2021-2022学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知A（1，﹣2，3），则点A关于xOy平面的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2，3）B．（﹣1，﹣2，﹣3）C．（1，﹣2，﹣3）D．（﹣1，2，﹣3）
2．（5分）已知an+1n∈N*，若a1＝21，则a4＝（ ）
A．6B．11C．12D．22
3．（5分）已知△ABC的周长等于10，|BC|＝4，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点A的轨迹方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）在四棱锥A﹣BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知{an}是等比数列，则（ ）
A．数列是等差数列B．数列{an2}是等比数列
C．数列{lgan}是等差数列D．数列是等比数列
6．（5分）气象台A正南方向400km的一台风中心，正向北偏东30°方向移动，移动速度为50km/h，距台风中心250km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风影响持续时间大约是（ ）
A．3hB．4hC．5hD．6h
7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知A，B，C三个观测点，A在B的正北方向，相距2040m，C在B的正东方向，相距1360m．在某次爆炸点定位测试中，A，B两个观测点同时听到爆炸声，C观测点晚2s听到，已知声速为340m/s，则爆炸点与C观测点的距离是（ ）
A．680mB．1020mC．1360mD．1700m
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝1，则（ ）
A．a2+a8＝2B．a3a7＝1C．S9＝9D．S10＝10
（多选）10．（5分）已知直线l：（m+1）x+（m﹣1）y﹣2m＝0（m∈R）和圆O：x2+y2＝1，则（ ）
A．直线l经过定点（1，1）
B．直线l与圆O相切时m＝﹣1
C．当m＝0时，直线l被圆O截得弦长等于1
D．当时，直线l被圆O截得弦长等于
（多选）11．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，满足MF2垂直于x轴，且MF1与以OF2为直径的圆相切于点N（O为坐标原点），则（ ）
A．|MF1|＝3|MF2|B．|MN|＝|MF2|
C．|MF1|+|MF2|＝2|F1F2|D．|MF1|﹣|MF2||F1F2|
（多选）12．（5分）全班学生到工厂劳动实践，各自用AB＝4cm，BC＝CC1＝2cm的长方体ABCD﹣A1B1C1D1切割出四棱锥P﹣FBED模型．产品标准要求：E，F分别为AB，CD的中点，P可以是线段A1B1（不含端点）上的任意一点．有四位同学完成制作后，对自已所做的产品分别作了以下描述，你认为有可能符合标准的是（ ）
A．使直线PD与平面PEB所成角取到了最大值
B．使直线PE与平面PDF所成角取到了最大值
C．使平面PDE与平面PFB的夹角取到了最大值
D．使平面PDF与平面PEB的夹角取到了最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，对△ABD部分以BD为轴进行翻折，A翻折到A′，使二面角A′﹣BD﹣C的平面角为直二面角，则 ．
14．（5分）若圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆A：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0相交，则r的取值范围是 ．
15．（5分）达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”．从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点F到直线QC的距离是 ．
16．（5分）某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目．已知2020年他的工资是10万元，预计末来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有 万元．（参考数据：1.110≈2.59，1.111≈2.85，1.112≈3.14）．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an（n∈N*），数列{bn}为等差数列，b3＝5，前4项和S4＝16．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
18．（12分）已知：圆P是△ABC的外接圆，边BC所在直线l1的方程为4x﹣3y﹣3＝0，中线AD所在直线l2的方程为8x﹣y﹣1＝0，直线l3：x+y﹣8＝0与圆P相切于点A．
（Ⅰ）求点A和点D的坐标；
（Ⅱ）求圆P的方程．
19．（12分）已知：a＞b＞0，椭圆，双曲线．
