2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨市高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨市高二（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，公比为q，则（ ）
A．2B．qC．2qD．1+q
2．（5分）下列关于抛物线y＝x2的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为（0，）
B．开口向右，焦点为（，0）
C．开口向上，焦点为（0，）
D．开口向右，焦点为（，0）
3．（5分）若直线x+ay+2＝0与直线x﹣2y﹣3＝0平行，则a＝（ ）
A．﹣2B．C．D．2
4．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（3，0，4），B（﹣1，4，2），则线段AB的中点坐标与向量的模长分别是（ ）
A．（1，2，3）；5B．（1，2，3）；6
C．（﹣2，2，﹣1）；5D．（﹣2，2，﹣1）；6
5．（5分）已知公差为d的等差数列{an}满足a1+a2+⋅⋅⋅+a20＝0，则（ ）
A．d＝0B．a10＝0C．2a1+19d＝0D．a5+a15＝0
6．（5分）惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudi完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y21（m＞0）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为2x﹣my＝0，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
7．（5分）已知直线y＝x+t（t＞0）与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，t的值是（ ）
A．1B．C．2D．
8．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1•an+1（n≥2），则（ ）
A．a1：a2：a3＝a6：a7：a8
B．an：an+1：an+2＝1：2：2
C．S6，S12，S18成等差数列
D．S6n，S12n，S18n成等比数列
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列直线方程中斜率k≠1的有（ ）
A．x+y＝1B．x﹣y＝1C．y＝tan1•xD．
（多选）10．（5分）已知曲线E的方程为x2+y2＝|x|+|y|，则（ ）
A．曲线E关于直线y＝x对称
B．曲线E围成的图形面积为π+2
C．若点（x0，y0）在曲线E上，则
D．若圆x2+y2＝r2（r＞0）能覆盖曲线E，则r的最小值为
（多选）11．（5分）小冰家向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，她家从起始月开始，每月应还本金b（）万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为ar，ar﹣br，ar﹣2br，ar﹣3br，…．若小冰家完全按照合同还款（银行利率保持不变，也未提前还贷），则小冰家的还款情况下列叙述正确的是（ ）
A．小冰家每月的还款额是相等的
B．小冰家总共还款次数是12n次
C．小冰家最后一个月应还款是万元
D．小冰家还完款，付的利息总额是ar（6n）万元
（多选）12．（5分）如图所示，已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记△AF1F2的内切圆O1的面积为S1，△BF1F2的内切圆O2的面积为S2，则（ ）
A．圆O1和圆O2外切
B．圆心O1一定不在直线AO上
C．
D．S1+S2的取值范围是[2π，3π]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知空间向量，，若，则x＝ ．
14．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，则a10＝ ．
15．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1•k2＝ ．
16．（5分）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P（当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，S3＝12．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
（Ⅱ）求⋯的值．
18．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过点P（0，1）的直线l与抛物线C只有一个公共点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求直线l的方程．
19．（12分）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为24km的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西akm（a＞0）处，港口位于小岛中心正北bkm（b＞0）处．
（Ⅰ）若a＝40，轮船直线返港，没有触礁危险，求b的取值范围？
（Ⅱ）若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求a+b的最小值．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，F是PC的中点，AC＝2BC＝2CD，．
（Ⅰ）证明：PB⊥AF；
（Ⅱ）求直线PB与平面AFD所成角的正弦值．
21．（12分）已知数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，满足a1＝1，2Sn＝an•an+1，且2bn＝Tn+2．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{cn}对任意n∈N*都有恒成立，求c1+c2+c3+⋯+cn．
22．（12分）如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左顶点A（﹣2，0），过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线l⊥x轴时，|MN|＝3．
