点F的距离为2，
所以解得p＝2，
故抛物线的方程为x2＝4y；
（Ⅱ）设直线l1：y＝k1（x﹣t），与抛物线x2＝4y联立方程组，
可得x2﹣4k1x+4k1t＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝4k1，x1x2＝4k1t，
所以，
点F到直线l1的距离为，
所以，
同理可得，
又k1+k2＝0，且S△FAB＝S△FCD，
所以，
整理可得，，即，
所以，
又△1＞0且△2＞0，所以，即，即（t2﹣1）2＞0，
所以t≠1，
综上所述，t的取值范围为．
22．（15分）已知函数f（x）＝e2x+（a﹣2e）x﹣2ax2．
（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间内存在零点，求实数a的取值范围．
【解答】解：（I）当a＝0时，f（x）＝e2x﹣2ex，由f'（x）＝2e2x﹣2e＝0，得．
∴当时，f（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f（x）＞0，f（x）单调递增，
∴．
（Ⅱ）∵f（x）＝e2x+（a﹣2e）x﹣2ax2，∴f'（x）＝2e2x+a﹣2e﹣4ax．
设g（x）＝2e2x+a﹣2e﹣4ax，则g'（x）＝4e2x﹣4a＝4（e2x﹣a）．
ⅰ．若a＝0，则由（Ⅰ）可知，f（x）的最小值为，
故f（x）在区间内没有零点．
ⅱ．若a＞0，则当时，由e2x＞2ex，
则f（x）＝e2x+（a﹣2e）x﹣2ax2≥2ex+（a﹣2e）x﹣2ax2＝a（x﹣2x2），
∵，∴a（x﹣2x2）＞0，
此时函数f（x）在区间内没有零点．
ⅲ．若a＜0，则g'（x）＝4（e2x﹣a）＞0，故函数g（x）在区间内单调递增．
又g（0）＝2+a﹣2e＜0，，
∴存在，使g（x0）＝0．
故当x∈（0，x0）时，f（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f（x）＞0，f（x）单调递增．
∵f（0）＝1，，
∴当a＜0时，f（x）在区间内存在零点．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/27 10:12:03；用户：高中数学；邮箱：sdgs@xyh.com；学号：28144983