（Ⅰ）若C1的离心率为，求C2的离心率；
（Ⅱ）当a＝2，b＝1时，过点A（0，1）的直线l与C1的另一个交点为P，与C2的另一个交点为Q，若P恰好是AQ的中点，求直线l的方程．
20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PB⊥平面ABCD，∠PDC＝∠ADC，N是CD的中点．
（Ⅰ）若M为线段PB的中点，证明：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）线段PB上是否存在点M，使得直线PA与平面CMN所成角的正弦值为．若存在，求BM的长，若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知数列{an}满足，数列{bn}的前n项和为n（n+1），n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2．设{an+bn}的前n项和为Sn，令cn＝[lg4Sn]，求证：．
22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点A（x0，y0）到抛物线焦点的距离为，点A，B关于坐标原点对称，过点A作x轴的垂线，D为垂足，直线BD与抛物线C交于M，N两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线AM，AN与y轴交点分别为P，Q，求的值；
（Ⅲ）若|MN|2＝4|AM|•|AN|，求x0．
2021-2022学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知A（1，﹣2，3），则点A关于xOy平面的对称点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2，3）B．（﹣1，﹣2，﹣3）C．（1，﹣2，﹣3）D．（﹣1，2，﹣3）
【解答】解：点A（1，﹣2，3）关于xOy平面的对称点，横纵坐标不变，竖坐标变为相反数，
故所求的坐标为（1，﹣2，﹣3）．
故选：C．
2．（5分）已知an+1n∈N*，若a1＝21，则a4＝（ ）
A．6B．11C．12D．22
【解答】解：当n＝1时，a2＝a1+1＝22，
当n＝2时，a311，
当n＝3时，a4＝a3+1＝12，
故选：C．
3．（5分）已知△ABC的周长等于10，|BC|＝4，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点A的轨迹方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则点B（﹣2，0）和点C（2，0），又△ABC的周长等于10，
所以|AB|+|AC|＝6＞4＝|BC|，
所以点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
且2a＝6，2c＝4，所以a＝3，c＝2，b2＝5，
所以顶点A的轨迹E的方程为1（y≠0）．
故选：A．
4．（5分）在四棱锥A﹣BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：在四棱锥A﹣BCD中，M，N分别为AB，CD的中点；
所以，，
故；
故选：A．
5．（5分）已知{an}是等比数列，则（ ）
A．数列是等差数列B．数列{an2}是等比数列
C．数列{lgan}是等差数列D．数列是等比数列
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q≠0），
显然选项A错误，如an＝4n，则2n不是等差数列；
由于等比数列{an}的公比为q（q≠0），则q2为常数，
所以{a}为等比数列，选项B正确；
若an＜0，则lgan无意义，选项C错误；
2，当q≠1时，an+1﹣an不是常数，
{2}不是等比数列，故选项D错误，
故选：B．
6．（5分）气象台A正南方向400km的一台风中心，正向北偏东30°方向移动，移动速度为50km/h，距台风中心250km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风影响持续时间大约是（ ）
A．3hB．4hC．5hD．6h
【解答】解：设台风中心经过t小时到达M点，台风中心的最初位置为B，
在△MAB中，BA＝400，AM＝50t，∠MAB＝30°，
由余弦定理得：AM2＝MB2+AB2﹣2MB•AB•cs∠MBA＝4002+（50t）2﹣2•400•50t•cs30°，
若气象台A受到台风影响，则应满足条件|MA|≤250，即|MA|2≤2502，
化简整理得t2﹣8t+39≤0，
解之得43≤t≤43，
所以从现在起，经过43小时气象台A开始受到影响，43小时后影响结束，影响持续时间大约是6h．
故选：D．
7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，
∴等边△ACD1的边长为，
∵，
∴点E在平面ACD1上，
∴的最小值为点D到平面ACD1的距离，
由等体积法得，•|DE|S△ACD•DD1，
∴••|DE|1×1×1，∴|DE|．
故选：C．