（Ⅰ）求椭圆l的方程；
（Ⅱ）记△AMF，△ANF的面积分别为S1，S2，求的取值范围；
（Ⅲ）若△AMN的重心在圆x2+y2上，求直线l的斜率．
2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，公比为q，则（ ）
A．2B．qC．2qD．1+q
【解答】解：根据题意，1+q．
故选：D．
2．（5分）下列关于抛物线y＝x2的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为（0，）
B．开口向右，焦点为（，0）
C．开口向上，焦点为（0，）
D．开口向右，焦点为（，0）
【解答】解：抛物线y＝x2的标准方程为：x2＝y，开口向上，焦点坐标为（0，），
故选：A．
3．（5分）若直线x+ay+2＝0与直线x﹣2y﹣3＝0平行，则a＝（ ）
A．﹣2B．C．D．2
【解答】解：∵直线x+ay+2＝0与直线x﹣2y﹣3＝0平行，
∴1×（﹣2）＝a×1，解得a＝﹣2，
经检验，当a＝﹣2时，两直线不重合，
故a＝﹣2．
故选：A．
4．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（3，0，4），B（﹣1，4，2），则线段AB的中点坐标与向量的模长分别是（ ）
A．（1，2，3）；5B．（1，2，3）；6
C．（﹣2，2，﹣1）；5D．（﹣2，2，﹣1）；6
【解答】解：∵点A（3，0，4），B（﹣1，4，2），
∴线段AB的中点坐标为（）＝（1，2，3），
向量的模长为||6．
故选：B．
5．（5分）已知公差为d的等差数列{an}满足a1+a2+⋅⋅⋅+a20＝0，则（ ）
A．d＝0B．a10＝0C．2a1+19d＝0D．a5+a15＝0
【解答】解：∵{an}是等差数列，
∴a1+a2+•••+a20（a1+a20）＝0，则a1+a20＝0，
∴a1+a1+19d＝0，即2a1+19d＝0．
故选：C．
6．（5分）惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudi完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y21（m＞0）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为2x﹣my＝0，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：由双曲线y21（m＞0）方程可得渐近线的方程为：y＝±x，
即x±y＝0，
而双曲线的一条渐近线方程为2x﹣my＝0，则可得，解得m＝4，
所以双曲线的方程为：y21；
所以双曲线的离心率e，
故选：B．
7．（5分）已知直线y＝x+t（t＞0）与圆O：x2+y2＝4相交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，t的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【解答】解：圆心（0，0）到直线y＝x+t（t＞0）的距离，弦长AB为．
．
当t2＝4，即t＝2时，S△AOB取得最大值．
故选：C．
8．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1•an+1（n≥2），则（ ）
A．a1：a2：a3＝a6：a7：a8
B．an：an+1：an+2＝1：2：2
C．S6，S12，S18成等差数列
D．S6n，S12n，S18n成等比数列
【解答】解：由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1•an+1（n≥2），
n＝2时，可得a2＝a1•a3，解得a3＝2，
同理可得：a4＝1，a5，a6，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，…，
可得：an+6＝an，
因此A不正确，B不正确．
由an+6＝an，可得S12＝2S6，S18＝3S6，因此S6，S12，S18成等差数列，C正确．
由an+6＝an，S12n＝2S6n，S18n＝3S6nS12n，因此S6n，S12n，S18n不成等比数列，D不正确．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）下列直线方程中斜率k≠1的有（ ）
A．x+y＝1B．x﹣y＝1C．y＝tan1•xD．
【解答】解：对于A，斜率k＝﹣1≠1，故A正确，
对于B，斜率k＝1，故B错误，
对于C，斜率k＝tan1＞tan1，故C正确，
对于D，斜率k1，故D正确．
故选：ACD．
（多选）10．（5分）已知曲线E的方程为x2+y2＝|x|+|y|，则（ ）
A．曲线E关于直线y＝x对称
B．曲线E围成的图形面积为π+2
C．若点（x0，y0）在曲线E上，则
D．若圆x2+y2＝r2（r＞0）能覆盖曲线E，则r的最小值为
【解答】解：对于A：曲线E上任意点（x，y）有：x2+y2＝|x|+|y|，该点关于直线y＝x，该点关于y＝x的对称点（y，x）有y2+x2＝|y|+|x|，
即由线E上任意点（x，y）关于直线y＝x的对称点仍在曲线E上，故A正确；
对于B：因为点（x，y）在曲线E上，点E（﹣x，y），（x，﹣y）也都在曲线E上，则曲线E关于x轴，y轴对称，
当x≥0，y≥0时，曲线E的方程为（x）2+（y）2，
表示以点（，）为圆心，为半径的圆在直线x+y＝1上方的半圆（含端点），
因此，曲线E是四个顶点为（﹣1，0），（0，﹣1），（1，0），（0，1）的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图，
所以曲线E围成的图形的面积是2×2+4π×（）2＝π+2，故B正确；
对于C：点（x0，y0）在曲线E上，则x02+y02＝|x0|+|y0|，∴（|x0|）2+（|y0|）2，
∴（|x0|）2，|x0|，解得x0，又[，]⊂[，]，故C正确；
对于D：曲线E上的点到原点距离最大值为，圆x2+y2＝r2（r＞0）能覆盖曲线E，则rmin，故D不正确．
故选：ABC．
（多选）11．（5分）小冰家向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，她家从起始月开始，每月应还本金b（）万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为ar，ar﹣br，ar﹣2br，ar﹣3br，…．若小冰家完全按照合同还款（银行利率保持不变，也未提前还贷），则小冰家的还款情况下列叙述正确的是（ ）
A．小冰家每月的还款额是相等的
B．小冰家总共还款次数是12n次
C．小冰家最后一个月应还款是万元
D．小冰家还完款，付的利息总额是ar（6n）万元
【解答】解：对于A，由于利息是变动的，所以每月还款额不相等，故A错误，
对于B，贷款时间为n年，所以还款次数为12n，故B正确，
对于C，最后一个月，还款额为 万元，故C正确，
对于D，小冰家还完宽，付的利息总额为ar+（ar﹣br）+（ar﹣2br）+（ar﹣3br）+•••+[ar﹣（12n﹣1）br]＝12nar，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）如图所示，已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记△AF1F2的内切圆O1的面积为S1，△BF1F2的内切圆O2的面积为S2，则（ ）
A．圆O1和圆O2外切
B．圆心O1一定不在直线AO上
C．
D．S1+S2的取值范围是[2π，3π]
【解答】解：△AF1F2的内切圆圆心为O1，
边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、E，
则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1E|，|F2N|＝|F2E|，
由|AF1|﹣|AF2|＝2a，得|AM|+|MF1|﹣（|AN|+|NF2|）＝2a，则|MF1|﹣|NF2|＝2a，
即|F1E|﹣|F2E|＝2a，记O1的横坐标为x0，则E（x0，0），
于是x0+c﹣（c﹣x0）＝2a，得x0＝a，
同理可得内心O2的横坐标也为a，故圆O1和圆O2均与x轴相切于同一点，故圆O1和圆O2外切，故A正确；
因为O1为△AF1F2的内心，所以AO1为三角形的内角∠F1AF2的平分线，若O在角平分线上，则应有，
又O为F1F2的中点，故不成立，所以圆心O1一定不在直线AO上，故B正确；
因为F2E为直角三角形O1O2F2的斜边上的高，
由直角三角形的射影定理可得（c﹣a）2＝r1r2，
即r1r2＝（2﹣1）2＝1，∴S1•S2＝π2r12r22＝π2，故C正确；
设内切圆O1与O2与x轴的切点为E，
因为θ∈（，），所以∠AF2G∈（，），∠O1F2G∈（，），
所以tan∠O1F2G＝r1∈（，），
又r1r2＝1，所以r12+r22＝r12∈[2，]，可得S1+S2∈[2π，π]．故D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知空间向量，，若，则x＝ 2 ．
【解答】解：∵空间向量，，，
∴2×（﹣4）+（﹣1）×2+5x＝0，
解得x＝2．
故答案为：2．
14．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，则a10＝ 1023 ．
【解答】解：数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+1，
可得an+1+1＝2（an+1），
所以数列{an+1}是等比数列，首项为2，公比为2，
可得an+1＝2n，∴an＝2n﹣1．
所以a10＝210﹣1＝1023．
故答案为：1023．
15．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1•k2＝ ﹣4 ．
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（），
当过焦点F的直线斜率不存在时，直线方程可设为x，
不妨令A（），B（），
则，，故k1•k2＝﹣4，
当过焦点F的直线斜率存在时，直线方程可设为y，
令A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与抛物线方程，化简整理可得，4k2x2﹣4p（k2+2）x+k2p2＝0，
则，，
，
4，
综上所述，k1•k2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16．（5分）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点．他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P（当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，影子椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e＝ ．
【解答】解：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，|NQ|＝a+c，|QR|＝a﹣c
由题意可得P（0，4），R（﹣3，0），则PR：4x﹣3y+12＝0，kPR，
设M（n，1），Q（n，0），
则M到PR的距离d1，解得n＝﹣1（舍去）．n，
则|QR|3a﹣c，
又设PN：kx﹣y+4＝0，由d，得45k2﹣84k+32＝0．
∴kPR•kPN，则kPN，得xN，
∴2a，a，
解得c．
∴椭圆的离心率e．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，S3＝12．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
（Ⅱ）求⋯的值．
【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，
由于满足a1＝2，S3＝12．
所以a1+a1+d+a1+2d＝12，
解得d＝2；
故an＝2+2（n﹣1）＝2n；
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
所以⋯．
18．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过点P（0，1）的直线l与抛物线C只有一个公共点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求直线l的方程．
【解答】解：（I）∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，
∴2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x．
（II）当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx+1，
联立直线与抛物线方程，化简整理可得，k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
当k＝0时，x，点（）是直线l与抛物线C唯一公共点，
故k＝0时，直线l方程为y＝1，
当k≠0时，Δ＝（2k﹣4）2﹣4k2＝0，解得k＝1，