8．（5分）已知A，B，C三个观测点，A在B的正北方向，相距2040m，C在B的正东方向，相距1360m．在某次爆炸点定位测试中，A，B两个观测点同时听到爆炸声，C观测点晚2s听到，已知声速为340m/s，则爆炸点与C观测点的距离是（ ）
A．680mB．1020mC．1360mD．1700m
【解答】解：由A，B两个观测点同时听到爆炸声，∴爆炸点位于AB的垂直平分线上，又C点位于B点的东侧，
且C观测点晚2s听到，可知O位于C的左侧，AB＝2040m，BC＝1360m，声速为340m/s，可知OC﹣OB＝2×340＝680，
设OB＝x，则cs∠OBC＝cs（∠OBA）＝﹣sin∠OBA，
解得x＝1020n，则爆炸点距C点的距离为1020+680＝1700，故D正确；
故选：D．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝1，则（ ）
A．a2+a8＝2B．a3a7＝1C．S9＝9D．S10＝10
【解答】解：设数列{an}的公差为d，
由a2+a8＝2a5＝2，知选项A正确；
a3a7＝（a5﹣2d）（a5+2d）4d2＝1﹣4d2，由于d不确定，所以B错误；
由S99a5＝9，知选项C正确；
S10＝S9+a10＝9+a5+5d＝10+5d，由于d不确定，所以D错误．
故选：AC．
（多选）10．（5分）已知直线l：（m+1）x+（m﹣1）y﹣2m＝0（m∈R）和圆O：x2+y2＝1，则（ ）
A．直线l经过定点（1，1）
B．直线l与圆O相切时m＝﹣1
C．当m＝0时，直线l被圆O截得弦长等于1
D．当时，直线l被圆O截得弦长等于
【解答】解：对于A，将直线变形为：（x+y﹣2）m+x﹣y＝0，
则，解得x＝y＝1，即定点坐标为（1，1），故A正确；
对于B，当直线l与圆O相切时，圆心到直线的距离为，
解得m＝±1，故B错误；
对于C，当m＝0时，直线l：x﹣y＝0，
圆O被截得的弦长等于，故C错误；
对于D，当时，直线l：3x﹣y﹣2＝0，
圆O被截得的弦长等于，故D正确；
故选：AD．
（多选）11．（5分）椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，满足MF2垂直于x轴，且MF1与以OF2为直径的圆相切于点N（O为坐标原点），则（ ）
A．|MF1|＝3|MF2|B．|MN|＝|MF2|
C．|MF1|+|MF2|＝2|F1F2|D．|MF1|﹣|MF2||F1F2|
【解答】解：设以OF2为直径的圆的圆心为T，则NT⊥MF1，
可得sin∠MF1F2，
又sin∠MF1F2，即|MF1|＝3|MF2|，故A正确；
由切线的性质可得|MN|＝|MF2|，故B正确；
由|MF2|＝2ctan∠MF1F2＝2c•c，|MF1|c，
可得|MF1|+|MF2|＝2c|F1F2|，
|MF1|﹣|MF2|c|F1F2|，故C错误，D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）全班学生到工厂劳动实践，各自用AB＝4cm，BC＝CC1＝2cm的长方体ABCD﹣A1B1C1D1切割出四棱锥P﹣FBED模型．产品标准要求：E，F分别为AB，CD的中点，P可以是线段A1B1（不含端点）上的任意一点．有四位同学完成制作后，对自已所做的产品分别作了以下描述，你认为有可能符合标准的是（ ）
A．使直线PD与平面PEB所成角取到了最大值
B．使直线PE与平面PDF所成角取到了最大值
C．使平面PDE与平面PFB的夹角取到了最大值
D．使平面PDF与平面PEB的夹角取到了最大值
【解答】解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），E（2，2，0），F（0，2，0），
设P（2，t，2），0＜t＜4，
则（2，t，2），（0，t﹣2，2），（0，2，0），（2，2，0），（2，t﹣2，2），（0，t﹣4，2），
取平面PEB的一个法向量为（2，0，0），
设平面PDF的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，0，﹣1），
设平面PDE的法向量（x1，y1，z1），
则，取x1＝2，得（2，﹣2，t﹣2），
设平面PFB的法向量为（x2，y2，z2），
则，取x2＝2，得（2，﹣2，t﹣4），
对于A，设直线PD与平面PEB所成角为α，
则sinα＝|cs|，
∵0＜t＜4时，函数y单调递减，没有最大值，故A错误；
对于B，设直线PE与平面PDF所成角为β，
则sinβ＝|cs|，
0＜t＜2，函数y单调递增，2＜t＜4时，函数y单调递减，
∴当t＝2时，即P是A1B1中点时，sinβ取最大值，此时夹角β最大，故B正确；
对于C，设平面PDE与平面PFB折夹角为θ，
则csθ＝|cs|，
下面研究函数y在t∈（0，4）上的单调性，
令t﹣3＝s，（t﹣3）2＝s2＝r，
t2﹣6t+16＝（t﹣3）2+7＝s2+7，
8+（t﹣2）2＝8+[（t﹣3）+1]2＝9+（t﹣3）2+2（t﹣3）＝9+s2+2s，
8+（t﹣4）2＝8+[（t﹣3）﹣1]2＝9+（t﹣3）2﹣2（t﹣3）＝9+s2﹣2s，
则[8+（t﹣2）2]•[8+（t﹣4）2]＝（9+s2+2s）（9+s2﹣2s）＝（9+s2）2﹣4s2＝s4+14s2+81＝（s2+7）2+32，
∴y，
t∈（0，4），r＝（t﹣3）2在t∈（0，3）递减，在t∈（3，4）递增，且r∈[0，9），
又y在r∈[0，9）时递增，
故由复合函数单调性判断原理可知：
y在t∈（0，3）递减，在t∈（3，4）递增，
则csθ在t＝3时取最小值，此时θ最大，即平面 PDE与平面PFB的夹角取到了最大值，故C正确；
对于D，设平面PDF与平面PEB的夹角为φ，
则csφ＝|cs|，则φ＝45°为定值，故D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，对△ABD部分以BD为轴进行翻折，A翻折到A′，使二面角A′﹣BD﹣C的平面角为直二面角，则 ﹣2 ．
【解答】解：由题知，，取 BD 的中点 O，连接 AO，A′O，如图所示，
则 AO⊥BD，A′O⊥BD，又二面角 A′﹣BD﹣C 的平面角为直二面角，
则∠AOA′＝90°，又 ，
则 AA′＝2，△ABA′为等边三角形，从而 ，
则 ，
故答案为：﹣2．
14．（5分）若圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆A：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0相交，则r的取值范围是 （，） ．
【解答】解：由圆A：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0，得（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2，
则两圆圆心距为2，
∵圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆A：x2+y2﹣4x﹣4y+6＝0相交，
∴|r|＜2r，
解得r．
∴r的取值范围是（，）．
故答案为：（，）．
15．（5分）达•芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”．从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点F到直线QC的距离是 ．
【解答】解：建立空间直角坐标系如图，
则C（0，2，0），Q（1，0，2），F（2，1，1），
，，
cs，
∴sin，
∴点F到直线QC的距离是•sin．
故答案为：．
16．（5分）某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目．已知2020年他的工资是10万元，预计末来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有 24 万元．（参考数据：1.110≈2.59，1.111≈2.85，1.112≈3.14）．
【解答】解：与题意可知，2021年的投入在结算时的收入为10×10%×（1+10%）10，
2022年的投入在结算时的收入为11×10%×（1+10%）9，
•••，
2030年的投入在结算时的收入为19×10%×（1+10%）1，
则结算时的总投资及收益为：
S＝10×10%×1.110+11×10%×1.19+•••+19×19%×1.11①，
则1.1S＝10×10%×1.111+11×10%×1.110+•••+19×10%×1.12②，
①﹣②可得，﹣0.1S＝﹣10×10%×1.111﹣1×10%×1.110﹣10%×1.19﹣10%×1.12+19×10%×1.11，
故S＝10×1.111+1.110+1.19+•••+1.12﹣19×1.1120×1.111﹣12.1﹣20.9≈20×28.5﹣33＝24．
故答案为：24．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an（n∈N*），数列{bn}为等差数列，b3＝5，前4项和S4＝16．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
【解答】解：（Ⅰ）因为数列{an}满足，
故可得数列{an}为等比数列，且公比q＝3，
则；
数列{bn}为等差数列，b3＝5，前4项和S4＝16，
设其公差为d，
故可得b1+2d＝5，4b1+6d＝16，
解得b1＝1，d＝2，
则bn＝2n﹣1；
综上所述，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，
故，
又，c1＝1，
则{cn}是首项1，公比为9的等比数列，
则．
18．（12分）已知：圆P是△ABC的外接圆，边BC所在直线l1的方程为4x﹣3y﹣3＝0，中线AD所在直线l2的方程为8x﹣y﹣1＝0，直线l3：x+y﹣8＝0与圆P相切于点A．
（Ⅰ）求点A和点D的坐标；
（Ⅱ）求圆P的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题可得：l1与l2的的交点为点D，
故由，解得：，故D（0，﹣1），
l3与l2的的交点为点A，
，解得：，故A（1，7）．
（Ⅱ）设圆P的圆心P为（x，y），
由l3与圆P相切于点A，且l3的斜率为k3＝﹣1，则kAP⋅k3＝﹣1即，
即y＝x+6，①
又圆P为△ABC的外接圆，则BC为圆P的弦，
又边BC所在直线l1的科率为，
故根据垂径定理，有BC⊥PD进而k1⋅kDP＝﹣1，
即②，