此时直线l与抛物线相切，
直线l方程为y＝x+1，
当直线l的斜率不存在时，y轴于抛物线C有唯一公共点，直线l方程为x＝0，
故直线l方程为x＝0或y＝1或y＝x+1．
19．（12分）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为24km的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西akm（a＞0）处，港口位于小岛中心正北bkm（b＞0）处．
（Ⅰ）若a＝40，轮船直线返港，没有触礁危险，求b的取值范围？
（Ⅱ）若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求a+b的最小值．
【解答】解：（1）根据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，
当a＝40时，则轮船返港的直线为，
因为没有触礁危险，所以原点（0，0）到bx+40y﹣40b＝0的距离，
解得b≥30．
（2）根据题意可得，，点C在直线y＝x上，故点C（30，30），
设轮船返港的直线是，则，
所以．当且仅当a＝b＝60时取到最小值．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，F是PC的中点，AC＝2BC＝2CD，．
（Ⅰ）证明：PB⊥AF；
（Ⅱ）求直线PB与平面AFD所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，∴△ACB≌△ACD，∴AB＝AD，
设AC＝2BC＝2CD＝4a，
在△ACD中，由余弦定理得AD2＝4a2+16a2﹣8a2＝12a2，∴AD＝2，
∴AD2+CD2＝AC2，∴AB⊥BC，AD⊥DC，
连接BD，交AC于点O，分别以OA，OB为x轴，y轴，
过O作z轴∥PA，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（3a，0，0），B（0，，0），C（﹣a，0，0），D（0，，0），P（3a，0，2a），PC的中点F（a，0，），
则（﹣3a，，﹣2），（﹣2a，0，），
∵6a2+0﹣6a2＝0，∴PB⊥AF．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣3a，，0），（﹣2a，0，），（﹣3a，，﹣2），
设平面AFD的法向量（x，y，z），
则，取x，则（，﹣3，2），
设直线PB与平面AFD所成角为θ，
则直线PB与平面AFD所成角的正弦值为：
sinθ．
21．（12分）已知数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，满足a1＝1，2Sn＝an•an+1，且2bn＝Tn+2．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{cn}对任意n∈N*都有恒成立，求c1+c2+c3+⋯+cn．
【解答】解：（I）数列{an}的前n项和是Sn，且满足a1＝1，2Sn＝an•an+1，
∴n≥2时，2an＝2Sn﹣2Sn﹣1＝an•an+1﹣an﹣1•an，an≠0，
∴an+1﹣an﹣1＝2，
n＝2时，2a1＝a1•a2，解得a2＝2，
∴a2﹣a1＝1，
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴an＝1+n﹣1＝n．
∵2bn＝Tn+2，
∴n≥2时，bn＝Tn﹣Tn﹣1＝2bn﹣2﹣（2bn﹣1﹣2），化为：bn＝2bn﹣1，
n＝1时，2b1＝b1+2，解得b1＝2．
∴数列{bn}是等比数列，首项与公比都为2．
∴bn＝2n．
（Ⅱ）∵数列{cn}对任意n∈N*都有恒成立，
∴n≥2时，bn﹣1，
∴bn﹣bn﹣1，
∴cn＝n（2n﹣2n﹣1）＝n•2n﹣1，c1＝2．
∴Tn＝c1+c2+c3+⋯+cn＝2+2×2+3×22+…+n•2n﹣1，
2Tn＝2×2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，
相减可得：﹣Tn＝2+22+…+2n﹣1﹣n•2n＝2n•2n，
化为：Tn＝（n﹣1）2n+2．（n＝1也成立）．
22．（12分）如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左顶点A（﹣2，0），过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线l⊥x轴时，|MN|＝3．
（Ⅰ）求椭圆l的方程；
（Ⅱ）记△AMF，△ANF的面积分别为S1，S2，求的取值范围；
（Ⅲ）若△AMN的重心在圆x2+y2上，求直线l的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的左顶点为A（﹣2，0），
所以a＝2，①
当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝c，
把x＝c代入椭圆的方程1，
解得y＝±，
所以|MN|3，
把①代入解得b2＝3，
所以椭圆的方程为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c＝1，F（1，0），
设M（x1，y1），N（x2，y2），
||，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
联立，解得y1，y2，
所以1，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），
联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
所以x1+x2，x1x2，
y1+y2＝k（x1﹣1）+k（x2﹣1）＝k（x1+x2）﹣2k＝k•2k，②
y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]，③
所以得，2，
所以2，
所以2，
所以2，
令t，
则|t|+||＝|t|＝||2，
又|t|+||≥2（当|t|＝1时，取等号），
所以2≤|t|+||，
所以|t|≤3，
所以||∈[，3]，
综上所述，的取值范围为[，3]．
（Ⅲ）根据题意可得直线l的斜率存在，
由（Ⅱ）知x1+x2，y1+y2，
△AMN的重心（，），即（，），
因为△AMN的重心在x2+y2，
所以（）2+（）2，
解得k＝±1，
所以直线l的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x+1．
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