联立①②，解得：，即P（﹣4，2），
故，则圆P的方程为：（x+4）2+（y﹣2）2＝50．
19．（12分）已知：a＞b＞0，椭圆，双曲线．
（Ⅰ）若C1的离心率为，求C2的离心率；
（Ⅱ）当a＝2，b＝1时，过点A（0，1）的直线l与C1的另一个交点为P，与C2的另一个交点为Q，若P恰好是AQ的中点，求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆，C1的离心率为，
可得，即a＝2b，
则C2的离心率为；
（Ⅱ）当a＝2，b＝1时，椭圆方程为y2＝1，双曲线的方程为y21，
由题意可得直线l的斜率存在且不为0，
设过点A（0，1）的直线l的方程为y＝kx+1，
由解得P（，），
由解得Q（，），
由P恰好是AQ的中点，可得，
解得k＝±，
则直线l的方程为y＝±x+1．
20．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PB⊥平面ABCD，∠PDC＝∠ADC，N是CD的中点．
（Ⅰ）若M为线段PB的中点，证明：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）线段PB上是否存在点M，使得直线PA与平面CMN所成角的正弦值为．若存在，求BM的长，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）证明：取AB的中点为E，连接NE，ME，
∵M、N分别为线段PB、CD的中点，
∴ME∥AD，NE∥PA，
∵ME，NE⊂平面MNE，且ME∩NE＝E，∴平面MNE∥平面MNE，
∴MN⊂平面MNE，∴MN∥平面PAD；
（Ⅱ）以B为坐标原点，BA、BP所在直线为y轴，z轴，
以垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图，
∵底面ABCD是边长为2的菱形，设PB＝a，
在直角△PBC中，可得PC，
在直角△PBD中，可得PD，
在△PCD中，∵，∴PC2＝PD2+CD2﹣2PD•CD•cs∠PDC，
∴（）2＝（）2+22﹣2，解得a＝2，
设BM＝b，（b＞0），可得M（0，0，b），N（，2，0），C（，1，0），P（0，0，2），A（0，2，0），
∴（0，2，﹣2），（，﹣1，b），（0，1，0），
设平面CMN的法向量为（x，y，z），
则，令z，可得（b，0，），
设直线与平面CMN所成角为θ，
设直线PA与平面CMN所成角角为θ，
∴sinθ，
解得b2＝15，即b．
∴存在M，使得直线PA与平面CMN所成角的正弦值为，BM．
21．（12分）已知数列{an}满足，数列{bn}的前n项和为n（n+1），n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2．设{an+bn}的前n项和为Sn，令cn＝[lg4Sn]，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知，当n≥2时，
an＝（an﹣an﹣1）+⋯+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1
＝3（4n﹣1+4n﹣2+⋯+4）﹣2（n﹣1）+2

＝4n﹣2n，
当n＝1时，a1＝4﹣2＝2也符合上式，
∴；
当n⩾2时，bn＝n（n+1）﹣（n﹣1）n＝2n，
当n＝1时，b1＝2也符合上式，
∴bn＝2n；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴
∴，
∴n≤lg4Sn＜n+1，
所以cn＝[lg4Sn]＝n，
∴，
设Tn为数列的前n项和，
则．
22．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点A（x0，y0）到抛物线焦点的距离为，点A，B关于坐标原点对称，过点A作x轴的垂线，D为垂足，直线BD与抛物线C交于M，N两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线AM，AN与y轴交点分别为P，Q，求的值；
（Ⅲ）若|MN|2＝4|AM|•|AN|，求x0．
【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义知，点A（x0，y0）到抛物线焦点的距离为x0，
所以p，
故抛物线C的方程为y2＝x．
（Ⅱ）由题意知，A（，y0），设y0＞0，则B（，﹣y0），D（，0），
所以直线BD的方程为y（x），
联立，消去x得，y2﹣y0，解得y＝（1±）y0，
设M（，y1），N（，y2），
不妨取y1＝（1）y0，y2＝（1）y0，
直线AM的斜率为，其方程为y﹣y0（x），
令x＝0，则yP＝y0（1）y0y0，
同理可得yQ＝y0（1）y0y0，
所以|PQ|＝|yP﹣yQ|＝|y0y0|y0，
而|AD|＝y0，
所以．
（Ⅲ）|MN|2＝（1）|y1﹣y2|＝（1+4）•8，其中k，
|AM|y0•，
|AN|y0•，
因为|MN|2＝4|AM|•|AN|，
所以（1+4）•84•y0••y0•，
化简得8161＝0，
解得（舍负），即，
所以x0．
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